Un vector euclidià, o simplement vector, en matemàtiques, física i enginyeria, és qualsevol element d'un espai vectorial i, per extensió, d'un mòdul sobre un anell commutatiu unitari.
center|Un vector de A a B
Cal doncs entendre que un polinomi, una matriu quadrada, una progressió aritmètica, etc. són vectors de la mateixa manera que ho són en el pla i també en ... amb tantes components com dimensions té l'espai vectorial.
Inicialment, el terme de vector era emprat en la geometria euclidiana per a representar el desplaçament entre dos punts i la variació entre les coordenades dels dos punts. Actualment es prefereix el terme de bipunt per referir-se, per exemple a , reservant el qualificatiu de vector pels vectors lliures, el punt d'aplicació dels quals pot ser qualsevol de l'espai.
En el pla o en l'espai tridimensional, és un segment orientat, que té una direcció (inclinació del segment respecte als eixos de coordenades), un sentit (de l'origen fins a l'extrem on es col·loca la punta de la fletxa) i un mòdul (llargada del segment, mesurant des de l'origen fins a l'extrem).
Història El concepte de vector, tal com es coneix avui dia, és el resultat d'un desenvolupament gradual durant un període de més de 200 anys. Prop d'una dotzena de persones van contribuir significativament al seu desenvolupament. El 1835, Giusto Bellavitis va abstraure la idea bàsica quan va establir el concepte d’equipol·lença. Treballant en un pla euclidià, va fer equipol·lent qualsevol parell de segments de línia paral·lels de la mateixa longitud i orientació. Essencialment, va realitzar una relació d'equivalència en els parells de punts (bipunts) del pla, i així va erigir el primer espai de vectors del pla.Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis; vegeu sobre el tema. El terme vector va ser introduït per William Rowan Hamilton com a part d'un quaternió, que és una suma d'un nombre real (també anomenat escalar) i un vector tridimensional. Igual que Bellavitis, Hamilton considerava els vectors com a representatius de classes de segments dirigits equipol·lents. Com que els nombres complexos utilitzen una unitat imaginària per complementar la recta real, Hamilton considerava que el vector era la part imaginària d'un quaternió:
Diversos altres matemàtics van desenvolupar sistemes vectorials a mitjans del , com ara Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant i Matthew O'Brien. L'obra de Grassmann de 1840 (Teoria del flux i reflux) va ser el primer sistema d'anàlisi espacial similar al sistema actual, i tenia idees corresponents al producte vectorial, el producte escalar i la diferenciació vectorial. L'obra de Grassmann va ser en gran part descuidada fins a la dècada de 1870. Peter Guthrie Tait va portar l'estàndard de quaternions després de Hamilton. El seu Tractat elemental de quaternions de 1867 incloïa un tractament extens de l’operador nabla o del ∇. El 1878, William Kingdon Clifford va publicar Elements of Dynamic. Clifford va simplificar l'estudi dels quaternions aïllant el producte escalar i el producte vectorial de dos vectors del producte quaterniònic complet. Aquest plantejament va posar els càlculs vectorials a l'abast dels enginyers, i d'altres que treballaven en tres dimensions i que es mostraven escèptics respecte a la quarta.
Josiah Willard Gibbs, que va ser exposat als quaternions a través del Tractat sobre electricitat i magnetisme de James Clerk Maxwell, va separar la seva part vectorial per a un tractament independent. La primera meitat d’Elements of Vector Analysis de Gibbs, publicat el 1881, presenta el que és essencialment el sistema modern d'anàlisi vectorial. El 1901, Edwin Bidwell Wilson va publicar Vector Analysis, adaptat de les conferències de Gibbs, que va desterrar qualsevol menció dels quaternions en el desenvolupament del càlcul vectorial.
Visió general En física i enginyeria, un vector es considera normalment com una entitat geomètrica caracteritzada per una magnitud i una direcció. Es defineix formalment com un segment de línia dirigit, o fletxa, en un espai euclidià. En matemàtiques pures, un vector es defineix més generalment com qualsevol element d'un espai vectorial. En aquest context, els vectors són entitats abstractes que poden estar o no caracteritzades per una magnitud i una direcció. Aquesta definició generalitzada implica que les entitats geomètriques esmentades anteriorment són un tipus especial de vectors abstractes, ja que són elements d'un tipus especial d'espai vectorial anomenat espai euclidià. Aquest article en particular tracta sobre vectors definits estrictament com a fletxes en l'espai euclidià. Quan cal distingir aquests vectors especials dels vectors tal com es defineixen en matemàtiques pures, de vegades se'ls anomena vectors geomètrics, espacials o euclidians.
Un vector euclidià pot tenir un punt inicial i un punt terminal definits; aquesta condició es pot emfatitzar anomenant el resultat un vector lligat. Quan només importen la magnitud i la direcció del vector, i els punts inicials o terminals particulars no tenen importància, el vector s'anomena vector lliure. La distinció entre vectors lligats i lliures és especialment rellevant en mecànica, on una força aplicada a un cos té un punt de contacte (vegeu força resultant i parell).
Dues fletxes i a l'espai representen el mateix vector lliure si tenen la mateixa magnitud i direcció: és a dir, són equipol·lents si el quadrilàter ABB′A′ és un paral·lelogram. Si l'espai euclidià està equipat amb una elecció d’origen, aleshores un vector lliure és equivalent al vector lligat de la mateixa magnitud i direcció, el punt inicial del qual és l'origen.
El terme vector també té generalitzacions a dimensions superiors i a enfocaments més formals amb aplicacions molt més àmplies.
