En teoria de probabilitat i estadística, la distribució de Poisson o llei dels petits nombres o dels fenòmens rars és una distribució de probabilitat discreta que és un bon model per molts fenòmens naturals o socials. Una propietat especialment important és que una distribució binomial de paràmetres i , , amb gran i petit es pot aproximar (en distribució) per una distribució de Poisson de paràmetre . Moltes de les aplicacions de la distribució de Poisson es justifiquen partint d'aquesta propietat.
Aquesta distribució va ser introduïda per Siméon-Denis Poisson l'any 1837 en el seu treball Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (Investigació sobre la probabilitat dels judicis en matèries criminals i civils).
Les referències bàsiques d'aquesta pàgina són
Definició Una variable aleatòria de Poisson de paràmetre és una variable discreta que pot prendre qualsevol valor natural, 0, 1, 2, ... amb probabilitatsS'escriu o o alguna notació similar.
Propietats 1. Esperança i variància. L'esperança i la variància d'una variable aleatòria amb distribució de Poisson de paràmetre són iguals a :
Així, si la distribució de Poisson s'utilitza per modelar el comptatge d'un fenomen, aleshores es pot interpretar com la freqüència esperada del fenomen.
Prova: on hem utilitzat el desenvolupament es sèrie de la funció exponencial.
Per trobar el moment de segon ordre i la variància calcularem :
D'altra banda, d'onLlavors,
2. Moments d'ordre superior. Els moments d'ordre superior són polinomis de Touchard en , i els coeficients tenen una interpretació combinatòria. De fet, quan el valor esperat de la distribució de Poisson és 1, llavors segons la fórmula de Dobinski, el -èsim moment iguala el nombre de particions de mida .
3. Moda. La moda d'una variable aleatòria de distribució de Poisson amb un no sencer és igual a , el més gran dels enters menors que (els símbols representen la funció part sencera). Quan és un enter positiu, les modes són i .
4. Funció generatriu de moments. La Funció generatriu de la distribució de Poisson de paràmetre és
Anàlogament, la funció característica és
5. Les variables aleatòries de Poisson són infinitament divisibles.
6. Divergència de Kullback-Leibler. La divergència Kullback-Leibler d'una variable aleatòria de Poisson de paràmetre a una altra de paràmetre és
7. Sumes de variables aleatòries de Poisson. La suma de variables aleatòries de Poisson independents és una altra variable aleatòria de Poisson en què el paràmetre és la suma dels paràmetres de les originals. Dit d'una altra manera, si
són N variables aleatòries de Poisson independents, llavors .
Relació amb altres distribucions Distribució binomial La distribució de Poisson és un cas límit de la distribució binomial: una distribució binomial amb gran, petita, i petita respecte a , es pot aproximar raonablement bé per una distribució de Poisson de paràmetre . Històricament, Poisson va utilitzar aquest argument per introduir la seva distribució, i és el principal raonament per justificar la utilització d'aquesta distribució, tal com veurem en els exemples més avall.
Formalment, sigui una successió de nombres tals que . Considerem una llei binomial de paràmetres i , , i sigui Aleshores
En efecte, tenim que Llavors, per a on hem utilitzat un límit tipus nombre .
Per a qualsevol natural , tenim, per a prou gran, i passant al límit s'obté Noteu que d'aquí es dedueix que la successió convergeix en distribució a .
En particular, si partim de i prenem aleshores tenim que una distribució binomial amb gran, petita i relativament petita respecte , es pot aproximar per una distribució de Poisson . Aquesta propietat fa que la distribució de Poisson també s'anomeni llei dels petits nombres;L. von Bortkiewicz, <<Das Gesetz der Klenen Zahlen>> (1898), citat per Jonhson, N. L. and Kotz, S. <<Univariate Discrete Distributions>>, 2nd edition, Wiley (1992) o dels fenòmens rars, ja que el fenomen subjacent té probabilitat petita; Johnson and Kotz atribueixen el nom <<llei del petits nombres>> a Bortkiewicz (o Borkiewitsch) (1868-1931) i el seu llibre Das Gesetz der kleinen Zahlen (La llei dels petits nombres). Un autor de pes, Feller, considera desafortunat aquest nom i dona nombrosos exemples per mostrar-ho. Cal tenir present que si bé la probabilitat és petita, el producte pot ser gran, sempre que sigui relativament petit respecte de .
