En matemàtiques, una funció de Green és la resposta a l'impuls d'un operador diferencial lineal no homogeni definit en un domini amb condicions inicials o condicions de contorn especificades.
Això vol dir que si L és l'operador diferencial lineal, aleshores la funció de Green G és la solució de l'equació LG = δ, on δ és la funció delta de Dirac; la solució del problema de valor inicial Ly = f és la convolució (G ⁎ f), on G és la funció de Green.
Mitjançant el principi de superposició, donada una equació diferencial ordinària lineal (EDO), L(solució) = font, primer es pot resoldre L(verd) = δs, per a cada s, i adonant-se que, ja que la font és una suma de funcions delta, la solució també és una suma de les funcions de Green, per linealitat de L.
Les funcions de Green reben el nom del matemàtic britànic George Green, que va desenvolupar el concepte per primera vegada a la dècada del 1820. En l'estudi modern de les equacions diferencials en derivades parcials lineals, les funcions de Green s'estudien en gran part des del punt de vista de les solucions fonamentals.
Sota la teoria de molts cossos, el terme també s'utilitza en física, específicament en teoria quàntica de camps, aerodinàmica, aeroacústica, electrodinàmica, sismologia i teoria estadística de camps, per referir-se a diversos tipus de funcions de correlació, fins i tot aquelles que no s'ajusten a la definició matemàtica. En la teoria quàntica de camps, les funcions de Green prenen el paper de propagadors.
Definició i aplicacions Una funció de Green, G(x,s), d'un operador diferencial lineal actuant sobre distribucions sobre un subconjunt de l'espai euclidià , en un punt s, és qualsevol solució de
on és la funció delta de Dirac. Aquesta propietat de la funció de Green es pot aprofitar per resoldre equacions diferencials de la forma
Si el nucli de L no és trivial, aleshores la funció de Green no és única. Tanmateix, a la pràctica, alguna combinació de simetria, condicions de contorn i/o altres criteris imposats externament donaran una funció única de Green. Les funcions de Green es poden classificar, segons el tipus de condicions de contorn satisfetes, pel nombre de la funció de Green. A més, les funcions de Green en general són distribucions, no necessàriament funcions d'una variable real.
Les funcions de Green també són eines útils per resoldre equacions d'ona i equacions de difusió. En mecànica quàntica, la funció de Green del Hamiltonià és un concepte clau amb vincles importants amb el concepte de densitat d'estats.
La funció de Green tal com s'utilitza a la física es defineix normalment amb el signe oposat. És a dir,
Aquesta definició no canvia significativament cap de les propietats de la funció de Green a causa de la uniformitat de la funció delta de Dirac.
Si l'operador és invariant de translació, és a dir, quan té coeficients constants respecte a x, llavors la funció de Green es pot considerar un nucli de convolució, és a dir,
En aquest cas, la funció de Green és la mateixa que la resposta d'impuls de la teoria de sistemes lineals invariants en el temps.
Motivació
En termes generals, si es pot trobar una funció G per a l'operador , aleshores, si multipliquem l'equació () per a la funció de Green per f(s), i després integrem respecte a s, obtenim
,
Perquè l'operador és lineal i actua només sobre la variable x (i no sobre la variable d'integració s), es pot prendre l'operador fora de la integració, cedint
Això vol dir que
és una solució de l'equació
Així, es pot obtenir la funció u(x) a través del coneixement de la funció de Green a l'equació () i del terme font a la part dreta de l'equació (). Aquest procés es basa en la linealitat de l'operador .
En altres paraules, la solució de l'equació (), u(x), es pot determinar mitjançant la integració donada a l'equació (). Tot i que es coneix f(x), aquesta integració no es pot realitzar a menys que també es conegui G. El problema ara rau a trobar la funció de Green G que satisfà l'equació (). Per aquest motiu, la funció de Green també s'anomena de vegades la solució fonamental associada a l'operador .
No tots els operadors admeten una funció de Green. La funció de Green també es pot considerar com una inversa per la dreta de . A part de les dificultats de trobar una funció de Green per a un operador particular, la integral de l'equació () pot ser força difícil d'avaluar. Tanmateix, el mètode dona un resultat teòricament exacte.
Això es pot pensar com una expansió de f segons una base de funció delta de Dirac (projectant f sobre ; i una superposició de la solució a cada projecció. Aquesta equació integral es coneix com a equació integral de Fredholm, l'estudi de la qual constitueix la teoria de Fredholm.
Funcions de Green per a la resolució de problemes de valors de contorn no homogenis L'ús principal de les funcions de Green en matemàtiques és resoldre problemes de valors de contorn no homogenis. En la física teòrica moderna, les funcions de Green també s'utilitzen normalment com a propagadors en diagrames de Feynman; el terme funció de Green s'utilitza sovint per a qualsevol funció de correlació.
Àmbit Sigui l'operador de Sturm–Liouville, un operador diferencial lineal de la forma
i sigui l'operador de condicions de contorn amb valors vectorials
Sigui una funció contínua en Suposem, a més, que el problema
és «regular», és a dir, l'única solució per a per a tot és .En l'argot tècnic «regular» significa que només existeix la solució trivial () per al problema d'homogeneïtat (f(x) = 0).
Teorema Hi ha una i només una solució que satisfà
i ve donada per
on és una funció de Green que compleix les condicions següents: és contínua en i . Per a , . Per a , . Derivada «salt»: . Simetria: .
Funcions avançades i retardades de Green La funció de Green no és necessàriament única, ja que l'addició de qualsevol solució de l'equació homogènia a una funció de Green dona lloc a una altra funció de Green. Per tant, si l'equació homogènia té solucions no trivials, existeixen múltiples funcions de Green.
