En càlcul vectorial, lequació de Laplace és una equació en derivades parcials de segon ordre de tipus el·líptic, que rep aquest nom en honor del físic i matemàtic Pierre-Simon Laplace.
Introduïda per les necessitats de la mecànica newtoniana, l'equació de Laplace apareix en moltes altres branques de la física teòrica com l'astronomia, l'electroestàtica, la mecànica de fluids o la mecànica quàntica, i en branques de les matemàtiques com l'anàlisi complexa.
Definició L'equació de Laplace es defineix com:
on és l'operador laplacià i u són funcions reals o complexes.
L'equació de Laplace es tracta d'un cas particular de l'equació de Poisson:
quan la funció f és zero.
A les funcions solucions de l'equació de Laplace se'ls anomena funcions harmòniques.
Condicions inicials El problema de Cauchy per l'equació de Laplace s'anomena un problema plantejat no correctament , ja que la solució no depèn contínuament de les dades del problema. Aquests problemes mal definits no són usualment satisfactoris per a les aplicacions físiques.
Condicions de frontera Problema de Dirichlet El problema de Dirichlet consisteix a trobar una funció harmònica donats els seus valors a la frontera d'un domini acotat. Això és:
trobar una funció o amb primera i segona derivades contínues en D i continua a la frontera de D
en D a la frontera de D per certa funció contínua a la frontera de D.
Com a conseqüència del principi fort del màxim de les funcions harmòniques s'ha de la solució del problema de Dirichlet si existeix és única.
Equació de Laplace tridimensional A coordenades cartesianes, en un espai euclidià de tres dimensions, el problema consisteix a trobar totes les funcions de tres variables reals que verifiquen l'equació en derivades parcials de segon ordre:
Per simplificar l'escriptura, s'introdueix l'operador diferencial (operador laplacià) tal que l'equació ens queda:
Solució fonamental Una solució fonamental de l'equació de Laplace satisfà on la funció delta de Dirac denota una font unitària concentrada en el punt . Cap funció té aquesta propietat: de fet, és una distribució més que no pas una funció; però es pot considerar com un límit de funcions les integrals de les quals sobre l'espai són unitat, i el suport de les quals (la regió on la funció és diferent de zero) es redueix a un punt (vegeu la solució feble). És comú prendre una convenció de signes diferent per a aquesta equació de la que es fa normalment quan es defineixen solucions fonamentals. Aquesta elecció de signe sovint és convenient per treballar perquè −Δ és un operador positiu. La definició de la solució fonamental implica, doncs, que, si el laplacià de s'integra sobre qualsevol volum que englobi el punt font, aleshores
L'equació de Laplace no canvia sota una rotació de coordenades, i per tant podem esperar que es pugui obtenir una solució fonamental entre solucions que només depenen de la distància des del punt d'origen. Si escollim que el volum sigui una bola de radi al voltant del punt d'origen, aleshores el teorema de la divergència de Gauss implica que
D'això es dedueix que en una esfera de radi centrada en el punt font, i per tant
Cal tenir en compte que, amb la convenció de signe oposat (utilitzada en física), aquest és el potencial generat per una partícula puntual, per a una força de llei del quadrat invers, que sorgeix en la solució de l'equació de Poisson. Un argument similar mostra que en dues dimensions on denota el logaritme natural. Cal tenir en compte que, amb la convenció de signe oposat, aquest és el potencial generat per un embornal puntual (vegeu partícula puntual), que és la solució de les equacions d'Euler en un flux incompressible bidimensional.
Funció de Green Una funció de Green és una solució fonamental que també satisfà una condició adequada a la vora d'un volum Per exemple, pot satisfer
Ara, si és qualsevol solució de l'equació de Poisson a :
i assumeix els valors de frontera a , aleshores podem aplicar la identitat de Green (una conseqüència del teorema de la divergència), que estableix que
Les notacions u n i G n denoten derivades normals sobre Ateses les condicions que compleixen i , aquest resultat es simplifica a
Així, la funció de Green descriu la influència a de les dades i . Per al cas de l'interior d'una esfera de radi , la funció de Green es pot obtenir mitjançant una reflexió : el punt font a distància del centre de l'esfera es reflecteix al llarg de la seva línia radial fins a un punt P que es troba a una distància
Tingueu en compte que si és dins de l'esfera, aleshores P ′ serà fora de l'esfera. La funció de Green ve donada per on denota la distància al punt d'origen i denota la distància al punt reflectit P '. Una conseqüència d'aquesta expressió per a la funció de Green és la fórmula integral de Poisson'''. Siguin , i coordenades esfèriques per al punt d'origen Aquí denota l'angle amb l'eix vertical, cosa que és contrària a la notació matemàtica americana habitual, però coincideix amb la pràctica física i europea estàndard. Aleshores, la solució de l'equació de Laplace amb valors de frontera de Dirichlet dins de l'esfera ve donada per on és el cosinus de l'angle entre i . Una conseqüència simple d'aquesta fórmula és que si és una funció harmònica, aleshores el valor de al centre de l'esfera és el valor mitjà dels seus valors a l'esfera. Aquesta propietat de valor mitjà implica immediatament que una funció harmònica no constant no pot assumir el seu valor màxim en un punt interior.