Aproximació normal A conseqüència de teorema central del límit, per a valors grans de , una variable aleatòria de Poisson es pot aproximar per una variable normal de mitjana i variància ja que Vegeu.
Distribució exponencial Suposem que per a cada valor , que representa el temps, el nombre d'aparicions de cert fenomen aleatori segueix una distribució de Poisson de paràmetre . Llavors, els temps que discorren entre dos aparicions successives segueix la distribució exponencial.
Distribució khi-quadrat Si és una distribució de Poisson de paràmetre , aleshores per a ,
on és una variable aleatòria amb distribució amb graus de llibertat.
Aquesta fórmula és útil perquè permet calcular el valor de la funció de distribució d'una variable aleatòria de Poisson de manera ràpida.
Exemples històrics Soldats de l'exèrcit prussià morts per una guitza del seu cavall En el llibre que hem citat abans de Bortkiewicz, s'estudia el nombre de soldats de l'exèrcit prussià morts per una guitza del seu cavall. A la taula hi ha el nombre de morts corresponent a 10 cossos de característiques similarsDe la taula original s'han exclòs les columnes corresponents als cossos G, I, VI i XI perquè tenien característiques diferents durant 20 anys
Taula 1. Nombre de soldats morts per una guitza del seu cavall a l'exercit en 10 cossos de l'exercit prussià durant 1875-1894 Cos de l'exercit Any II III IV V VII VIII IX X XIV XV Total 1875 1 1 1 3 1876 1 1 1 3 1877 1 1 2 4 1878 2 1 1 1 1 6 1879 1 1 2 1 1 6 1880 2 1 1 1 2 1 3 11 1881 2 1 1 1 5 1882 1 1 2 4 1 9 1883 1 2 1 1 1 6 1884 1 1 2 1 1 6 1885 2 1 3 1886 1 1 1 3 6 1887 2 1 2 1 1 2 9 1888 1 1 1 3 1889 1 1 1 1 2 2 8 1890 2 1 2 2 1 2 2 12 1891 1 1 1 1 1 3 1 9 1892 2 1 1 1 1 1 7 1893 1 2 1 4 1894 1 1 2 Total 12 12 8 1112 7 13 15 248122 En total es van produir 122 morts. La següent taula és un resum de la Taula 1 en termes de freqüències absolutes i relatives: Taula 2. Taula de freqüències de les dades de Bortkiewicz Nombre de soldats morts en un cos i anys 01234 TotalFreqüència absoluta109652231 200Freqüència relativa0.5450,3250,1100,0150,0051 La mitjana de morts per cos i any és
Suposem que cos de l'exèrcit tenia 1000 soldats (com veurem, aquest nombre, que desconeixem, no té cap paper, podríem posar ). Un model raonable per al nombre de soldats morts (per cos i any) és una distribució binomial , on és la probabilitat que un soldat resulti mort. Aquesta probabilitat és molt petita i podem estimar-la de la següent manera: Tenim 10 cossos durant 10 anys, que representen soldats. Aleshores D'acord amb els comentaris anteriors, podem aproximar la distribució binomial per una distribució de Poisson de paràmetre que és la mitjana que hem calculat abans. La Taula 3 dona les probabilitats d'una variable aleatòria de Poisson de paràmetre , : Taula 3. Taula de probabilitats d'una distribució de Poisson Poi(0,61) 0123 Probabilitat0.5430,3310,1010,0200,003 En comparar la fila de les freqüències relatives de la Taula 2 i les probabilitats de la Taula 3 veiem que la concordança entre ambdues és realment notable.
