miniatura|Una cinta de Möbius, un objecte amb només una superfície i una vora. Aquest tipus d'estructures són objecte de l'estudi de la topologia.
La topologia (del Grec topos, lloc i logos, ciència) és una branca de les matemàtiques que estudia les propietats espacials i les deformacions bicontínues (dues dimensions) de l'espai.
Topologia també es refereix a un objecte matemàtic situat en aquesta àrea. En aquest sentit, una topologia és una família de conjunts oberts que contenen des del conjunt buit fins a l'espai ple. Un espai equipat amb topologia és un espai topològic. Algunes propietats importants relacionades amb la topologia són la connectivitat i la compacitat.
La topologia es va desenvolupar com una àrea d'estudi a partir de la geometria i la teoria de conjunts, mitjançant anàlisis de conceptes com «espai», «dimensió» i «transformació». Aquestes idees es remunten a Gottfried Leibniz, qui en el va introduir la geometria situs (en grecollatí, "geometria de lloc") i analysis situs (en grecollatí, "separar en peces un lloc"). Leonhard Euler és considerat el primer a aconseguir resultats de naturalesa topològica, com el problema dels set ponts de Königsberg, de 1736, i la fórmula dels políedres. El terme topologia fou introduït per Johann Benedict Listing durant el , encara que no va ser fins a principis del quan es va desenvolupar la idea d'espai topològic. L'alemany Felix Hausdorff és sovint citat com el pare de la topologia moderna. A mitjans del , la topologia ja es va convertir en una àrea d'estudi major de les matemàtiques.
La topologia té diverses subàrees d'estudi: La topologia general estableix els aspectes fonamentals de la topologia, i investiga les propietats dels espais topològics i els conceptes inherents als espais topològics. Inclou la topologia fundacional utilitzada en les altres àrees (amb el tractament de conceptes com la connectivitat i la compacitat). La topologia algebraica té com a objectiu mesurar els graus de connectivitat, emprant construccions algebraiques com l'homologia i l'homotopia. La topologia diferencial és la disciplina que estudia les funcions diferenciables sobre varietats diferenciables. Està íntimament lligada a la geometria diferencial i, unides, configuren la teoria geomètrica de les varietats diferenciables. miniatura|Una representació tridimensional d'un nus trifoli, l'exemple més simple d'un nus no trivial La topologia geomètrica estudia, principalment, les varietats i les seves immersions en altres varietats. Una àrea particularment activa és la topologia de baixa dimensió,També anomenada topologia de dimensions baixes o topologia en dimensió baixa que estudia les varietats de fins a 4 dimensions. Això inclou la teoria de nusos, l'estudi dels nusos matemàtics.
Història miniatura|Els set ponts de Königsberg és un problema que fou resolt per Euler. Els inicis de la topologia es troben al . Fins llavors els problemes matemàtics han estat vinculats, en major o menor grau, a la idea de mesura, magnitud o distància, i en aquesta època es comencen a plantejar problemes en què deixen de tenir importància, Gottfried Wilhelm Leibniz, el primer matemàtic que ho va estudiar l'anomenava Geometria situs o Analysis situs, i el es va conèixer com topologia.
La topologia, entesa com a disciplina matemàtica ben definida, sorgeix a començaments del , però ja existien certs resultats aïllats durant els segles anteriors. Entre aquests resultats cal destacar certes qüestions sobre geometria investigades per Leonhard Euler. Es considera que la seva publicació de 1736 sobre els set ponts de Königsberg és una de les primeres aplicacions pràctiques de la topologia. El 14 de novembre de 1750, Euler va escriure a un seu amic que s'havia adonat de la importància de les arestes d'un políedre. Això el va portar a la Relació d'Euler, V − E + F = 2 (on V, E i F indiquen, respectivament, el nombre de vèrtexs, arestes i cares del políedre). Alguns autors afirmen que aquest resultat és el primer teorema de la història de la topologia.
