miniatura|400px| Figura 1. Aquesta aplicació lineal deforma l'estàtua de David. Els vectors blaus tenen per a imatges els vectors verds. Conserven la mateixa direcció, per tant són vectors propis. El valor propi associat és -1/2 (perquè canvien de sentit i el mòdul és la meitat). En aquest cas particular l'espai propi és l'espai sencer.
miniatura|400px|Figura. 2. En aquesta aplicació lineal el quadre de la Mona Lisa, es transforma de tal manera que els vectors de l'eix vertical central (vector vermell) no ha canviat ni de direcció ni de sentit ni de mòdul, en canvi el vector diagonal (blau) ha canviat de direcció. En aquest cas el vector vermell és un vector propi de l'aplicació però el vector blau no ho és. Com que el vector vermell no ha canviat ni de direcció ni de mòdul, el seu valor propi és 1. Tots els vectors amb la mateixa direcció que el vector vermell són també vectors propis, amb el mateix valor propi. Tots junts, afegint-hi el vector zero formen lespai propi d'aquesta aplicació que en aquest cas és un espai de dimensió 1.
En matemàtiques, i més concretament en àlgebra el concepte de vector propi és una noció que es refereix a una aplicació lineal d'un espai en si mateix. Correspon a l'estudi dels eixos privilegiats, en els quals l'aplicació es comporta com una dilatació (o contracció si el mòdul del valor propi és més petit que 1), per tant, els vectors imatge en aquesta direcció corresponen als vectors origen multiplicats per una constant (si és negativa vol dir que canvien de sentit, però en cap cas no canvien de direcció). D'aquest factor que multiplica el vector origen per trobar el vector imatge se'n diu valor propi, el conjunt format per tots els vectors propis amb un mateix valor propi més el vector nul és un espai propi. Els gràfics de les figures 1 i 2 il·lustren aquestes nocions.
El coneixement dels vectors i valors propis ofereix una informació clau sobre l'aplicació lineal en qüestió. Existeixen a més nombrosos casos en què aquest coneixement caracteritza totalment l'aplicació lineal.
Aquest concepte originalment pertanyia a la branca de les matemàtiques anomenada àlgebra lineal. La seva utilització, tanmateix, avui en dia supera de lluny aquest marc. Intervé tant en matemàtiques pures com en matemàtiques aplicades. Apareix per exemple en geometria en l'estudi de les formes quadràtiques, o en anàlisi funcional. Permet resoldre problemes aplicats tan variats com el del moviment d'una corda vibrant, la classificació de les pàgines web per Google, la determinació de l'estructura de l'espaitemps en la teoria de la relativitat general, o l'estudi de l'equació de Schrödinger en mecànica quàntica.
A banda de la terminologia habitual de valors i vectors propis n'hi ha d'altres força esteses. Per exemple, hi ha qui parla d'autovalor, autovector i autoespai. Seguint la nomenclatura original de l'alemany, també es fa servir la denominació de eigenvalor, eigenvector i eigenespai, on la paraula eigen precisament significa "propi". Una altra variant usada en mecànica i enginyeria és la de valor i vector característic (per la relació amb el polinomi característic).
Història Gènesi miniatura|René Descartes connecta l'àlgebra i la geometria, comença l'àlgebra lineal.
Si bé és habitual prendre com a partida de naixement oficial de l'àlgebra la publicació del llibreAl-Khwarazmí. La transposition et la réduction. d'Al-Khwarazmí (783-850), que es descriu a si mateix com «un compendi que engloba les més fines i les més nobles operacions del càlcul», l'àmbit de l'àlgebra lineal ha d'esperar al per anar més enllà de marc elemental d'algunes equacions.
L'associació entre la geometria i l'àlgebra, a través de la noció de coordenades, va ser introduïdaRené Descartes. La géométrie, 1637. el 1637 per René Descartes (1596-1650) i Pierre de Fermat (1601-1665). Amb això queda establert el context per a l'aparicióJohan de Witt. Commentaire de la version latine de "La géométrie" de Descartes, 1660 dels primers resultats d'àlgebra lineal com ara el càlcul d'un determinant. Aquests resultats serviran més tard d'eina d'anàlisi dels valors propis. Tanmateix, les matemàtiques d'aquesta època no disposen encara de les nocions indispensables de l'àlgebra lineal, com una geometria que correspongui al nostre espai vectorial, on els elements es defineixen per les seves operacions.
El començament del veu l'aparició d'eines importants per a la teoria dels valors propis. El 1799, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demostrà el Teorema fonamental de l'àlgebra.Carl Friedrich Gauss. Thèse de Doctorat présentée à l'Université de Helmstedt, 1799. S'estudien espais vectorials més amplis. Gauss formalitzà el problema de la resolució d'un sistema d'equacions lineals amb el mètode del pivot retrobant un mètode que ja havia estat descrit abans per un matemàtic xinès Liu Hui (Segle III) gairebé 1600 anys abans.
S'estudien problemes on els valors propis resultaran ser l'enfocament més adequat. Joseph Fourier (1768-1830) estudià una solucióJoseph Fourier. Théorie analytique de la chaleur, 1822. de l'equació de conducció calorífica amb l'ajuda d'una eina que més tard es dirà una base de vectors propis. Finalment el 1834, Hamilton (1805-1865) fa servirWilliam Rowan Hamilton. Sur les méthodes générales de résolution en dynamique, 1834. un polinomi característic per a trobar el que ara es diu els valors propis associats a l'endomorfisme d'una equació diferencial lineal de primer ordre que apareix en plantejar un problema de mecànica. Tanmateix, l'absència de formalització suficient de la noció d'espai vectorial impedeix l'aparició clara del concepte.
Origen de la paraula miniatura|esquerra|L'alemany Hilbert dona la nomenclatura anglosaxona: eigenvalue que prové de Eigenwert.
La formalització algebraica dels espais vectorials apareix cap a mitjans del segle. Arthur Cayley (1821-1895) inicia l'estudi dels espais vectorials de dimensió nArthur Cayley. Géométrie à n dimensions, 1843. i de les seves aplicacions lineals.Arthur Cayley. Théorie des transformations linéaires, 1845. Grassmann (1809-1877) formalitzà el concepte.Hermann Günther Grassmann. Sur le principe de l'extension linéaire, une nouvelle branche des mathématiques, 1844. Però en tant que matemàtic és poc reconegut per aquesta època, des de 1845, Cauchy (1789-1857) reprengué idees anàlogues i les publicà sota una forma més definitivaAugustin Louis Cauchy. Sur les clefs algébriques, 1854. nou anys més tard. Sylvester (1814-1897), en col·laboració amb Cayley, utilitzà per primera vegada el terme matriuJames Joseph Sylvester i Arthur Cayley. Sur une nouvelle classe de théorèmes, 1850. el 1850. Dos anys més tard, utilitzà la noció de valor propi en el cas de les formes bilineals per a la resolució de problemes basats en el principi mecànic de la inèrcia.James Joseph Sylvester. Théorie sur les invariants algébriques, 1852. Finalment Cayley el 1858 definí la noció de matriu de manera general i abstracta.Arthur Cayley. Mémoire sur la théorie des matrices, 1958.
miniatura|El francès Jordan donà la nomenclatura francesa de la qual deriva la catalana: valor propi.
Jordan (1838-1922) publicà un llibreMarie Ennemond Camille Jordan. Traité des substitutions et des équations algébriques, 1870. definitiu sobre els endomorfismes de dimensió finita i per a una àmplia família de nombres, entre els quals els complexos i els reals. Jordan analitzà el paper dels vectors propis i del seu àmbit d'aplicació exacte en una teoria que ara es coneix amb el nom de reducció d'endomorfismes. La finalitat del seu text no és l'àlgebra lineal sinó la teoria de grups i les seves representacions. La teoria es presentà així en el context dels cossos finits. El capítol dels valors propis acaba amb el cas de la dimensió finita i dels cossos de nombres algebraicament tancats. La terminologia francesa i a partir d'aquesta la catalana prové dels treballs de Jordan.
