miniatura|La nostra teoria de nombres deriva de l'antiga aritmètica grega de Diofant d'Alexandria.Jean-Paul Collette (1985), Historia de las matemáticas (volums 1 i 2). Traducció d'Alfonso Casal, Madrid: Siglo XXI Editores S.A. Portada de l'aritmètica de Diofant traduïda al llatí per Bachet de Méziriac, edició amb comentaris de Pierre de Fermat publicada el 1670. La teoria de nombres és la branca de les matemàtiques pures que estudia les propietats dels nombres enters i conté una quantitat considerable de problemes que són «fàcils d'entendre per als no matemàtics», però més en general, estudia les propietats dels elements de dominis enters (anells commutatius amb element unitari i element neutre), així com diversos problemes derivats del seu estudi. Segons els mètodes emprats i les preguntes que s'intenten contestar, la teoria de nombres se subdivideix en diverses branques.
La teoria de nombres s'acostumava a denominar aritmètica superior, encara que el terme ha caigut en desús.
Conjectures i teoremes relacionats amb la teoria de nombres: Conjectura de Goldbach sobre si tots els nombres parells (a partir de 4) són la suma de dos nombres primers. Conjectura dels nombres primers bessons sobre la infinitat dels anomenats nombres primers bessons. Darrer teorema de Fermat (demostrat el 1995 per Andrew Wiles). Lema de Thue. Hipòtesi de Riemann sobre la distribució dels zeros de la funció zeta de Riemann.
Història de la teoria de nombres Civilització vèdica Els matemàtics de l'Índia es varen interessar en la recerca de solucions d'enters d'equacions diofàntiques des del període vèdic. L'ús geomètric més antic de les equacions diofàntiques es pot trobar als Sulba Sutras, que varen ser escrits entre el i el . Baudhayana va trobar dos conjunts de solucions enteres positives a un sistema d'equacions diofàntiques, i va utilitzar també els sistemes d'equacions diofàntiques de quatre incògnites. Apastamba (aproximadament, 600 aC) va utilitzar els sistemes d'equacions diofàntiques de cinc incògnites.
Època jainista A l'Índia, els matemàtics de l'època jainista van desenvolupar una teoria dels nombres sistemàtica des del fins al . El text Surya Prajinapti (cap al 400 aC) classifica tots els nombres en tres conjunts: numerables, no numerables i infinit. Cadascun d'aquests tres conjunts es dividia més endavant en tres ordres:
+ Llegenda Conjunts Definicions Numerables el més baix, intermediari i el més alt No numerable no numerable proper, verdaderament no numerable i no numerablement no numerable Infinit infinit proper, verdaderament infinit, infinitament infinit
Els matemàtics de l'època jainista van ser els primers a descartar la idea que tots els infinits són els mateixos o iguals. Van reconèixer cinc tipus diferents d'infinit: infinit en una o dues direccions (una dimensió), infinit en superfície (dues dimensions), infinit arreu (tres dimensions), i infinit perpètuament (en un nombre infinit de dimensions).
El nombre numerable més alt N de les obres jainistes correspon al concepte modern d'aleph zero (el nombre cardinal del conjunt infinit dels enters 1, 2...), el nombre transfinit cardinal més petit. Els matemàtics d'aquesta època varen definir també un sistema complet de nombres cardinals transfinits, en el qual el nostre és el més petit.
En el treball sobre la teoria de conjunts, es distingeixen dos tipus de nombres transfinits de base. Per raons a la vegada físiques i ontològiques, es va fer una distinció entre asmkhyata i ananata, entre infinit rígidament vinculat i infinit pobrament vinculat.
Civilització grega La teoria dels nombres va ser un estudi favorit entre els matemàtics grecs d'Alexandria, Egipte, a partir del , que van tenir consciència del concepte d'equació diofàntica en nombrosos casos particulars. El primer matemàtic hel·lè a estudiar aquestes equacions va ser Diofant d'Alexandria.
