En càlcul diferencial, el teorema del valor mitjà de Cauchy és una generalització del teorema del valor mitjà (de Lagrange). A partir d'aquest es pot demostrar la regla de l'Hôpital, molt útil per resoldre indeterminacions del tipus i .
Teorema El teorema diu el següent:
Com s'ha dit anteriorment, aquest teorema és una generalització del teorema del valor mitjà de Lagrange, ja que aquest ocorre quan .
Demostració Tenim dues funcions i continues a i derivables a . A partir d'aquestes podem definir una nova funció com:
Aquesta funció compleix el teorema de Rolle, ja que:
Per tant, . Calculant la derivada de :
I introduint-hi el valor de , veiem que
Que és equivalent al que volíem demostrar.
A més a més, si i , l'equació anterior es pot escriure com:
Categoria:Càlcul Valor Mitja de Cauchy