En l'àmbit matemàtic de l'àlgebra lineal, una matriu ortogonal és una matriu quadrada a coeficients reals, tal que les seves columnes (i files) són vectors unitaris ortogonals. Això és el mateix que dir que formen una base ortonormal i, per això, alguns autors les anomenen matrius ortonormals. És a dir,
on I és la matriu identitat.
Una altra manera de descriure les matrius ortogonals és que són les matrius quadrades invertibles a coeficients reals que tenen la seva matriu inversa igual a la seva matriu transposada: . Una matriu ortogonal també és unitària () i, per tant, normal () sobre els reals. El determinant de qualsevol matriu ortogonal és +1 o −1.
Com a transformació lineal, una matriu ortogonal preserva el producte escalar i, per tant, actua com una isometria d'espais euclidians, com ara una rotació o una reflexió. En altres paraules, és una transformació unitària.
El conjunt O(n,K) de matrius n×n ortogonals a coeficients en un cos K
(on I és la matriu identitat n×n) forma un grup multiplicatiu anomenat grup ortogonal, que és subgrup del grup lineal GL(n,K). El subgrup del grup ortogonal amb matrius de determinant 1 s'anomena grup ortogonal especial i es denota SO(n,K).
L'anàleg als nombres complexos de les matrius ortogonals són les matrius unitàries.
Generalitats Una matriu ortogonal és la restricció als reals d'una matriu unitària i, per tant, és també una matriu normal. Encara que aquest article tracta només de matrius reals, la definició es pot emprar per a matrius a entrades en qualsevol cos. Tanmateix, les matrius ortogonals sorgeixen de manera natural a partir dels productes interiors, i en el cas dels nombres complexos, la definició porta al concepte de les matrius unitàries. Les matrius ortogonals conserven el producte interior, de tal manera que, per a vectors u, v qualssevol d'un espai euclidià real de dimensió n:
on Q és una matriu ortogonal. Per veure la connexió amb el producte interior, considerem un vector v d'un espai euclidià real de dimensió n. Escrit respecte a una base ortonormal, el quadrat de la longitud de v és vTv. Si una transformació lineal, en forma matricial escrita com Qv, conserva les longituds dels vectors, llavors .
Per tant, les isometries (rotacions, reflexions i les seves combinacions) lineals de dimensió finita produeixen matrius ortogonals. El recíproc també és cert: les matrius ortogonals impliquen transformacions ortogonals. Tot i això, l'àlgebra lineal inclou transformacions ortogonals entre espais que poden ser de dimensió infinita o bé de diferents dimensions, i en aquests casos no hi ha cap equivalent en l'àmbit de les matrius ortogonals.
Les matrius ortogonals són importants per diverses raons, tant teòriques com pràctiques. Les matrius ortogonals n×n formen un grup amb la multiplicació de matrius, el grup ortogonal denotat per O(n), el qual (juntament amb els seus subgrups) s'utilitza àmpliament en matemàtiques i en física. Per exemple, el grup puntual d'una molècula és un subgrup d'O(3). Com que les versions en coma flotant de les matrius ortogonals tenen propietats interessants, són un punt clau en molts algorismes d'àlgebra lineal numèrica, com en la descomposició QR. Un altre exemple és la normalització de la transformada cosinus discreta, utilitzada en la compressió MP3, que es representa mitjançant una matriu ortogonal.
Exemples A continuació es presenten alguns exemples de matrius ortogonals, juntament amb les seves possibles interpretacions: Transformació identitat: Rotació de 16,26° (exemple d'una matriu de rotació): Reflexió respecte l'eix de les x: Rotoinversió: eix (0,-3/5,4/5), angle 90°:
Permutació dels eixos coordenats:
Matriu de Helmert de dimensió :
S'utilitza en Estadística per fer una descomposició de la suma de quadrats en certes demostracions.
Construccions elementals Dimensions inferiors Les matrius ortogonals més simples són les matrius 1×1 i , que es poden interpretar, respectivament, com la identitat i una reflexió de la recta real respecte l'origen.
Les matrius tenen la forma , on la ortogonalitat ve definida per les següents tres equacions:
Respecte la primera equació, podem escriure, sense pèrdua de generalitat, , ; llavors es té , o bé , . Hom pot interpretar el primer cas com una rotació d'angle θ (on és la identitat), i el segon com una reflexió respecte una recta situada en un angle θ/2. (rotació), (reflexió)
El cas especial de la matriu de reflexió amb genera una reflexió respecte la recta situada a 45° donada per i, per tant, intercanvia x i y; és una matriu permutació, amb un 1 a cada columna i fila (i 0 altrament):
La identitat també és una matriu permutació.
Una reflexió és la seva pròpia inversa, la qual cosa implica que una matriu de reflexió és simètrica (igual a la seva transposada), a més d'ortogonal. El producte de dues matrius de rotació és una matriu de rotació, i el producte de dues matrius de reflexió és també una matriu de rotació.
Dimensions superiors Independentment de la dimensió, sempre és possible classificar les matrius ortogonals com a purament rotacionals o no, però per a matrius de dimensió o superior, les matrius no rotacionals poden tenir una estructura més complicada que les simples reflexions. Per exemple,
representen una simetria respecte l'origen i una rotoinversió respecte l'eix de les z.
Les rotacions esdevenen més complicades en dimensions superiors; ja no es poden caracteritzar completament per un angle, i poden afectar més que un subespai pla. Hom acostuma a descriure una matriu de rotació en termes d'un eix i un angle, però això només és suficient per a dimensió 3. En el cas de dimensió superior a 3, es necessiten dos o més angles, cadascun associat a un pla de rotació.
Tanmateix, hom pot establir operacions bàsiques per a permutacions, reflexions i rotacions, que es poden aplicar al cas general.
Primitives La permutació més elemental és una transposició, obtinguda a partir de la matriu identitat, i intercanviant dues files. Qualsevol matriu de permutació n×n es pot construir com a producte de no més de transposicions.
Una reflexió de Householder es construeix a partir d'un vector v no nul com: .
Aquí, el numerador és una matriu simètrica, mentre que el denominador és un nombre, el quadrat de la longitud de v. Això és una reflexió respecte l'hiperplà perpendicular a v. Si v és un vector unitari, llavors . Les reflexions de Householder s'acostumen a utilitzar per anul·lar la part inferior d'una columna. Qualsevol matriu ortogonal de dimensió es pot construir com a producte de, com a molt, n reflexions de Householder.
Una rotació de Givens actua sobre un subespai bidimensional (pla) generat per dos eixos coordenats, i rotant un cert angle. S'acostuma a utilitzar per anul·lar una sola entrada de la subdiagonal d'una matriu. Qualsevol matriu de rotació de dimensió n×n es pot construir com a producte de, com a màxim, d'aquestes rotacions. En el cas de matrius , només són necessàries 3 rotacions; i ajustant la seqüpencia, hom pot descriure les matrius de rotació (encara que no de manera unívoca) en termes dels 3 angles utilitzats, sovint anomenats angles d'Euler.
Una rotació de Jacobi té la mateixa forma que una rotació de Givens, però s'utilitza per anul·lar les dues entrades de fora de la diagonal d'una submatriu simètrica .
Propietats Com a matrius Una matriu quadrada real és ortogonal si i només si les seves columnes formen una base ortonormal de l'espai euclidià Rn amb el producte interior euclidià ordinari, que és el cas si i només si les seves files formen una base ortonormal de Rn. Contràriament al que es podria suposar, una matriu amb columnes ortogonals (no ortonormals) no formen una matriu ortogonal; només satisfan , on D és una matriu diagonal.
El determinant de qualsevol matriu ortogonal és +1 o -1. Això és una conseqüència de les propietats dels determinants: .
El recíproc no és cert; si una matriu té determinant ±1, la matriu no té per què ser ortogonal, encara que les seves columnes siguin ortogonals, com mostra el següent contraexemple: .
En el cas de les matrius permutació, el determinant coincideix amb la paritat, que té un valor de +1 o −1 si la paritat de la permutació és, respectivament, parell o senar, ja que el determinant és una funció alternada de les seves files.
Addicionalment a la restricció del valor del determinant, una matriu ortogonal sempre és diagonalitzable sobre els nombres complexos, i els seus valors propis tenen tots mòdul 1.
Com a grup La inversa d'una matriu ortogonal també és ortogonal, així com el producte de dues matrius ortogonals. De fet, el conjunt de totes les matrius ortogonals satisfà tots els axiomes d'un grup. És un grup de Lie compacte de dimensió , anomenat grup ortogonal, i denotat per O(n).
Les matrius ortogonals amb determinant +1 formen un subgrup normal arc-connex de O(n) d'índex 2, el grup ortogonal especial SO(n) de rotacions. El grup quocient O(n)/SO(n) és isomorf a O(1), on l'aplicació projecció és [+1] o [−1], segons el determinant, Les matrius ortogonals amb determinant -1 no inclouen la identitat i, per tant, no formen un subgrup, sinó només una classe lateral; també és connex. Així, cada group ortogonal té dues components; i com que l'aplicació de projecció configura una successió exacta, O(n) és un producte semidirecte de SO(n) per O(1). A la pràctica, hom pot reformular aquests resultats dient que tota matriu ortogonal es pot generar prenent una matriu de rotació i possiblement canviant de signe una de les seves columnes. Si n és senar, llavors el producte semidirecte és, de fet, un producte directe, i qualsevol matriu ortogonal es pot formar a partir d'una matriu de rotació i possiblement canviant de signe totes les seves columnes. Això és una conseqüència de la propietat dels determinats: si es canvia de signe una columna, es canvia el signe del determinant, i si el canvia de signe un nombre senar de columnes, també es canvia de signe la totalitat del determinant.
Considerem ara les matrius ortogonals on l'entrada inferior dreta és igual a 1. La resta de l'última columna (i de l'última fila) han de ser zeros, i el producte de dues matrius d'aquesta forma també compleix aquesta propietat. La resta de la matriu és una matriu ortogonal ; així, O(n) és un subgrup de (i de tots els grups superiors).
Com que una reflexió elemental en forma de matriu de Householder pot reduir qualsevol matriu ortogonal a aquesta forma definida, una successió d'aquestes reflexions pot transformar una matriu ortogonal en la matriu identitat; per tant, un grup ortogonal és un grup de reflexions. Es pot fixar l'última columna que sigui un vector ubitat qualsevol, i cada elecció proporciona una còpia diferent de O(n) dins ; així, és un fibrat sobre l'esfera unitat Sn amb la fibra O(n).
Anàlogament, SO(n) és un subgrup de ; i qualsevol matriu ortogonal especial es pot generar mitjançant rotacions planes de Givens emprant un procediment similar. L'estructura del fibrat es conserva: . Una rotació dona com a resultat un 0 en la primera fila de l'última columna, i una successió de rotacions fa 0 les entrades de l'última columna (excepte l'última fila) d'una matriu de rotació . Com que els plans estan fixats, cada rotació només té un grau de llibertat, el seu angle. Per inducció, SO(n) té
graus de llibertat, i O(n) en té el mateix nombre.
Les matrius de permutacions són més simples; no formen un grup de Lie, sinó un grup finit, el grup simètric Sn d'ordre n!. Pel mateix argument, Sn és un subgrup de Sn+1. Les permutacions parelles configuren el subgrup de les matrius permutació amb determinant +1, el grup alternant d'ordre n!/2.
Forma canònica Més en general, l'efecte de qualsevol matriu ortogonal realitza dues accions separades sobre subespais ortogonals de dimensió 2. És a dir, si Q és ortogonal especial, llavors hom pot trobar una matriu ortogonal P, un canvi de base (rotacional), que transforma Q a una forma diagonal per blocs: