miniatura|Nusos trivials La teoria de nusos és la branca de la topologia que s'encarrega d'estudiar l'objecte matemàtic que abstreu la noció quotidiana de nus.
En escoltar la paraula nus, venen a la nostra ment imatges com la dels cordons d'unes sabates, la de les sogues dels mariners i, fins i tot, venen records com el d'una extensió elèctrica difícil de desnuar. Totes aquestes imatges són exemples de nusos que difereixen per molt poc del concepte matemàtic de nus.
Un nus, un cop enganxats els seus extrems serà representat per una corba simple i tancada en ℝ3 o, de manera més àmplia, per embeddings de la circumferència en diversos espais topològics ambient.
Existeix una solució algorísmica completa per a aquest problema, la complexitat de la qual és desconeguda.Esbossada inicialment mitjançant la teoria de les varietats de Haken per . Per a una revisió més recent, vegeu . A la pràctica, els nusos sovint es distingeixen mitjançant un invariant de nus, una «quantitat» que és la mateixa quan es calcula a partir de diferents descripcions d'un nus. Entre els invariants importants s'inclouen els polinomis de nus, els grups de nus i els invariants hiperbòlics.
Definició
El que pretén la definició matemàtica de nus, és donar una descripció rigorosa del que és el nus i amb això poder donar resposta a què fa que un nus sigui diferent d'un altre. La idea bàsica d'aquesta definició és que, per donar-li cabuda al fet que un nus no es pugui desnuar, s'enganxen les puntes extremes del nus.
Per això es diu que un nus és un encaix o encarnat de la circumferència en l'espai ambient (, o alguna altra 3-varietat).
D'altra banda, el que un nus es pugui deformar transformant-lo en un altre, en matemàtiques es descriu com l'existència d'una isotòpia de l'ambient entre les dues puntes.
Formalment parlant, un pot dir que un nus a ( o en ) és una classe d'equivalència de puntes de la 1-esfera ( S 1 ={ x R 2 :| x |= 1}) en ( o en la 3-esfera). La classe ve donada per l'equivalència isotòpica de funcions, és a dir, dos encaixos són equivalents si existeix una isotòpia de l'ambient entre tots dos.
També és possible estudiar nusos en el tor: .
Història miniatura| Intricats nusos celtes al Llibre de Kells, de 1200 anys d'antiguitat Els arqueòlegs han descobert que el fet de fer nusos es remunta a la prehistòria. A més dels seus usos, com ara registrar informació i lligar objectes, els nusos han interessat els humans per la seva estètica i simbolisme espiritual. Els nusos apareixen en diverses formes d'art xinès que daten de diversos segles aC (vegeu nus xinès). El nus infinit apareix en el budisme tibetà, mentre que els anells borromeus han fet aparicions repetides en diferents cultures, sovint representant la força en la unitat. Els monjos celtes que van crear el Llibre de Kells van omplir pàgines senceres amb intricats nusos celtes.
esquerra|miniatura| El primer tabulador de nusos, Peter Guthrie Tait Una teoria matemàtica dels nusos va ser desenvolupada per primera vegada el 1771 per Alexandre-Théophile Vandermonde, qui va assenyalar explícitament la importància de les característiques topològiques en discutir les propietats dels nusos relacionades amb la geometria de la posició. Els estudis matemàtics dels nusos van començar al amb Carl Friedrich Gauss, que va definir la integral d'enllaç . A la dècada de 1860, la teoria de Lord Kelvin que els àtoms eren nusos de l'èter va conduir a la creació per part de Peter Guthrie Tait de les primeres taules de nusos per a una classificació completa. Tait, el 1885, va publicar una taula de nusos amb fins a deu encreuaments, i el que es va conèixer com les conjectures de Tait. Aquest registre va motivar els primers teòrics dels nusos, però la teoria de nusos finalment es va convertir en part de la matèria emergent de la topologia.
