miniatura|L'àrea del paral·lelogram és el valor absolut del determinant de la matriu formada pels vectors que representen els costats del paral·lelogram. En matemàtiques, el determinant és una eina molt potent en nombrosos dominis (estudi d'endomorfismes, recerca de valors propis, càlcul diferencial). És així com es defineixen el determinant d'un sistema d'equacions, el determinant d'un endomorfisme, o el determinant d'un sistema de vectors. Va ser introduïda inicialment a l'àlgebra per a resoldre el problema de determinar el nombre de solucions d'un sistema d'equacions lineals.
Com en moltes altres operacions, el determinant pot ser definit per una col·lecció de propietats axiomes que es resumeixen amb l'expressió «forma n-lineal alternada». Aquesta definició permet de fer-ne un estudi teòric complet i ampliar encara més els seus camps d'aplicació. Però el determinant també es pot concebre com una generalització en l'espai de dimensió n de la noció de superfície o de volum orientats. Aquest aspecte, sovint negligit, és un enfocament pràctic i lluminós de les propietats del determinant.
Història dels determinants Els determinants van ser introduïts a Occident a partir del . Aquesta iniciativa es produí molt abans que les matrius, que no apareixen fins al . Convé recordar que els xinesos van ser els primers a utilitzar taules de nombres i a aplicar un algorisme ara conegut sota el nom de procediment d'eliminació de Gauss-Jordan.
Primers càlculs de determinants Tot i que se'n pot trobar algun antecedent remot en l'obra de Yang Hui (Xina, ), en el seu sentit original, el determinant "determina" la unicitat de la solució d'un sistema d'equacions lineals. Va ser introduït en el cas de la dimensió 2 per Cardan l'any 1545 en la seva obra Ars magna, en forma d'una "regla" per a la resolució de sistemes de dues equacions amb dues incògnites.E. Knobloch. "Determinants in I Grattan-Guinness" (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, Londres, 1994, pàg. 766-774 Aquesta primera fórmula porta el nom de regula de modo.
miniatura|El japonès Kowa Seki introdueix els primers determinants de dimensió 3 i 4, a la mateixa època que l'alemany Leibniz L'aparició dels determinants de dimensió superior tardarà encara més de cent anys. Curiosament el japonès Kowa Seki i l'alemany Leibniz en van donar els primers exemples de manera gairebé simultània.
Leibniz estudia nombrosos sistemes d'equacions lineals. En absència de notació matricial, representa els coeficients desconeguts amb una parella d'índex: escriu així ij per a ai, j. El 1678, s'interessa per un sistema de tres equacions i tres incògnites i dona, sobre aquest exemple, la fórmula de desenvolupament seguint una columna. El mateix any, escriu un determinant de dimensió 4.E. Knobloch. Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül, Hildesheim, 1980. Leibniz no publica aquests treballs, que semblen haver estat oblidat abans que els resultats siguin descoberts independentment cinquanta anys més tard.
Al mateix període, Kowa Seki publica un manuscrit sobre els determinants, on troba una formulació general difícil d'interpretar. Sembla donar fórmules correctes per a determinants de dimensió 3 i 4, i els signes erronis per als determinants de dimensió superior.Y. Mikami. The development of Mathematics in China and Japan, 1913, 2e ed., Chelsea Pub. Company, 1974. El descobriment quedarà sense continuïtat, a causa de l'aïllament del Japó amb el món exterior.
Determinants d'una dimensió qualsevol El 1748, un tractat d'àlgebra pòstuma de MacLaurin rellança la teoria dels determinants, amb l'escriptura correcta de la solució d'un sistema de quatre equacions i quatre incògnites.C. B. Boyer. A History of Mathematics, John Wiley, 1968.
El 1750, Cramer formula les regles que permeten resoldre un sistema de n equacions i n incògnites, però sense donar-ne la demostració.Gabriel Cramer. Introduction to the analysis of algebraic curves, 1750 Els mètodes de càlcul dels determinants són llavors delicats, ja que es fonamenten en la noció de permutacions parells i senars.M. Cantor. Geschichte der Mathematik, Teubner, 1913.
Els matemàtics s'apoderen d'aquest nou objecte, amb articles de Bézout el 1764Étienne Bézout. "Recherches sur le degré des équations résultantes de l'évanouuissement des inconnues, et sur le moyens qu'il convenient d'employer pour trouver ces équations", Mém. Acad. Roy. Sci, París, 1764, pàg. 288–338. i de Vandermonde el 1771,Alexandre-Théophile Vandermonde. "Mémoire sur l'élimination", Hist. de l'Acad. Roy. des Sciences, París, 1772, 2a part, pàg. 516-532. sorprenentment sense obtenir el càlcul del determinant de la matriu de Vandermonde actual. V.A. Lebesgue. Conférence d'Utrecht, 1837
El 1772, Laplace estableix les fórmules de recurrència que porten el seu nom. L'any següent, Lagrange descobreix la relació entre el càlcul dels determinants i dels volums.Joseph-Louis Lagrange. "Nouvelle solution du problème du mouvement de rotation d'un corps de figure quelconque qui n'est animé par aucune force accélératrice". Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, 1773
Gauss utilitza per primera vegada la paraula «determinant», en els Disquisitiones arithmeticae el 1801. L'utilitza per al que qualifiquem avui de discriminant d'una quàdrica que és un cas particular del determinant modern. És igualment a prop d'obtenir el teorema sobre el determinant d'un producte.La major part de la informació d'aquesta secció es basa en aquesta referència:Matrices and determinants
Aparició de la noció moderna de determinant Cauchy és el primer a fer servir la paraula determinant en el seu sentit modern. Es pot llegir al seu article de síntesi de més de vuitanta pàgines sobre la qüestió:
miniatura|Carl Gustav Jacob Jacobi Representa una síntesi dels coneixements anteriors, així com de proposicions noves com el fet que l'aplicació transposada no modifica el determinant així com la fórmula del determinant d'un producte. Binet proposa igualment una demostració aquest mateix any. Més tard, Cauchy posa les bases de l'estudi de la reducció d'endomorfismes.Cauchy Application du calcul des résidus à l'intégration des équations différentielles linéaires à coefficients constants, 1826. Vegeu informació a Gallica , visualiseur.bnf.fr
Publicant els seus tres tractats sobre els determinants el 1841 al journal de Crelle, Jacobi dona una verdadera notorietat a la noció. Per primera vegada, presenta mètodes de càlcul sistemàtics, sota forma algorítmica. Es fa igualment possible avaluar determinants de funcions amb el naixement del jacobià.
El quadre matricial és introduït pels treballs de Cayley i Sylvester. Cayley és igualment l'inventor de la notació dels determinants amb barres verticals; estableix la fórmula de càlcul de la inversa.
La teoria es completa amb l'estudi de determinants que tenen propietats de simetria particulars i amb la introducció del determinant en nous camps de les matemàtiques, com el wronskià per a les equacions diferencials lineals.
Primers exemples: àrees i volums Els càlculs d'àrees i de volums en forma de determinants en espais euclidians apareixeran com casos particulars d'una noció més general de determinant. La lletra majúscula D (Det) es fa servir de vegades reservada per indicar-los.
Determinant de dos vectors en el pla euclidià miniatura|Figura 1. El determinant és l'àrea blava orientada. Sigui P el pla euclidià amb l'orientació usual. El determinant dels vectors X i X ve donat per l'expressió analítica
O, de forma equivalent, per l'expressió geomètrica
En la qual és l'angle orientat format pels vectors X i X .
Propietats el valor absolut del determinant és igual a l'àrea del paral·lelogram definit per X i X (( és en efecte l'alçada del paral·lelogram, d'on A = Base*Altura). el determinant és nul si i només si els dos vectors són col·lineals (el paral·lelogram es fa una línia). En efecte aquesta anul·lació apareix com un senzill test de proporcionalitat dels components dels vectors pel producte vectorial. El seu signe és estrictament positiu si i només si la mesura de l'angle (X, X ') és compresa en ]0,[. l'aplicació determinant és bilineal: la linearitat respecte al primer vector s'escriu
i respecte al segon vector s'escriu
miniatura|Figura 2. Suma de les àrees de dos paral·lelograms adjacents. Fixeu-vos que tots els vectors estan en el mateix pla, no es tracta d'una figura tridimensional, altament l'afirmació no seria certa ni el valor de les àrees seria el que dona el determinant La figura, en el pla, il·lustra un cas particular d'aquesta fórmula. Representa dos paral·lelograms adjacents, l'un definit pels vectors u i v (en verd), l'altre pels vectors u' i v (en blau). És fàcil visualitzar sobre aquest exemple l'àrea del paral·lelogram definit pels vectors u+u' i v (en gris): és igual a la suma de les àrees dels dos paral·lelograms precedents, a la qual es treu l'àrea d'un triangle, i s'afegeix l'àrea d'un altre triangle igual. Els dos triangles es corresponen per translació, es verifica la fórmula següent Det(u+u', v)=Det(u, v)+Det(u', v).
Aquest dibuix correspon a un cas particular de la fórmula de bilinealitat, ja que les orientacions han estat escollides per tal que les àrees tinguin el mateix signe, però ajuda a entendre el significat geomètric.
Generalització És possible definir la noció de determinant en un pla euclidià orientat proveït d'una base ortonormal directa B, utilitzant les coordenades dels vectors en aquesta base. El càlcul del determinant dona el mateix resultat independentment de quina sigui la base ortonormal directa escollida per al càlcul.
Determinant de tres vectors en l'espai euclidià Sigui E l'espai euclidià amb l'orientació usual de dimensió 3. El determinant de tres vectors dE ve donat per
miniatura|Figura 3. Il·lustració gràfica de la trilinealitat Aquest determinant també porta el nom de producte mixt.
Propietats el valor absolut del determinant és igual al volum del paral·lelepípede definit pels tres vectors. el determinant és nul si i només si els tres vectors estan continguts en un mateix pla (paral·lelepípede «pla») L'aplicació determinant és trilineal:
Una il·lustració geomètrica d'aquesta propietat es dona a la figura 3, per dos paral·lelepípedes adjacents, és a dir posseint una cara comuna. La igualtat següent esdevé intuïtiva
Interpretació del signe del determinant: orientació En el pla, el signe del determinant s'interpreta com el signe de l'angle orientat.
En l'espai a tres dimensions, el cub unitat serveix de referència. El seu determinant val un. Un paral·lelepípede no pla posseeix un determinant positiu si és possible obtenir-lo deformant contínuament (sense aixafar-lo mai) el cubica unitat.
El determinant és en canvi negatiu si és necessari aplicar a més una simetria, és a dir si el cub unitat no pot ser obtingut més que deformant el paral·lelepípede, i després observant el resultat d'aquesta deformació en un mirall.
miniatura|center|450px|Figura 4. És possible passar del cub groc al paral·lelepípede verd per deformació continua. Això no és possible per al paral·lelepípede vermell que és la imatge especular del verd.
Plantejament intuïtiu del determinant d'una aplicació lineal Una aplicació lineal és una aplicació que transforma les coordenades d'un vector de manera lineal. Per exemple en l'espai de dimensió 3, l'aplicació és lineal si les coordenades x, y i z d'un vector tenen per a imatge x', y' i z' amb:
on a, b,c..., i són nombres. La figura següent il·lustra dos casos d'aplicacions lineals.