Harmònics esfèrics de Laplace miniatura|Harmònics esfèrics reals (de Laplace) per (de dalt a baix) i (d'esquerra a dreta). Els harmònics zonals, sectorials i tesserals es representen al llarg de la columna de més a l'esquerra, la diagonal principal i en altres llocs, respectivament. (Els harmònics d'ordre negatiu es mostraria girat al voltant de l'eix per respecte a les d'ordre positiu.)
L'equació de Laplace en coordenades esfèriques és:The approach to spherical harmonics taken here is found in
Considerem el problema de trobar solucions de la forma . Per separació de variables, s'obtenen dues equacions diferencials imposant l'equació de Laplace:
La segona equació es pot simplificar sota la suposició que té la forma . Si tornem a aplicar la separació de variables a la segona equació, s'obté el parell d'equacions diferencials
per a algun nombre . A priori, és una constant complexa, però com que ha de ser una funció periòdica el període de la qual divideix uniformement , és necessàriament un nombre enter i és una combinació lineal de les exponencials complexes . La funció solució és regular als pols de l'esfera, on . Imposar aquesta regularitat a la solució de la segona equació als punts de frontera del domini és un problema de Sturm-Liouville que força que el paràmetre sigui de la forma per a algun nombre enter no negatiu amb ; això també s'explica més endavant en termes del moment angular orbital. A més, un canvi de variables transforma aquesta equació en l’equació de Legendre, la solució de la qual és un múltiple del polinomi de Legendre associat . Finalment, l'equació per a té solucions de la forma ; si es requereix que la solució sigui regular al llarg de es força
Aquí es va assumir que la solució tenia la forma especial . Per a un valor donat de , hi ha solucions independents d'aquesta forma, una per a cada enter amb . Aquestes solucions angulars són un producte de funcions trigonomètriques, aquí representades com una exponencial complexa, i polinomis de Legendre associats: que compleixen
s'anomena funció harmònica esfèrica de grau i ordre , un polinomi de Legendre associat, és una constant de normalització, i i representen la colatitud i la longitud, respectivament. En particular, la colatitud , o angle polar, va des de al Pol Nord, fins a a l'Equador, fins a al Pol Sud, i la longitud , o azimut, pot assumir tots els valors amb . Per a un enter fix , cada solució del problema de valors propis és una combinació lineal de . De fet, per a qualsevol solució d'aquest tipus, és l'expressió en coordenades esfèriques d'un polinomi homogeni que és harmònic (vegeu més avall), i per tant, comptant dimensions es mostra que hi ha polinomis d'aquest tipus linealment independents.
La solució general de l'equació de Laplace en una bola centrada a l'origen és una combinació lineal de les funcions harmòniques esfèriques multiplicades pel factor d'escala apropiat , on són constants i els coneixen com a harmònics sòlids. Aquesta expansió és vàlida en la pilota
Per a , els harmònics sòlids amb potències negatives de es trien en comptes d'això. En aquest cas, cal ampliar la solució de regions conegudes en sèrie de Laurent (aproximadament ), en lloc de la sèrie de Taylor (aproximadament ), per fer coincidir els termes i trobar .
Electrostàtica i magnetoestàtica Si és el camp elèctric, sigui la densitat de càrrega elèctrica, i sigui la permitivitat de l'espai buit. Aleshores, la llei de Gauss per a l'electricitat (primera equació de Maxwell) en forma diferencial estableixGriffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. 4th ed., Pearson, 2013. Chapter 2: Electrostatics. p. 83-4.
Ara, el camp elèctric es pot expressar com el gradient negatiu del potencial elèctric , si el camp és irrotacional, La irrotacionalitat de també es coneix com a condició electroestàtica.Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. 4th ed., Pearson, 2013. Chapter 2: Electrostatics. p. 83-4.
Si connectem aquesta relació a la llei de Gauss, obtenim l'equació de Poisson per a l'electricitat,Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. 4th ed., Pearson, 2013. Chapter 2: Electrostatics. p. 83-4.
En el cas particular d'una regió sense fonts, i l'equació de Poisson es redueix a l'equació de Laplace per al potencial elèctric.Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. 4th ed., Pearson, 2013. Chapter 2: Electrostatics. p. 83-4.
Si el potencial electroestàtic s'especifica al límit d'una regió , aleshores està determinat de manera única. Si està envoltat d'un material conductor amb una densitat de càrrega específica , i si el càrrec total és conegut, aleshores també és únic.Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. 4th ed., Pearson, 2013. Chapter 3: Potentials. p. 119-121.
Per al camp magnètic, quan no hi ha corrent lliure, Així doncs, podem definir un potencial escalar magnètic, , com a Amb la definició d’: d'això es dedueix que
De manera similar a l'electroestàtica, en una regió sense font, i l'equació de Poisson es redueix a l'equació de Laplace per al potencial escalar magnètic,
Un potencial que no satisfà l'equació de Laplace juntament amb la condició de contorn és un potencial escalar electroestàtic o magnètic no vàlid.
Equació de Laplace bidimensional A coordenades cartesianes, en un espai euclidià de dues dimensions, el problema consisteix a trobar totes les funcions de dues variables reals que verifiquen:
Problema de Dirichlet Problema de Dirichlet en el cercle unitat Per la fórmula integral de Poisson tenim que la solució al problema en un cercle (expressant la solució en coordenades polars) és:
Problema de Dirichlet en el semiplà superior S'obté la coneguda com fórmula integral de Schwartz :
Funcions analítiques