miniatura|Aryabhata es va interessar en l'aritmètica. Estableix els fonaments del mètode chakravala . En matemàtiques i més precisament en aritmètica, el mètode chakravala és un algorisme per resoldre les equacions diofàntiques equivalents a les de Pell-Fermat. Una equació diofàntica és una equació amb coeficients en els nombres enters i les solucions que es busquessin són enteres. L'equació tractada és equivalent a:
Aquest mètode es va desenvolupar a l'Índia i les seves arrels es poden resseguir fins al . Iniciat per Aryabhata, es desenvolupa més endavant per Brahmagupta i Bhaskara II.
Selenius, en la seva avaluació del mètode chakravala, diu: C.O. Selenius Rationale of the chakravala process of Jayadeva and Bhaskara II Va historiar Mathematica 2 1975 pàg. 167-184
En efecte cal esperar fins al Segle XVII perquè Europa descobreixi de manera independent els resultats dels treballs dels matemàtics indis.
Objectiu Una forma de l'equació de Pell-Fermat s'expressa de la manera següent:
Aquí n designa un enter estrictament més gran que 1 i sense factor quadrat, el que significa que l'únic quadrat perfecte que divideix n és igual a u. L'equació és diofàntica la qual cosa significa que les parelles (x0, y0) cercats són parelles de nombres enters.
Totes les solucions s'expressen a partir de la parella solució formada per dos enters mínims en valor absolut en el conjunt de les solucions. El mètode chakravala permet obtenir una parella d'aquesta naturalesa.
La igualtat següent és un exemple de solució, era coneguda pels indis des d'abans de la nostra era:H. M. Edwards Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory Springer 3ème Ed 2000
Història Matemàtiques índies Els matemàtics indis s'interessen molt aviat per l'aritmètica. Aryabhata, un matemàtic del Segle VI estableix les bases de l'aritmètica índia. Desenvolupa un sistema de numeració demostrant que coneixia probablement la notació posicional així com l'existència del zeroG Ifrah Història universal de les xifres: La intel·ligència dels homes contada pels nombres i el càlcul Robert Laffont 1994 Treballa sobre les equacions diofàntiques i per resoldre la identitat de Bézout, posa a punt un algorisme equivalent al d'Euclides que anomena kuaka (कूटटक) i que significa polvoritzador, ja que trenca els nombres en enters més petits. Treballa també sobre les fraccions contínues.Un anàlisia precis de la seva obra matemàtica està disponible a la tesi: Anàlisi del contingut matemàtic de l'Âryabhatîya
El matemàtic indi Brahmagupta sembla el primer a analitzar en profunditat aquesta qüestió. Comprèn com, a partir de dues solucions, és possible construir-ne una de nova. Reiterant, obté així un nombre de solucions diferents tan elevat com es vulgui. Aquest mètode s'anomena samasa pels matemàtics indisJ. Stillwell Mathematics and its History Springer Science 2ièssima éd 2004 pàg. 72-74 Brahmagupta en dedueix tres algorismes. El primer li permet de trobar una solució si disposa d'una parella d'enters (x0,y0) la imatge del qual per l'equació és -1. En troba un segon tractant el cas on la imatge és 2 en valor absolut. En troba una tercera que dona el mateix resultat si la imatge és igual a +/- 4. Una primera versió del mètode chakravala veu la llum. Comença per un tempteig fins a trobar una parella que té per imatge 1, 2 o 4 en valor absolut, continua per un dels tres algorismes.Bartel van der Waerden Pell's Equation in Greek and Hindu Mathematics Russ. Matemàtiques Surveys 1976 31 (5) pàg. 210-225 Brahmagupta el fa servir el 628 per resoldre l'equació següent:Aquest exemple s'ha tret del seu llibre Brahmasphuta siddhanta segons el lloc web de la Universitat de St. Andrew Pell's equation
Aquest enfocament és insuficient per tractar els casos complexos, pot ser difícil trobar per tempteig una parella que doni un dels sis valors que permeten concloure. Al {Segle XII Bhskara II innova i proposa la forma definitiva del mètode chakravala. Correspon a la unió d'un algorisme cíclic, és a dir donanda una successió periòdica de parelles que contingui necessàriament una solució. L'algorisme cíclic és equivalent al de les fraccions contínues. El mètode chakravala acaba amb els càlculs de Brahmagupta si apareix un dels valors +/- 2 i +/- 4. Bhskara II el fa servirBhskara II Bijaganita 1150 cf al lloc web de la Universitat de St. Andrew Pell's equation per trobar una solució mínima a l'equació següent ja trobada per Brahmagupta:
La parella solució que troba és:
És poc probable que Bhskara II hagi demostrat el fet que l'algorisme ofereix sempre una solució, és a dir per a qualsevol valor de n. Hi ha dues raons que ho fan pensar, primer de tot la demostració, llarga i tècnica, demana una sofisticació de lluny superior a les matemàtiques del Segle XII, a més si hagués trobat la demostració hauria tingut clar que el pas pel mètode de Brahmagupta no és necessari, encara que accelera la convergència de l'algorisme.Cette anàlisi s'ha extret del lloc web de la Universitat de St. Andrew Pell's equation
Més tard els matemàtics indis tracten nous exemples. Al Segle XIV un matemàtic de nom de Narayana estudia el cas on n és igual a 103 en els seus comentaris sobre el llibre Bijaganita' de Bhskara II.