Desintegració de partícules radioactives Rutherford i Geiger reporten que varen observar el nombre de partícules emeses per una massa de material radioactiu durant 2.608 intervals de 7,5 segons cadascun. A la Taula 4 la denota el nombre de partícules emeses en un interval de 7,5 segons, la freqüència absoluta és el nombre de vegades que es va observar el corresponent valor , després hi ha freqüència relativa i finalment la probabilitat que una variable de Poisson de paràmetre prengui aquell valor: Taula 4. Experiment de Rutherford et al. 01234567891011 121314Total Freq. absoluta5720338352553240827313945271040112608 Freq. relativa0,0220,0780,1470,2010,2040,1560,1050,0530,0170,0100.0040.0020.0000,0000,0001 Probabilitat Poisson0,0210,0810,1560,2010,1950,1510,0970,0540,0260,0110.0040.0020.0000,0000,0001
El paràmetre s'ha calculat com la mitjana del nombre de partícules emeses per unitat de temps:
Com veiem la concordança entre les dades observades i les probabilitats corresponents a la distribució de Poisson és molt bona. Breiman argumenta perquè la distribució de Poisson apareix en aquesta situació: Suposem que durant un període llarg, la mitjana de partícules emeses per unitat de temps és (en aquest cas, la unitat de temps seria 7,5 seg). Considerem ara el nombre de partícules emeses durant un interval de temps de longitud unitats; el resultat pot ser 0, 1, 2, etc. Per trobar una assignació raonable de probabilitats dividim l'interval en parts d'amplada ; prenem prou gran perquè els subintervals siguin molt petits; en cada subinterval podem observar 0, 1, 2, ... partícules. Suposem:
1. Les probabilitats d'observar 0, 1, ... partícules són les mateixes per a tots els subintervals.
2. La probabilitat d'observar dos o més partícules en un subinterval és menyspreable comparada amb les probabilitats d'observar-ne zero o una partícula.
3. La probabilitat d'observar o no una partícula en un subinterval és independent d'observar o no una partícula en un altre subinterval.
El bombardeig de Londres durant la 2a. Guerra Mundial Durant la Segona Guerra Mundial els alemanys van bombardejar Londres i altres llocs amb bombes volants. Molta gent creia que les bombes tendien a agrupar-se en clústers; amb l'objectiu d'analitzar si aquesta suposició era veritat es va dividir el sud de Londres en 576 quadrats de 0'5 km²; durant el període considerat van caure 537 bombes, vegeu la Figura 1. miniatura|Figura 1. Part de la quadrícula del mapa de Londres amb els impactes de les bombes volants (punts simulats per ordinador). En total hi havia 576 quadrats, cadascun de 0'5 km² La taula 5 mostra el nombre de quadrats on van caure 0 bombes, 1 bomba, etc. (freqüència absoluta), així com la freqüència relativa.
Taula 5. Bombardeig sobre Londres01234Total Freq. absoluta229211933571576 Freq. relativa0,3970,3660,1610,0610,0120,0021 Prob. Poisson0,3940,3670,1710,0530,0120,0021Freq. esperada Poisson226,7211,498,536,67,11,3575,8
La mitjana de bombes per quadrat és
A la taula 5 hi ha una fila amb les probabilitats d'una variable de Poisson de paràmetre per i el valor . També hi ha una fila amb els productesels quals són les freqüències absolutes esperades per una variable de Poisson.
L'ajustament de les dades observades amb les donades per la distribució de Poisson és molt bona, la qual cosa suggereix que no va haver-hi clústers i que el lloc de caiguda de les bombes era completament aleatori. Chung argumenta el bon ajust amb la distribució de Poisson dient que, si el fenomen és purament aleatori, es pot estudiar com un problema de col·locació de 537 objectes en 576 caixes; la probabilitat d'observar exactament bombes (objectes) en un quadrat (una capsa) serà , on és una variable binomial de paràmetres i : . Atès que és gran i petita, podem aproximar per una variable de Poisson de paràmetre que és el que hem fet anteriorment.
Feller també analitza aquestes dades i comenta que <<la taula anterior indica que hi ha aleatorietat i homogeneïtat perfectes, […] però que per a [l'ull] inexpert, l'aleatorietat apareix com regularitat [...]>>. Per profunditzar en aquest comentari de Feller és molt interessant el capítol 2 del llibre de J. A. Paulos
Més exemples