A la part final del es va iniciar un estudi sistemàtic de la teoria quan els matemàtics i físics es van dedicar a tabular nusos. Lord Kelvin (1867) va proposar la idea que els àtoms eren nusos, formats per petits vòrtex o corrents tancades d'èter. Ell creia que si classificava tots els nusos possibles podria explicar com els àtoms absorbeixen i emeten llum. Ara sabem que aquesta idea és incorrecta. El físic Peter Guthrie Tait va passar molts anys realitzant una llista de nusos amb la creença que estava creant una taula d'elements. Quan l'èter no va ser detectat en l'experiment de Michelson i Morley, la teoria dels àtoms modelats mitjançant nusos va ser rebutjada, i la teoria dels nusos va perdre part del seu interès per als físics.
Aquests topòlegs de principis del segle XX —Max Dehn, JW Alexander i altres, com Kurt Reidemeister— van estudiar els nusos des del punt de vista del grup de nusos i els invariants de la teoria d'homologia, com ara el polinomi d'Alexander. Aquest seria el principal enfocament de la teoria de nusos fins que una sèrie d'avenços van transformar la matèria.
A finals de la dècada del 1970, William Thurston va introduir la geometria hiperbòlica en l'estudi dels nusos amb el teorema d'hiperbolització. Es va demostrar que molts nusos eren nusos hiperbòlics, cosa que permetia l'ús de la geometria per definir nous i potents invariants de nusos. El descobriment del polinomi de Jones per Vaughan Jones el 1984 , i les contribucions posteriors d’Edward Witten, Maxim Kontsevich, Louis Kauffman i altres, van revelar connexions profundes entre la teoria de nusos i els mètodes matemàtics en mecànica estadística i teoria quàntica de camps. Des de llavors s'han inventat una gran quantitat d'invariants de nusos, utilitzant eines sofisticades com ara grups quàntics i homologia de Floer.
En les últimes dècades del segle XX, els científics es van interessar per estudiar els nusos físics per tal d'entendre els fenòmens de nusos en l'ADN i altres polímers. La teoria de nusos es pot utilitzar per determinar si una molècula és quiral (té una manualitat) o no. Els embolics, cordes amb els dos extrems fixos al seu lloc, s'han utilitzat amb eficàcia per estudiar l'acció de la topoisomerasa sobre l'ADN. La teoria de nusos pot ser crucial en la construcció d'ordinadors quàntics, a través del model de computació quàntica topològica.
Avui dia, la teoria de nusos té aplicacions en teoria de cordes, en la gravetat quàntica, en l'estudi de replicació i recombinació de l'ADN, en àrees de la mecànica i en psicoanàlisi lacanià (vegeu, per exemple, el seminari de Lacan No.22 anomenat RSI, i el No.23, anomenat Sinthome, dictats entre 1974 i 1976).
És important recalcar que els complements d'alguns nusos tenen a 3-varietats com complements i aquestes són objectes d'intens estudi.
Equivalència de nusos
A l'esquerra, el nus desconnectat i un nus equivalent. Pot ser més difícil determinar si els nusos complexos, com el de la dreta, són equivalents al nus desconnectat.
Un nus es crea començant amb un segment de línia unidimensional, embolicant-lo arbitràriament al voltant de si mateix i després fusionant els seus dos extrems lliures per formar un bucle tancat.
Simplement, podem dir que un nus és una corba tancada simple (vegeu Corba), és a dir: una funció gairebé injectiva i contínua , amb l'única no injectivitat sent . Els topòlegs consideren que els nusos i altres entrellaçaments com ara enllaços i trenes són equivalents si el nus es pot moure suaument, sense intersectar-se, per coincidir amb un altre nus.
La idea de l'equivalència de nusos és donar una definició precisa de quan dos nusos s'han de considerar iguals, fins i tot quan estan posicionats de manera força diferent a l'espai. Una definició matemàtica formal és que dos nusos són equivalents si hi ha un homeomorfisme que preserva l'orientació amb .