Més informació En la geometria euclidiana clàssica (és a dir, la geometria sintètica), els vectors es van introduir (durant el ) com a classes d'equivalència sota l'equipol·lència de parells ordenats de punts; dos parells i són equipol·lents si els punts , en aquest ordre, formen un paral·lelogram. Aquesta classe d'equivalència s'anomena vector, més precisament, vector euclidià.En alguns textos antics, el parell s'anomena «vector lligat», i la seva classe d'equivalència s'anomena «vector lliure». La classe d'equivalència de sovint es denota com
Un vector euclidià és, doncs, una classe d'equivalència de segments dirigits amb la mateixa magnitud (per exemple, la longitud del segment lineal ) i la mateixa direcció (per exemple, la direcció d’ a ). En física, els vectors euclidians s'utilitzen per representar quantitats físiques que tenen magnitud i direcció, però no estan situades en un lloc específic, a diferència dels escalars, que no tenen direcció. Per exemple, la velocitat, les forces i l'acceleració es representen mitjançant vectors.
En geometria moderna, els espais euclidians sovint es defineixen a partir de l'àlgebra lineal. Més precisament, un espai euclidià es defineix com un conjunt al qual s'associa un espai prehilbertià de dimensió finita sobre els reals i una acció del grup additiu de que és lliure i transitiu (vegeu Espai afí per a més detalls d'aquesta construcció). Els elements de s'anomenen translacions. S'ha demostrat que les dues definicions d'espais euclidians són equivalents, i que les classes d'equivalència sota equipol·lència es poden identificar amb translacions.
De vegades, els vectors euclidians es consideren sense referència a un espai euclidià. En aquest cas, un vector euclidià és un element d'un espai vectorial normat de dimensió finita sobre els reals, o, típicament, un element de l’espai de coordenades reals equipat amb el producte escalar. Això té sentit, ja que l'addició en un espai vectorial d'aquest tipus actua lliurement i transitivament sobre el mateix espai vectorial. És a dir, és un espai euclidià, amb ell mateix com a espai vectorial associat i el producte escalar com a producte intern.
L'espai euclidià sovint es presenta com l'espai euclidià estàndard de dimensió . Això està motivat pel fet que tot espai euclidià de dimensió és isomorf a l'espai euclidià Més precisament, donat un espai euclidià d'aquest tipus, es pot triar qualsevol punt com a origen. Pel procés de Gram-Schmidt, també es pot trobar una base ortonormal de l'espai vectorial associat (una base tal que el producte intern de dos vectors de base és 0 si són diferents i 1 si són iguals). Això defineix les coordenades cartesianes de qualsevol punt de l'espai, com les coordenades sobre aquesta base del vector Aquestes opcions defineixen un isomorfisme de l'espai euclidià donat sobre mapejant qualsevol punt a la -tupla de les seves coordenades cartesianes, i cada vector al seu vector de coordenades.
Exemples en una dimensió Com que el concepte de força dels físics té una direcció i una magnitud, es pot veure com un vector. Com a exemple, considerem una força cap a la dreta F de 15 newtons. Si l’eix positiu també es dirigeix cap a la dreta, aleshores F es representa pel vector 15 N, i si positiu apunta cap a l'esquerra, aleshores el vector per a F és − 15 N. En qualsevol cas, la magnitud del vector és 15 N. De la mateixa manera, la representació vectorial d'un desplaçament Δs de 4 metres seria 4 m o − 4 m, depenent de la seva direcció, i la seva magnitud seria de 4 m independentment.
En física i enginyeria Els vectors són fonamentals en les ciències físiques. Es poden utilitzar per representar qualsevol quantitat que tingui magnitud, direcció i que compleixi les regles de la suma vectorial. Un exemple és la velocitat, la magnitud de la qual és la celeritat. Per exemple, la velocitat de 5 metres per segon cap amunt es podria representar mitjançant el vector (0, 5) (en 2 dimensions amb l'eix y positiu com a "cap amunt"). Una altra quantitat representada per un vector és la força, ja que té una magnitud i una direcció i segueix les regles de la suma de vectors. Els vectors també descriuen moltes altres quantitats físiques, com ara el desplaçament lineal, el desplaçament, l'acceleració lineal, l'acceleració angular, el moment lineal i el moment angular. Altres vectors físics, com ara el camp elèctric i el camp magnètic, es representen com un sistema de vectors en cada punt d'un espai físic; és a dir, un camp vectorial. Exemples de quantitats que tenen magnitud i direcció, però que no segueixen les regles de la suma vectorial, són el desplaçament angular i el corrent elèctric. En conseqüència, aquests no són vectors.
En l'espai cartesià En el sistema de coordenades cartesianes, un vector lligat es pot representar identificant les coordenades del seu punt inicial i terminal. Per exemple, els punts i a l'espai determinen el vector lligat apuntant des del punt a l'eix x fins al punt a l'eix y.
En coordenades cartesianes, un vector lliure es pot considerar com un vector lligat corresponent, en aquest sentit, el punt inicial del qual té les coordenades de l'origen . Aleshores es determina per les coordenades del punt terminal d'aquest vector enllaçat. Així, el vector lliure representat per (1, 0, 0) és un vector de longitud unitària, que apunta al llarg de la direcció de l'eix x positiu.
Aquesta representació de coordenades dels vectors lliures permet expressar les seves característiques algebraiques de manera numèrica convenient. Per exemple, la suma dels dos vectors (lliures) (1, 2, 3) i (−2, 0, 4) és el vector (lliure)
Vectors euclidians i afins