Altres matemàtics que van contribuir al desenvolupament de la topologia foren Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann i Enrico Betti. Listing va introduir el terme "Topologie" a la seva obra Vorstudien zur Topologie l'any 1847, però se sap que ja l'havia utilitzat anteriorment en la seva correspondència, abans de la primera aparició impresa. En anglès, el terme "topology" es va utilitzar l'any 1883 en l'obituari de Listing a la revista Nature:
Aquesta feina inicial fou corregida, consolidada i ampliada per Henri Poincaré. L'any 1895 va publicar la seva obra revolucionària a Analysis Situs, que introduïa els conceptes que actualment es coneixen com a homotopia i homologia, ara considerades part de la topologia algebraica.
+ Característiques topològiques de varietats bidimensionals tancades Varietat Nombre d'Eulerχ Orientabilitat Nombres de Betti Coeficient de torsió(unidimensional) b0 b1 b₂ Esfera 2 Orientable 1 0 1 cap Tor 0 Orientable 1 2 1 cap Tor amb 2 forats −2 Orientable 1 4 1 cap Tor amb g forats (Gènere = g) 2 − 2g Orientable 1 2g 1 cap Pla projectiu 1 No orientable 1 0 0 2 Ampolla de Klein 0 No orientable 1 1 0 2 Esfera amb c 2 − c No orientable 1 c − 1 0 2 Varietat bidimensional amb g foratsi c cross-caps (c > 0) 2 − (2g + c) No orientable 1 (2g + c) − 1 0 2 Maurice Fréchet, amb la unificació de les investigacions sobre espais de funcions realitzades per Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli i altres, va introduir la noció d'espai mètric l'any 1906. Actualment, es considera que un espai mètric és un cas especial d'un espai topològic general, on un espai topològic qualsevol pot originar diversos espais mètrics diferents. L'any 1914, Felix Hausdorff va encunyar el terme "espai topològic", i va donar la definició del que avui en dia es coneix com a espai de Hausdorff. Actualment, un espai topològic és una lleugera generalització dels espais de Hausdorff, donada l'any 1922 per Kazimierz Kuratowski.
La topologia moderna depèn fortament de les idees de la teoria de conjunts, desenvolupada per Georg Cantor a finals del . A més d'establir les idees bàsiques de la teoria de conjunts, Cantor va considerar els espais topològics de l'espai euclidià com a part del seu estudi de les sèries de Fourier.
Introducció La topologia es pot definir formalment com "l'estudi de les propietats qualitatives de certs objectes (anomenats espais topològics) que són invariants sota certs tipus de transformacions (anomenades funcions contínues), especialment aquelles propietats que són invariants sota un cert tipus de transformacions invertibles (anomenades homeomorfismes)."
El terme «topologia» també s'utilitza per referir-se a una estructura construïda sobre un conjunt X, una estructura que, essencialment, "caracteritza" el conjunt X com a espai topològic, mitjançant la consideració de propietats com convergència, connectivitat, i continuïtat, sota transformacions.
Els espais topològics sorgeixen de manera natural en gairebé qualsevol àrea de les matemàtiques. Això ha fet que la topologia sigui una de les grans idees unificadores de les matemàtiques.
El motiu que hi ha darrere de la topologia és que alguns problemes geomètrics depenen no de la forma exacta dels objectes implicats, sinó de la manera en què estan relacionats. Per exemple, el quadrat i la circumferència tenen moltes propietats en comú: tots dos són objectes unidimensionals (des d'un punt de vista topològic), i tots dos separen el pla en dues parts, la interior i l'exterior.
