400px|miniatura|Tres casos de la concoide de Nicomedes segons el valor de la distància que s'afegeix a cada radi vector (el punt vermell és el pol, i la recta base — en color negre — dista del pol ):[a] (blau); [b] (verd); [c] (vermell).

La concoide de Nicomedes és una corba plana ideada pel matemàtic grec Nicomedes, que va viure aproximadament al mateix temps que Arquimedes, al segle II aC. El nom de “concoide”, provinent del mot grec antic “κογχοειδής”, fa referència al fet que la forma de la corba recorda el perfil d'una petxina. És un tipus de concoide en què els radis vectors traçats des d'un punt fix tallen una recta (anomenada “base”) a una distància constant.

Donada una recta base paral·lela a l'eix polar situada a una distància de l'origen, i una distància fixa que se situa sobre cada radi vector a partir del punt en què creua la recta base (tant per darrere com per davant), l'equació en coordenades polars de la concoide de Nicomedes és:

que, en coordenades cartesianes, pren la forma:

La relació entre els paràmetres i determina l'aspecte de les dues branques de la corba.

Construcció miniatura|Pol (origen ), eix polar (vermell), recta base i distància fixa

Es fixa un punt (anomenat pol) i una línia recta a una distància d'. Es considera ara una segona recta genèrica que passa per i que talla la línia en . En aquesta recta, a banda i banda respecte d', s'afegeixen dos segments cadascun de longitud . El lloc geomètric dels punts i obtinguts en fer girar la recta que passa per s'anomena concoide de Nicomedes. La part de la corba més allunyada d' (és a dir, ) s'anomena branca externa, i l'altra part rep el nom de branca interna.

És immediat comprovar que, per a un sistema de coordenades polars, l'equació de la concoide pren la forma:

Fent coincidir el punt amb l'origen d'un sistema d'eixos cartesians , i prenent una recta base paral·lela a l'eix a una distància de l'origen, i una distància per aplicar sobre els radis vectors, l'equació cartesiana de la corba és:

D'altra banda, les equacions paramètriques prenen la forma:

Construcció de tangents i normals miniatura|Normal d'una concoide de Nicomedes René Descartes, en la seva obra “La Géométrie” (La Geometria), explica un mètode que permet dibuixar la normal i, per tant, la tangent de la concoide de Nicomedes.

Aquí s'exposa breument: Es vol traçar la normal d'una concoide de Nicomedes amb pol i mòdul en un punt . La línia directriu d'aquesta concoide s'anomenarà , on és tal que i són perpendiculars a . Dibuixar el segment de manera que sigui la intersecció entre les línies i . Col·locar el punt de manera que pertanyi a i . Col·locar el punt a la línia perpendicular a que passa per , de manera que . La línia és, doncs, la normal a la corba en .

Trisecció d'un angle 300px|miniatura|Trisecció d'un angle La corba es pot utilitzar per resoldre el problema de la trisecció de l'angle. Sigui un angle arbitrari. Des d'un punt qualsevol del costat es traça la perpendicular al costat , i es considera la concoide construïda sobre la recta respecte al pol amb constant . La recta paral·lela a traçada des d' es troba amb la branca externa de la concoide en . Unint amb , aleshores es compleix que:

L'inconvenient d'aquest procediment és que obligaria a traçar una concoide a mida per a cada angle que es vulgui trisecar, tot i que n'hi ha prou d'utilitzar el mètode neusis per ajustar un regle amb dues marques (situades al doble de la distància ), entre les rectes i , que a més ha de passar per l'origen. Això no passa amb altres trisectrius (com per exemple, la trisectriu de Maclaurin), que permeten trisecar qualsevol angle amb la mateixa corba.

Demostració miniatura|upright|Concoide de Nicomedes Siguin el punt d'intersecció de amb i el punt mitjà de . Per la definició de concoide, es té que:

i, per tant:

D'altra banda, és un angle recte; de manera que , com a mediana relativa a la hipotenusa del triangle rectangle , és la meitat de la hipotenusa, és a dir:

D'això es dedueix que els triangles , i són isòsceles i, per tant:

Però perquè són angles alterns interns i, per tant, , o també:

com queda demostrat.

Duplicació del cub 400px|miniatura|Duplicació del cub mitjançant una concoide de Nicomedes La construcció gràfica que permet determinar el valor de necessari per a resoldre el problema de la duplicació del cub es pot generar mitjançant el procediment següent: Es parteix de la mesura donada de l'aresta del cub a duplicar, anomenada . Es construeix el rectangle , la base del qual mesura i l'altura del qual mesura . Es determina , el punt mitjà d', pel qual es traça una recta vertical. Es traça la circumferència amb centre a i radi , que interseca en el punt i talla la recta vertical que passa per , per sota d', en el punt . Es traça la recta , paral·lela a i que passa per . Ara, es construeix la branca exterior d'una concoide de Nicomedes amb el punt com a pol, la recta com a recta base i la distància . Es determina el punt com la intersecció de la concoide amb la recta . La recta talla la recta en el punt . Finalment, es compleix que la distància és .

Vegeu també Cargol de Pascal

Referències

Categoria:Corbes