Europa Pierre de Fermat llança el 3 de gener 1658 un desafiament als matemàtics europeus.<ref>L. Hua J Rousseau Fermat ha demostrat el seu gran teorema? la hipòtesi "Pascal" L'Harmattan 2002 pàg. </ref> Conté la cerca d'una solució al problema indi amb per a valor de n 61, ja tractat per Brahmagupta i Bhskara II. En aquesta època Europa no té coneixement dels resultats dels seus predecessors. A parti del repte,John Wallis un matemàtic anglès va contestar: no trobarà malament, crec, que li tornem la parella, i isxó, no sobre una fotesa. Aquestes informacions s'han extret del lloc web: Pierre de Fermat per la ciutat Beaumont de Lomagne la reacció anglesa és ràpida, William Brouncker troba un algorisme equivalent al de Bhskara II, Bernard Frenicle de Bessy proposa una taula que conté totes les solucions per als valors de n inferiors a 150, que finalment es va perdre John Wallis descobreix els resultats de Brahmagupta i els demostra rigorosament. Frenicle de Bessy desafia Brouncker amb el valor n igual a 313, rep en resposta no només la solució sinó l'afirmació que el seu autor no ha necessitat més d'una hora o dues per a trobar-la.Aquestes informacions provenen de la compilació dels intercanvis epistolars entre els diferents actors. Estan publicades a la referència: John Wallis Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum Oxonii: Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson 1658
Les dues qüestions teòriques subjacents, és a dir si per a tot valor de n estrictament positiu i sense factor quadrat existeix una solució i si la solució trobada genera totes les altres es resolen finalment per Joseph Louis Lagrange el 1767.El text dels treballs de Lagrange està disponible: Solució d'un problema d'aritmètica
Aportacions de Brahmagupta Conceptes previs Els mètodes proposats aquí fan servir la potència del formalisme actual. Si bé el contingut matemàtic és anàleg al de Brahmagupta, les tècniques d'exposició així com les demostracions no reflecteixen el pensament del matemàtic indi.
Les notacions següents es fan servir en tota la resta de l'article. Es considera l'equació diofàntica següent, on n és un enter més gran que 1 i sense factor quadrat:
Sigui A l'anell dels nombres irracionals de la forma a + √n.b, on a i b designen dos nombres enters. Siguin N l'aplicació que al nombre a + √n. b li associa a2 - n.b2 i φ l'aplicació que a a + √n. b li associa φ(a + √n. b) = a - √n.b.
La funció N correspon a la norma de A en el sentit de la teoria de nombres algebraics. Posseeix una propietat força útil. Un nombre α de A igual a a + √n. b correspon a una solució (a , b) de l'equació (1) si i només si N(α) és igual a 1. Així, l'equació (1) també es pot escriure N(ξ) = 1. Per aquesta raó α si és un element de A que verifica N(α) = 1, es diu que és arrel de l'equació (1).