Aquesta definició d'equivalència de nusos significa que dos nusos són equivalents quan hi ha una família contínua d'homeomorfismes. de l'espai sobre si mateix, de manera que l'últim d'ells porta el primer nus sobre el segon nus. (En detall: Dos nusos i són equivalents si existeix una aplicació contínua de manera que un) per a cada la presa de mapatge a és un homeomorfisme de sobre si mateix; b) per a tots ; i c) . Una funció així es coneix com a isotopia ambiental.)
Aquestes dues nocions d'equivalència de nusos coincideixen exactament sobre quins nusos són equivalents: dos nusos que són equivalents segons la definició d'homeomorfisme que preserva l'orientació també són equivalents segons la definició d'isotopia ambiental, perquè qualsevol homeomorfisme que preserva l'orientació de a si mateix és l'etapa final d'una isotopia ambiental a partir de la identitat. Per contra, dos nusos equivalents segons la definició d'isotopia ambiental també són equivalents segons la definició d'homeomorfisme que preserva l'orientació, perquè L'etapa (final) de la isotopia ambiental ha de ser un homeomorfisme que preserva l'orientació i que porta un nus a l'altre.
Es pot intentar definir l'equivalència de nusos basant-se en la homotopia en lloc de la propietat més restringida de la isotopia ambiental. És a dir, dos nusos són isotòpics quan existeix una funció contínua que comença a donant el incrustació, acabant a donant el incrustació, amb tots els valors intermedis corresponents a incrustacions. Tanmateix, aquesta definició faria que cada nus fos equivalent al nus desnuat, ja que les parts nuades es poden contraure fins a formar una línia recta. El problema és que, tot i que és contínua, aquesta no és una funció injectiva de l'espai euclidià en què està immers el nus. Exigir que l'homotopia sigui a través d'homeomorfismes soluciona aquest problema.
El problema bàsic de la teoria de nusos, el problema del reconeixement, és determinar l'equivalència de dos nusos. Existeixen algoritmes per resoldre aquest problema, el primer del qual va ser proposat per Wolfgang Haken a finals dels anys seixanta. No obstant això, aquests algoritmes poden requerir molt de temps, i un problema important en la teoria és entendre la dificultat real d'aquest problema. El cas especial de reconèixer el nus deslligat, anomenat problema del deslligat, és de particular interès. El febrer de 2021, Marc Lackenby va anunciar un nou algorisme de reconeixement de nusos desconnectats que s'executa en temps quasipolinòmic.
Diagrames de nusos i moviments de Reidemeister
miniatura|esquerra|Diagrama d'un nus. Un nus es descriurà generalment per mitjà del seu diagrama, que representa la seva projecció sobre el pla, destacant en cada encreuament la diferència entre el tram que està a sobre i el que està sota (que normalment apareix marcat amb una interrupció).
És possible que en projectar dos nusos diferents en determinada direcció, es perdi informació i s'obtingui la mateixa projecció. Perquè això no succeeixi es treballa sempre amb les anomenades projeccions regulars, que contenen tota la informació necessària.
Però el mateix nus admetrà diferents representacions en forma de diagrama, així que sorgeix el primer problema fonamental: quan dos diagrames representaran el mateix nus?
El 1927, el teorema de Reidemeister resoldrà parcialment aquest problema. Aquest teorema permet decidir si un nus és igual a un altre tan sols fent dibuixos, i és una eina potent per a la prova d'alguns invariants.
El teorema de Reidemeister diu el següent: per passar d'una projecció regular d'un nus a una altra projecció, només es necessiten realitzar successivament moviments d'algun dels següents tipus: miniatura|center|131px|Tipus 1.miniatura|center|203px|Tipus 2.miniatura|center|391px|Tipus 3. Encara que aquest resultat aparentment resol el problema, no proporciona un algorisme per determinar si dos nusos són equivalents. Així, a priori no es coneix el nombre de moviments necessaris per transformar un diagrama en un altre. Tampoc és possible saber amb certesa en un temps finit, si dos nusos no són equivalents. Un avanç significatiu en aquesta direcció va ser la introducció el 1929 dels primers invariants.
Invariants de nusos