En alguns casos, és possible trobar una funció de Green que només no s'esvaeix, que s'anomena funció de Green retardada, i una altra funció de Green que només no s'esvaeix, que s'anomena funció avançada de Green. En aquests casos, qualsevol combinació lineal de les dues funcions de Green també és una funció de Green vàlida.
La terminologia avançada i retardada és especialment útil quan la variable x correspon al temps. En aquests casos, la solució proporcionada per l'ús de la funció de Green retardada depèn només de les fonts passades i és causal, mentre que la solució proporcionada per l'ús de la funció de Green avançada depèn només de les fonts futures i és causal. En aquests problemes, sovint es dona el cas que la solució causal sigui la físicament important.
L'ús de la funció de Green avançada i retardada és especialment comú per a l'anàlisi de solucions de l'equació d'ones electromagnètiques no homogènies.
Trobar les funcions de Green Unitats Tot i que no soluciona de manera única la forma que prendrà la funció de Green, realitzar una anàlisi dimensional per trobar les unitats que ha de tenir una funció de Green és una comprovació important d'un control de seny de qualsevol funció de Green trobada per altres mitjans. Un examen ràpid de l'equació definidora,
demostra que les unitats de depenen no només de les unitats de , però també sobre el nombre i les unitats de l'espai de què són els vectors de posició i són elements. Això condueix a la relació:
on es defineix com «les unitats físiques de », i és l'element de volum de l'espai (o espaitemps).
Per exemple, si i el temps és l'única variable, aleshores:
Si , l'operador de d'Alembert, i l'espai té 3 dimensions llavors:
Expansions de valors propis Si un operador diferencial L admet un conjunt de vectors propis (per exemple, un conjunt de funcions i escalars tal que ) que està complet, llavors és possible construir una funció de Green a partir d'aquests vectors propis i valors propis.
«Complet» significa que el conjunt de funcions {Ψn} satisfà la següent relació de completesa,
Aleshores es compleix el següent,
on representa una conjugació complexa.
L'aplicació de l'operador L a cada costat d'aquesta equació dona com a resultat la relació de completesa, que es va suposar.
L'estudi general de la funció de Green escrita en la forma anterior, i la seva relació amb els espais funcionals formats pels vectors propis, es coneix com a teoria de Fredholm.
Hi ha diversos altres mètodes per trobar les funcions de Green, inclòs el mètode d'imatges, la separació de variables i les transformades de Laplace.
Combinant les funcions de Green Si l'operador diferencial es pot factoritzar com , llavors la funció de Green es pot construir a partir de les funcions de Green per i :
La identitat anterior segueix immediatament de la presa per ser la representació de l'operador dret invers de , de manera anàloga a l'operador lineal invertible , definit per , es representa pels seus elements matricials .
Segueix una identitat addicional per als operadors diferencials que són polinomis escalars de la derivada, . El teorema fonamental de l'àlgebra, combinat amb el fet que es desplaça amb si mateix, garanteix que el polinomi es pot factoritzar, posant en la forma:
on són els zeros de . Prenent la transformada de Fourier de respecte a tots dos ( i ) obtenim:
Aleshores, la fracció es pot dividir en una suma mitjançant una descomposició en fraccions parcials abans de la transformació de Fourier respecte a i . Aquest procés produeix identitats que relacionen integrals de les funcions de Green i sumes de les mateixes. Per exemple, si aleshores una forma per a la seva funció de Green és:
Tot i que l'exemple presentat és tractable analíticament, il·lustra un procés que funciona quan la integral no és trivial (per exemple, quan és l'operador del polinomi).
Taula de les funcions de Green La taula següent ofereix una visió general de les funcions de Green dels operadors diferencials que apareixen amb freqüència, on , , és la funció esglaò de Heaviside, és una funció de Bessel, és una funció de Bessel modificada del primer tipus, i és una funció de Bessel modificada del segon tipus. Quan el temps (t) apareix a la primera columna, es mostra la funció avançada (causal) de Green.
Operador diferencial Funció de Green Exemple d'aplicació on amb Oscil·lador harmònic 1D subamortit on amb Oscil·lador harmònic 1D subamortit on Oscil·lador harmònic 1D amortit Operador laplacià 2D amb Equació de Poisson 2D Operador laplacià 3D amb Equació de Poisson Operador de Helmholtz ; on és la funció de Hankel del segon tipus, i, i és la funció de Hankel esfèrica del segon tipus Equació estacionària de Schrödinger 3D per a una partícula lliure en dimensions Potencial de Yukawa, propagador de Feynman, equació de Poisson apantallada Equació d'ona 1D Equació d'ona 2D Operador de D'Alembert Equació d'ona 3D Difusió 1D Difusió 2D Difusió 3D amb Equació de Klein-Gordon 1D amb Equació de Klein-Gordon 2D amb Equació de Klein-Gordon 3D amb Equacions del telègraf amb Conducció de calor relativista 2D amb Conducció de calor relativista 3D
Funcions de Green per al Laplacià
Les funcions de Green per a operadors diferencials lineals que impliquen el Laplacià es poden utilitzar fàcilment utilitzant la segona identitat de Green.
Per derivar el teorema de Green, comencem pel teorema de la divergència (també conegut com a teorema de Gauss),
Fem que i substituim a la llei de Gauss.
Computem i apliquem la regla del producte per a l'operador ∇,
En connectar-ho al teorema de la divergència es produeix el teorema de Green,
Suposem que l'operador diferencial lineal L és el Laplacià, ∇2, i que hi ha una funció de Green G per al Laplacià. La propietat definidora de la funció de Green encara es manté,
Sigui a la segona identitat de Green (vegeu les identitats de Green). Aleshores,