Desenvolupament al El començament del porta un nou punt de vista sobre la geometria. La resolució de l'equació integral porta a alguns matemàtics a considerar una geometria sobre el conjunt de les funcions. Frigyes Riesz (1880-1956) utilitza sistemes ortogonals de funcions.Frigyes Riesz. Sur les systèmes orthogonaux de fonctions, Notes a C.R.A.S., 144, p. 615-619, 1907. Erhard Schmidt (1876-1959) sosté la seva tesi sobre un subjecteErhard Schmidt. Entwickelung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener, 1905. anàleg sota la direcció de David Hilbert (1862-1943). Els treballs de Hilbert (1862-1943)David Hilbert. Grundezüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, 1912. Reeditat a Chelsea, 1953. aporten a la noció de valor propi una nova profunditat. Corresponen a la formalització del pas intuïtiu que havia portat Fourier a la resolució de l'equació de la transferència de calor. Els conjunts de funcions es veuen com un espai vectorial de dimensió infinita, la geometria del qual és calcada de la d'Euclides. L'equació integral es fa l'equivalent a un sistema lineal i l'aplicació lineal pren el nom d'operador diferencial. Neix una nova branca de les matemàtiques: l'anàlisi funcional. Aquesta nova branca esdevé ràpidament el marc general de resolució d'una àmplia família de problemes matemàtics, en particular l'anàlisi, les equacions diferencials o les equacions a les derivades parcials. Els valors propis són una de les eines essencials per a la resolució d'aquests problemes. Resulten indispensables en física per a teories com la mecànica quàntica o la relativitat general. Durant un llarg període els anglosaxons utilitzen indiferentment els termes de proper value i eigenvalue, que provenen respectivament de la traducció dels texts de Jordan i de Hilbert. El vocabulari actual s'ha fixat en benefici de la segona expressió.
Alhora en el context de la dimensió finita i per al cas general, el veu un desenvolupament massiu d'aquestes teories. El cas de dimensió finita experimenta dues evolucions: la teoria es generalitza a altres conjunts de nombres a més dels reals i els complexos. A més, matemàtics com Issai Schur, A. Krilov, W. E. Arnoldi o N. Dunford desenvolupen quantitat d'algorismes per permetre la determinació dels valors propis. Tanmateix el cas general s'estudia més profundament. S'obre la via a una branca matemàtica important al llarg d'aquest segle, l'anàlisi funcional. La teoria dels valors propis, llavors es generalitza a la teoria espectral. Paul Dirac i John von Neumann estudien aquest concepte en un marc que serveix de modelització a la física. Israel Gelfand, Mark Naimark i Irving Segal apliquen aquests conceptes a universos més vastos, les C*-àlgebres. Sobre la base de resultats de geometria algebraica trobats per Alexander Grothendieck, Alain Connes desenvolupa un cas particular de C*-àlgebres, les geometries no commutatives. La teoria espectral continua sent encara un camp ampli de recerca, i molts problemes resten sempre oberts en aquest àmbit.
Els valors propis, i en el seu cas més general, la teoria espectral obren nombrosos camps d'aplicació alhora teòrics i aplicats. En matemàtica, aquest enfocament permet, per exemple, la resolució d'equacions diferencials, o d'equacions diferencials en derivades parcials. La física utilitza molt àmpliament la teoria espectral: serveix de marc general a la mecànica quàntica i permet, per exemple, l'estudi de l'equació de Schrödinger. Les solucions de l'equació de Schrödinger independents del temps són vectors propis. Les teories físiques de finals del com les supercordes utilitzen àmpliament les nocions d'espectre en marcs matemàtics avançats, per exemple les geometries no commutatives. L'enginyeria no en queda al marge, fins i tot s'aplica general a un enfocament de dimensió finita. Utilitzen molts algorismes procedents dels càlculs de valors propis i vectors propis. Aquest enfocament permet resoldre múltiples problemes trets per exemple de l'estàtica o de la dinàmica i fins i tot problemes d'altres sectors com ara l'economia.