La constant d'Apéry es defineix com el valor de la funció zeta de Riemann per a un valor de la variable igual a 3, ζ(3):
ζ(3) = 1,20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 ...
És a dir, la constant d'Apéry és el límit de la sèrie dels inversos dels cubs: .
El nom "constant d'Apéry" prové del fet que el matemàtic francès Roger Apéry demostrà, el 1979, que ζ(3) és irracional (proposició coneguda com a Teorema d'Apéry).
Cal destacar que la constant d'Apéry apareix en alguns problemes físics. Per exemple, apareix de manera natural en els termes de segon i tercer ordre de la raó giromagnètica de l'electró (el quocient entre el seu moment dipolar magnètic i el seu moment angular).
Expressions equivalents Es coneixen diverses expressions equivalents a la constant d'Apéry, algunes de les quals hi convergeixen més ràpidament que la provinent de la sèrie dels inversos dels cubs.
Com a sèrie Leonhard Euler fou el primer en enunciar que .
L'any 1890 el matemàtic rus Andrei Màrkov enuncià que .
El matemàtic indi Srinivasa Ramanujan va enunciar que .
I en 1998 el matemàtic quebequès Simon Plouffe va enunciar que .
És també notòria l'expressió
L'any 2002 el matemàtic Géry Huvent demostrà que
S'han trobat també expressions de la constant en forma de sèrie que permeten accelerar-ne l'aproximació. L'expressió següent tendeix a donar 1,43 nous decimals per terme .
Aquesta tendeix a donar 3,01 nous decimals per terme .
Aquesta altra tendeix a donar 3,92 nous decimals per terme .
I aquesta tendeix a donar 5,04 nous decimals per terme .
Com a integral La constant d'Apéry és fàcilment expressable a partir de la integral .
També pot expressar-se a partir d'integrals d'una sola variable, com per exemple amb la integral
i amb les integrals .
Un altre parell d'expressions interessants, com a integral de dues variables, és .
A partir de la funció gamma La constant d'Apéry també té expressions interessants a partir de les funcions gamma i poligamma, com per exemple
Referències
Apery Categoria:Nombres reals