Diofant també va cercar un mètode per trobar les solucions enteres per a les equacions indeterminades lineals, equacions per a les quals falta informació suficient per a produir un conjunt únic de respostes discretes. L'equació és d'aquesta mena. Diofant va descobrir que moltes equacions indeterminades es poden transformar en una forma en què una certa categoria de solucions és coneguda mentre que una solució específica no ho és.
L'època clàssica a l'Índia Les equacions diofàntiques van ser estudiades de manera intensiva pels matemàtics indis del període medieval, que van ser els primers a buscar sistemàticament mètodes per a la determinació de solucions enteres d'equacions diofàntiques. Aryabhata (el 499) va donar la primera descripció explícita de la solució entera general de l'equació diofàntica lineal , que apareix en el seu text Aryabhatiya. Aquest algorisme kuttaka és considerat com una de les contribucions més significatives d'Aryabhata en matemàtiques pures, que va trobar les solucions d'equacions diofàntiques en termes de fraccions contínues. La tècnica va ser aplicada per Aryabhata per donar les solucions enteres d'un sistema d'equacions diofàntiques lineals, un problema amb importants aplicacions en astronomia. Va trobar també la solució general de l'equació lineal indeterminada utilitzant aquest mètode.
Brahmagupta, el 628, va manipular les equacions diofàntiques més difícils. Va utilitzar el mètode chakravala per a resoldre les equacions diofàntiques quadràtiques, incloent-hi formes de l'equació de Pell-Fermat, tal com . El seu Brahmasphutasiddhanta va ser traduït a l'àrab el 773 i va ser traduït més tard a llatí, el 1126. L'equació va ser més tard posada com un problema el 1657 pel matemàtic francès Pierre de Fermat. La solució general d'aquesta forma particular d'equació de Pell-Fermat va ser trobada més de 70 anys més tard per Leonhard Euler, mentre que la solució general de l'equació de Pell-Fermat va ser trobada més de 100 anys més tard per Joseph Louis Lagrange, el 1767. Molts segles abans, la solució general de l'equació de Pell-Fermat havia sigut escrita per Bhaskara II el 1150, utilitzant una versió modificada del mètode chakravala de Brahmagupta, que va utilitzar també per trobar la solució general d'altres equacions quadràtiques intermediàries indeterminades i de les equacions diofàntiques quadràtiques. El mètode chakravala de Bhaskara per a trobar la solució general de l'equació de Pell-Fermat era més senzill que el mètode utilitzat per Lagrange 600 anys més tard.
Bhaskara va trobar també solucions per a altres equacions indeterminades quadràtiques, cúbiques, quàrtica i de les equacions polinòmiques de grau més elevat. Narayana Pandit va perfeccionar encara el mètode chakravala i va trobar més solucions generals per a les altres indeterminades quadràtiques, així com per a les equacions polinòmiques de grau més elevat.
La civilització islàmica A partir del , els matemàtics islàmics van tenir un viu interès en la teoria de nombres. El primer d'aquests matemàtics àrabs va ser Thàbit ibn Qurra, que va descobrir un teorema que permetia trobar parells de nombres amics, és a dir, dos nombres que són cadascun la suma dels divisors propis de l'altre.
Al , Al-Baghdadí va descobrir una lleugera variant del teorema de Thàbit ibn Qurra. Ibn al-Hàytham sembla haver estat el primer a intentar classificar tots els nombres perfectes parells (nombres iguals a la suma dels seus divisors propis), com els de la forma en què és primer. Al-Hàytham és també la primera persona a haver establert el teorema de Wilson, concretament que si p és primer llavors és divisible entre . No és clar si sabia com demostrar aquest resultat. Aquest teorema porta el nom de teorema de Wilson a causa d'un comentari fet per Edward Waring el 1770, segons el qual John Wilson havia observat el resultat. John Wilson indica a Waring que no sap demostrar aquest resultat, Waring no en troba tampoc cap prova. Tanmateix, la primera demostració coneguda prové de Leibniz, que no jutja útil de publicar-la, i Euler en va publicar una prova.
Els nombres amics han jugat un gran paper en les matemàtiques islàmiques. Al , el matemàtic persa Kamal al-Din al-Farisí va donar una nova demostració del teorema de Thàbit ibn Qurra, introduint noves idees en relació amb la descomposició i els mètodes combinatoris. Va donar també el parell de nombres amics 17.296, 18.416, que han estat atribuïts a Euler, però se sap que eren coneguts abans d'Al-Farisí, potser fins i tot per Thàbit ibn Qurra mateix.
Al , Muhàmmad Baqir Yazdi va donar el parell de nombres amics 9.363.584 i 9.437.056 força abans de la contribució d'Euler.
Inicis de la teoria de nombres a Europa La teoria dels nombres a Europa comença als segles i , amb els treballs de Viète, Bachet de Méziriac, i sobretot Fermat. Al , Euler i Lagrange van contribuir a la teoria; cap a la fi del segle, el tema comença a prendre una forma científica amb els grans treballs de Legendre (1798) i Gauss (1801). Amb aquest últim i la seva obra, les Disquisitiones arithmeticae (1801), es pot dir que comença la teoria moderna de nombres.
Txebixov (1850) va donar els límits, molt utilitzats, sobre la quantitat de nombres primers entre dos nombres donats. Riemann (1859) va conjecturar que el límit de la densitat dels nombres primers no excedeix una funció donada (el teorema dels nombres primers); va introduir l'anàlisi complexa en la teoria de la funció ζ de Riemann, i en va deduir la fórmula dels nombres primers a partir dels seus zeros.
L'aritmètica modular va començar realment amb els Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Va introduir el simbolisme següent:
i va explorar la major part d'aquesta àrea. Generalitza la teoria a altres anells d'enters i descobreix el primer conjunt d'enters algebraics: els enters de Gauss. Txebixov va publicar el 1847 un treball en rus sobre el tema. Serret el va popularitzar.
Al costat del treball resumit anteriorment, Legendre estableix els primers casos d'aplicació de la llei de reciprocitat quadràtica. Aquesta llei, descoberta per inducció i enunciada per Euler, la va demostrar primer Legendre en la seva Teoria de nombres (1798) per a casos excepcionals. Independentment d'Euler i Legendre, Gauss va descobrir la llei cap al 1795, i va ser el primer a donar-ne una prova general. A la matèria també hi varen contribuir: Cauchy; Dirichlet, el seu Vorlesungen Über Zahlentheorie és un clàssic; Jacobi, que va introduir el símbol de Jacobi; Liouville, Eisenstein, Kummer, i Kronecker. La teoria es va estendre per incloure la reciprocitat biquadràtica i cúbica (Gauss, Jacobi, que va ser el primer a demostrar la llei de reciprocitat cúbica, i Kummer).
Es deu també a Gauss la representació dels nombres per formes quadràtiques binàries. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue (1859, 1868), i de manera notable Hermite han contribuït pel que fa a això. En la teoria de les formes ternàries, Eisenstein ha estat un cap de fila, i gràcies a ell i també a H. J. S. Smith, es deu un avenç destacable en la teoria de les formes en general. Smith va donar una classificació completa de les formes quadràtiques ternàries, i va estendre les investigacions de Gauss en relació amb les formes quadràtiques reals cap a les formes complexes. Les investigacions en relació amb la representació dels nombres per la suma de 4, 5, 6, 7, 8 quadrats van ser aprofundides per Eisenstein i la teoria va ser completada per Smith.
En la història de la teoria dels nombres, l'últim teorema de Fermat té un paper a part, sobre la base dels esforços considerables, estesos sobre més de tres-cents anys, dels matemàtics del món sencer per aportar-ne la demostració (o la refutació). Aquest teorema afirma que per a n > 2, no existeixen enters no nuls x, y i z que verifiquen:
.