En una de les seves primeres publicacions sobre topologia, Leonhard Euler va demostrar que és impossible trobar una ruta a través de la ciutat de Königsberg (actualment Kaliningrad) que travessés cadascun dels seus set ponts exactament una vegada. Aquest resultat no depenia de les longituds dels ponts, ni de les distàncies entre els uns i els altres, sinó només sobre les propietats de connectivitat: quins ponts connecten quines illes o ribes. Aquest problema, conegut com els set ponts de Königsberg va portar a la branca de les matemàtiques coneguda com a teoria de grafs.
miniatura|Una deformació contínua (un tipus d'homeomorfisme) d'una tassa en un dònut (tor) De manera semblant, el teorema de la bola peluda de la topologia algebraica diu que "no es pot pentinar el pèl d'una bola peluda sense crear un remolí". Aquesta afirmació és acceptada com a certa per la majora de gent, encara que no reconeguin l'enunciat formal del teorema: no existeix cap espai vectorial tangent continu no nul sobre l'esfera. De la mateixa manera que amb els ponts de Königsberg, el resultat no depèn de la forma de l'esfera; és cert per a qualsevol tipus d'objecte similar a una esfera, sempre que no tingui forats.
Per tractar amb aquests problemes que no depenen de la forma exacta dels objectes, cal definir amb precisió les propietats que sí que es volen estudiar. A partir d'aquesta necessitat sorgeix la noció d'homeomorfisme. La impossibilitat de creuar tots els ponts només un cop ha de donar-se per a qualsevol col·lecció de ponts homeomorfa als de Königsberg, i el teorema de la bola peluda ha de ser cert a qualsevol espai homeomorf a una esfera.
Intuïtivament, dos espais són homeomorfs si es pot deformar l'un en l'altre sense tallar ni enganxar. Un acudit tradicional és que un topòleg no pot distingir una tassa de cafè d'un dònut, ja que hom podria deformar un dònut suficientment flexible en una tassa de cafè, pitjant sobre el dònut i eixamplant-lo progressivament, mentre que contrau el forat del dònut en la nansa de la tassa.
Hom pot considerar que l'homeomorfisme és lequivalència topològica més bàsica. Una altra és la classe d'homotopia. La definició formal és una mica més complicada, però la noció general és que dos objectes tenen el mateix tipus homotòpic si tots dos són el resultat de "retorçar" un objecte més gran. Classes d'equivalència de l'alfabet llatí: Homeomorfisme Tipus d'homotopia Fitxer:alphabet homeo.png Fitxer:alphabet homotopy.png
Un exercici introductori és classificar les lletres majúscules de l'alfabet llatí segons les seves equivalències d'homeomorfisme i d'homotopia. El resultat depèn parcialment de la font utilitzada. A la figura, s'ha utilitzat la font sans-serif Myriad. L'equivalència d'homotopia és una relació menys fina que l'homeomorfisme; una classe d'equivalència per homotopia pot contenir diverses classes d'homeomorfisme. Per exemple, en el cas de l'homotopia, la O i la P pertanyen a la mateixa classe perquè la O es pot encaixar amb la part superior de la P, i la cua de la P es pot deformar a la seva part "rodona".
Les classes d'homeomorfisme són: cap forat (C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, Z) cap forat i tres cues (E, F, T, Y) cap forat i quatre cues (X) un forat i cap cua (D, O) un forat i una cua (P, Q) un forat i dues cues (A, R) dos forats i cap cua (B) una barra amb quatre cues (H, K)
Les classes d'homotopia són més grans, perquè les cues es poden deformar a un sol punt: un forat (A, R, D, O, P, Q) dos forats (B) cap forat (C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X, Y, Z)
Per classificar correctament les lletres, cal demostrar que dues lletres de la mateixa classe són equivalents i que dues lletres de classes diferents no són equivalents. En el cas de l'homeomorfisme, això es pot visualitzar seleccionant punts i mostrant que, si s'eliminen aquests punts, les lletres queden desconnectades de diferent manera. Per exemple, la X i la Y no són homeomorfes, perquè si s'elimina el punt central de la X, queden quatre peces; si s'elimina un punt qualsevol de la Y, com a molt queden tres peces. En el cas de l'equivalència d'homotopia, la demostració és més complicada, i requereix mostrar que un invariant algebraic, com el grup fonamental és diferent per a classes diferents.