El teorema de Noether, o el primer teorema de Noether,Això de vegades es coneix com el primer teorema de Noether. Vegeu el segon teorema de Noether. estableix que tota simetria diferenciable de l'acció d'un sistema físic amb forces conservatives té una llei de conservació corresponent.
El teorema pot expressar de la següent manera:
En altres paraules, el que afirma aquest teorema és que qualsevol simetria d'un sistema físic està associada a una magnitud física que es conserva en aquest sistema (és a dir, roman igual). El teorema permet derivar la quantitat física conservada a partir de la condició d'invariància que defineix la simetria.
El teorema va ser provat per la matemàtica alemanya Emmy Noether el 1915 i publicat el 1918 a Göttingen, i va ser anomenat per Albert Einstein «monument del pensament matemàtic» en una carta enviada a David Hilbert en suport de la carrera de la matemàtica.
L'acció d'un sistema físic és la integral al llarg del temps d'una funció lagrangiana, a partir de la qual el comportament del sistema es pot determinar pel principi de mínima acció. Aquest teorema només s'aplica a simetries contínues i suaus sobre l'espai físic.
El teorema de Noether s'utilitza en la física teòrica i el càlcul de variacions. Una generalització de les formulacions sobre constants del moviment en mecànica lagrangiana i hamiltoniana (desenvolupada el 1788 i el 1833, respectivament), no s'aplica als sistemes que no es poden modelar només amb un lagrangià (per exemple, sistemes amb una funció de dissipació de Rayleigh). En particular, els sistemes dissipatius amb simetries contínues no necessiten tenir una llei de conservació corresponent.
Il·lustracions bàsiques i rerefons A tall d'il·lustració, si un sistema físic es comporta igual independentment de com estigui orientat a l'espai, el seu Lagrangià és simètric en rotacions contínues; a partir d'aquesta simetria, el teorema de Noether dicta que es conserva el moment angular del sistema, com a conseqüència de les seves lleis del moviment. El sistema físic en si no ha de ser simètric; un asteroide irregular que cau a l'espai conserva el moment angular malgrat la seva asimetria. Són les lleis del seu moviment les que són simètriques.
Com a altre exemple, si un procés físic presenta els mateixos resultats independentment del lloc o del temps, aleshores el seu Lagrangià és simètric sota translacions contínues en l'espai i el temps respectivament; segons el teorema de Noether, aquestes simetries expliquen les lleis de conservació del moment lineal i l'energia dins d'aquest sistema, respectivament.
El teorema de Noether és important, tant per la visió que ofereix sobre les lleis de conservació, com també com a eina pràctica de càlcul. Permet als investigadors determinar les quantitats conservades (invariants) a partir de les simetries observades d'un sistema físic. Per contra, permet als investigadors considerar classes senceres de Lagrangians hipotètics amb invariants donats, per descriure un sistema físic. Com a il·lustració, suposem que es proposa una teoria física que conserva una quantitat X. Un investigador pot calcular els tipus de lagrangians que conserven X mitjançant una simetria contínua. A causa del teorema de Noether, les propietats d'aquests Lagrangians proporcionen criteris addicionals per entendre les implicacions i jutjar l'adequació de la nova teoria.
Hi ha nombroses versions del teorema de Noether, amb diferents graus de generalitat. Hi ha homòlegs quàntics naturals d'aquest teorema, expressats en les identitats de Ward-Takahashi. També existeixen generalitzacions del teorema de Noether als superespais.
Enunciat informal del teorema Deixant de banda tots els punts tècnics, el teorema de Noether es pot afirmar de manera informal:
Una versió més sofisticada del teorema que inclou camps afirma que:
La paraula «simetria» de l'enunciat anterior es refereix amb més precisió a la covariància de la forma que pren una llei física respecte a transformacions d'un grup de Lie unidimensional que compleixen certs criteris tècnics. La llei de conservació d'una magnitud física sol expressar-se com una equació de continuïtat.
La demostració formal del teorema utilitza la condició d'invariància per derivar una expressió per a un corrent associat a una magnitud física conservada. En terminologia moderna (des de c. 1980),El terme «càrrega Noether» apareix a Seligman, Group theory and its applications in physics, 1980: Latin American School of Physics, Mexico City, American Institute of Physics, 1981. Va entrar en un ús més ampli durant la dècada del 1980, com per exemple en G. Takeda en: Errol Gotsman, Gerald Tauber (eds.) From SU(3) to Gravity: Festschrift in Honor of Yuval Ne'eman, 1985, p. 196. la quantitat conservada s'anomena «càrrega de Noether», mentre que el flux que transporta aquesta càrrega s'anomena «corrent de Noether». El corrent de Noether es defineix llevat d'un camp vectorial solenoïdal (sense divergència).
En el context de la gravitació, l'enunciat de Felix Klein del teorema de Noether per a l'acció I estipula per als invariants:
Breu il·lustració i visió general del concepte La idea principal darrere del teorema de Noether s'il·lustra més fàcilment amb un sistema amb una coordenada i una simetria contínua (fletxes grises al diagrama). Considerem qualsevol trajectòria (negreta al diagrama) que compleix les lleis del moviment del sistema. És a dir, l'acció que governa aquest sistema és estacionari en aquesta trajectòria, és a dir, no canvia sota cap variació local de la trajectòria. En particular, no canviaria sota una variació que aplica el flux de simetria en un segment temporal i està immòbil fora d'aquest segment. Per mantenir la trajectòria contínua, fem servir períodes «d'amortització» de poc temps per a la transició gradual entre els segments.
El canvi total en l'acció ara inclou els canvis produïts per cada interval en la recreació. Les parts, on la variació mateixa s'esvaeix, no ofereixen cap . La part mitjana tampoc canvia l'acció, perquè la seva transformació és una simetria i, per tant, conserva el Lagrangià i l'acció . Les úniques parts restants són les peces «d'amortització». A grans trets, contribueixen principalment a través de la seva «inclinació» .
Això canvia el Lagrangià per , que s'integra a
Aquests últims termes, avaluats al voltant dels punts finals i , haurien de cancel·lar-se mútuament per tal de fer el canvi total de l'acció sigui zero, com s'esperaria si la trajectòria fos una solució. Això és
que significa que la quantitat es conserva, que és la conclusió del teorema de Noether. Per exemple, si les translacions pures de per una constant són la simetria, llavors la quantitat conservada esdevé just , l'impuls canònic.
Els casos més generals segueixen la mateixa idea: Quan més coordenades pateixin una transformació de simetria , els seus efectes se sumen per linealitat a una quantitat conservada . Quan hi ha transformacions de temps , fan que els segments «d'amortització» aportin els dos termes següents a :
el primer terme es deu a l'estirament en la dimensió temporal del segment «d'amortització» (que canvia la mida del domini d'integració), i el segon és a causa de la seva «inclinació» igual que en el cas exemplar. Junts afegeixen un sumand a la quantitat conservada. Finalment, quan en lloc d'una trajectòria es consideren camps sencers , l'argument substitueix l'interval amb una regió delimitada del domini , els punts finals i amb el límit de la regió, i la seva contribució a s'interpreta com un flux d'un corrent conservat , que es construeix d'una manera anàloga a la definició prèvia d'una quantitat conservada. Ara, la contribució zero de «l'amortització» a s'interpreta com la desaparició del flux total del corrent a través de . Aquest és el sentit en què es conserva: quant «flueix» cap a dins, igual que «flueix» cap a fora.
Context històric
Una llei de conservació estableix que alguna quantitat X en la descripció matemàtica de l'evolució d'un sistema es manté constant al llarg del seu moviment: és invariant. Matemàticament, la relació de canvi de X (la seva derivada respecte al temps) és zero,
Es diu que aquestes quantitats es conserven; sovint s'anomenen constants del moviment (tot i que el moviment per se no ha d'estar implicat, només l'evolució en el temps). Per exemple, si l'energia d'un sistema es conserva, la seva energia és invariant en tot moment, la qual cosa imposa una restricció al moviment del sistema i pot ajudar a resoldre'l. A part de les idees que aquestes constants del moviment donen a la naturalesa d'un sistema, són una eina de càlcul útil; per exemple, una solució aproximada es pot corregir trobant l'estat més proper que compleixi les lleis de conservació adequades.
Les primeres constants del moviment descobertes van ser el momentum i l'energia cinètica, que van ser proposades al segle per René Descartes i Gottfried Leibniz sobre la base d'experiments de col·lisió, i perfeccionades pels investigadors posteriors. Isaac Newton va ser el primer a enunciar la conservació de l'impuls en la seva forma moderna, i va demostrar que era una conseqüència de la tercera llei de Newton. Segons la relativitat general, les lleis de conservació del moment lineal, l'energia i el moment angular només són exactament certes globalment quan s'expressen en termes de la suma del tensor d'energia-moment (tensor d'energia no gravitacional) i el pseudotensor de Landau-Lifshitz (tensor d'energia gravitacional). La conservació local del moment lineal i l'energia no gravitacionals en un marc de referència en caiguda lliure s'expressa mitjançant la desaparició de la divergència covariant del tensor d'energia-moment. Una altra quantitat conservada important, descoberta en estudis de la mecànica celeste dels cossos astronòmics, és el vector de Laplace-Runge-Lenz.
A finals del segle i principis del , els físics van desenvolupar mètodes més sistemàtics per descobrir invariants. Un avenç important es va produir el 1788 amb el desenvolupament de la mecànica lagrangiana, que està relacionada amb el principi de mínima acció. En aquest enfocament, l'estat del sistema es pot descriure mitjançant qualsevol tipus de coordenades generalitzades q; les lleis del moviment no cal expressar-se en un sistema de coordenades cartesianes, com era habitual en la mecànica newtoniana. L'acció es defineix com la integral de temps I d'una funció coneguda com a L lagrangiana
on el punt sobre q indica la relació de canvi de les coordenades q,
El principi de Hamilton estableix que la trajectòria física q(t) (la que realment fa el sistema) és una trajectòria per a la qual les variacions infinitesimals d'aquesta trajectòria no provoquen cap canvi en I, almenys fins al primer ordre. Aquest principi dona lloc a les equacions d'Euler-Lagrange,
Així, si una de les coordenades, per exemple qk, no apareix al Lagrangià, el costat dret de l'equació és zero i el costat esquerre requereix que
on el momentum
es conserva durant tot el moviment (a la trajectòria física).
Així, l'absència de la coordenada «ignorable» qk del lagrangià implica que el lagrangià no es veu afectat pels canvis o transformacions de qk; el Lagrangià és invariant, i es diu que presenta una simetria sota aquestes transformacions. Aquesta és la idea llavor generalitzada en el teorema de Noether.
Al segle es van desenvolupar diversos mètodes alternatius per trobar quantitats conservades, especialment per William Rowan Hamilton. Per exemple, va desenvolupar una teoria de transformacions canòniques que va permetre canviar les coordenades de manera que algunes coordenades van desaparèixer del Lagrangià, donant lloc a moments canònics conservats. Un altre enfocament, i potser el més eficient per trobar quantitats conservades, és l'equació de Hamilton-Jacobi.
Expressió matemàtica
Forma simple utilitzant pertorbacions L'essència del teorema de Noether és generalitzar la noció de coordenades «ignorables».