Rješavanje trougla

Rješavanje trougla znači nalaženje preostalih uglova i stranica kada je dat minimum podataka. Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvijek isti, 180o. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima. Ovo je glavni trigonometrijski problem. Moguće je konstruisati trougao ako je zadana težišnica i dvije stranice, ili stranica, visina i ugao, itd. Glavni teoremi

Kosinusna teorema

Sinusna teorema

Zbir uglova trougla

Tangensni teorem

Oštrougli trougao

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90o ). Pri rješavanju oštrouglog trougla moguća su sljedeća četiri slučaja:

date su tri strane (SSS); date su dve stranice i ugao između njih (SUS); data je stranica i dva nalegla ugla (USU); date su dvije stranice i ugao naspram veće od njih (SSU).

To su isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih primjera.

Date su 3 stranice trougla Date su tri stranice a , b , c trougla. Naći njegove uglove.Solving SSS Triangles/Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.

I način

Kosinusna teorema daje ugao A, jer je

Sinusna teorema daje ugao , jer je

Treći ugao C možemo naći kao suplementni ugao prethodna dva .

II način

Iz poluobima i tangensne teoreme imaćemo

Ovaj zadatak ima jedinstveno rješenje jedino ako su zbirovi po dvije od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj. . Date su 2 stranice i ugaoizmeđu njih Date su 2 stranice trougla i ugao . Naći stranicu с i uglove , .Solving SAS Triangles / Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.

Kosinusna teorema daje stranicu

Sinusna teorema daće uglove. Iz uslova slijedi da je ugao oštar, pa prema tome prvo tražimo

tj ugao pa ugao koji je suplementan uglovima , , tj. .

Jednistveno rješenje je ako je .

Data je stranica i 2 ugla koja leže na njoj

Data je stranica a i uglovi \beta i \gamma. Naći stranice b, c i ugao \alpha.Solving ASA Triangles / Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.

Prvo nalazimo ugao .

Sinusna teorema daje: }.

Za je pa je

Postojijedinstveno rješenje, jer je ugao oštar nezavisno od toga kakav je ugao .

Kada je tada je . Trougao je pravougli, ili, ako je , postoje dva rješenja, jer se mogu dobiti dvije vrijednosti za ugao\beta, oštar i tup ugao.

tj. , nema rješenja.

Kada je tada je i . Postoji jedinstveno rešenje. Reference

Kategorija:Trigonometrija