La funció φ també té altres propietats útils. És un automorfisme de A:
L'aplicació φ és involutiva és a dir que si es compon dues vegades successives amb ella mateixa, és igual a la identitat o, cosa que és equivalent, és igual a la seva aplicació inversa:
Finalment, l'aplicació φ ofereix una expressió de la norma:
Si es nota α = a + √n. b , prové del càlcul següent:
Samasa
La primera propietat que es fa servir és la següent: Siguin α i β dos elements de A, llavors:
Si α = a1 + √n.a₂ i β = b1 + √n.b₂ aquesta igualtat s'escriu:
Aquesta igualtat és coneguda amb el nom dIdentitat de Brahmagupta que els indis en deien Samasa. Per convèncer-se de la seva exactitud, n'hi ha prou amb expressar N en funció de l'automorfisme φ:
Un cas particular correspon a aquell on β és un enter k , la igualtat pren la forma següent: Sigui α un element de A i k un enter, llavors:
Conseqüències Sigui α un element de A tal que N(α) = 1, llavors α -1 és un element de A i verifica N(α -1) = 1 i α -1 = φ(α).
En efecte, dir que N(φ) = 1, és dir que α.φ(α) = 1, el que demostra que φ(α) és l'invers de α i aplicant φ a la igualtat α.φ(α) = 1, s'obté substituint φ(α) per α -1: α -1.φ(α -1) = 1
Si l'equació (1) admet una solució diferent de +/- 1, llavors admet una infinitat de solucions diferents.
En efecte, si α és una solució, α -1 també n'és una, segons la proposició precedent i com que la norma d'un producte és igual al producte de les normes, es disposa de les igualtats següent:
N'hi ha prou amb demostrar que les potències de α són totes diferents. Això prové del fet que si un nombre real x verifica x k = 1, on k és un enter diferent de 0, llavors x és igual a +/- 1. Sigui k i l dos enters tals que αk = αl llavors αk-l és igual a 1 i com que α és diferent d'1 i -1, k - l és igual a 0. Comprendre com ho va fer Brahmagupta per resoldre l'equació (1) depèn de tres proposicions, simples de demostar:
Sigui α un element de A tal que N(α) = -1, α 2 és solució de (1).
N'hi ha prou amb fixar-se que la norma de α ² és el quadrat de la norma de α i és igual a 1.
Sigui α un element de A tal que N(α) sigui igual a +/- 2 , llavors 1/2.α² és un element de A solució de (1).
En efecte, si α és igual a a + b .√n llavors un càlcul mostra que α² = a² + n.b² + 2ab.√n. Com que a2 + n.b2 = N(α) + 2.n.b2 i com que N(α) i 2ab són múltiples de 2, α² també n'és. El càlcul següent permet concloure:
Sigui α un element de A tal que N(α) sigui igual a +/- 4 i tal que 2 no divideix α, llavors 1/8.α3 és un element de A de norma igual a +/- 1 .
En efecte, calculant α3:
Fixant-se que N(α) = a 2 - n.b 2 = +/- 4, s'obté:
Com que és senar, n'hi ha prou amb demostrar que b és senar per provar que α3 és un múltiple de 8. Si b és parell, n.b 2 és un múltiple de quatre i com que N(α) = a 2 - n.b 2 també és un múltiple de quatre, a és parell. Ara bé per hipòtesi no és un múltiple de dos i a i b no poden ser parells de manera simultània. En conseqüència, b és senar i ε + nb2 així com 3ε + nb2 són parells si n és senar. Això demostra que α3 és un múltiple de 8 si n és senar.
Ara bé n és sempre senar. En efecte, si n és parell, com que N(α) és parell, a també ho és i a 2 és un múltiple de quatre, per tant com que n no té cap factor quadrat, n no és un múltiple de quatre, per tant b és parell i α és un múltiple de 2, ço que és contrari a la hipòtesi i finalitza la demostració.
Així el coneixement d'un element α de norma igual a +/- 4 permet trobar una solució. Si α és divisible per 2 en A, 1/2.α és un element de norma igual a +/- 1 i el seu quadrat és una solució. Si no, 1/8.α3 és un element de norma igual a +/- 1, un pas al quadrat permet també determinar una solució.
Exemples Exemple de Brahmagupta Es tracta amb aquest mètode l'exemple de Brahmagupta següent: