Dins l'anàlisi matemàtica, una contracció, funció o aplicació contractiva entre dos espais mètrics (X, dX) i (Y, dY) és una funció o aplicació f de X en Y, per a la qual hi ha un nombre real positiu k inferior a 1 tal que, per qualssevol elements u i v de X, dY(f(u), f(v)) ≤ k dX(u, v).
És a dir, les funcions contractives són les funcions lipschitzianes la constant de Lipschitz de les quals és menor que 1.
El valor més petit de k pel qual es compleix la condició anterior s'anomena constant de Lipschitz de f. Si la condició anterior se satisfà per k ≤ 1 (notem que k pot ser igual a 1), llavors hom diu que l'aplicació és no expansiva.
Tota aplicació contractiva és una funció de Lipschitz i, per tant, uniformement contínua (per a una funció contínua Lipschitz, la constant k ja no ha de ser necessàriament més petita que 1).
Una aplicació contractiva té, com a màxim, un punt fix. Addicionalment, el teorema del punt fix de Banach afirma que tota aplicació contractiva sobre un espai mètric complet no buit té un únic punt fix, i que per a qualsevol x de M, la successió de funcions iterades x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... convergeix al punt fix. Aquest concepte és força útil a l'hora de demostrar l'existència de solucions d'equacions diferencials ordinàries, i s'utilitza en una demostració del teorema de la funció inversa.Theodore Shifrin, Multivariable Mathematics, Wiley, 2005, , pp. 244–260.
Aplicació firmement no expansiva Una aplicació no expansiva amb es pot reforçar cap a una aplicació firmement no expansiva sobre un espai de Hilbert H si se satisfà la següent condició per a qualssevol x i y de H:
on
Aquest és un cas especial dels operadors no expansius de mitjana amb .Solving monotone inclusions via compositions of nonexpansive averaged operators, Patrick L. Combettes, 2004 Una aplicació firmement no expansiva sempre és no expansiva, a conseqüència de la desigualtat de Cauchy-Schwarz.
Aplicació subcontractiva Una aplicació subcontractiva o un subcontractor és una aplicació f sobre un espai mètric (M,d) tal que
Si la imatge d'un subcontractor f és compacta, llavors f té un punt fix.Goldstein (1967) p.17
Referències
Bibliografia Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). provides an undergraduate level introduction.
Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London
Vegeu també Teorema del punt fix de Banach
Categoria:Geometria