va ser un matemàtic, lògic, filòsof i teòleg bohemi que va escriure en alemany i que va realitzar importants contribucions a les matemàtiques i a la teoria del coneixement.
En matemàtiques, se'l coneix pel teorema de Bolzano i el teorema de Bolzano-Weierstrass, que va esbossar com a lema d'un altre treball el 1817, que dècades després hauria de desenvolupar Karl Weierstrass. A la seva filosofia, Bolzano va criticar l'idealisme de Hegel i Kant afirmant que els nombres, les idees, i les veritats existeixen de manera independent a les persones que els pensin.
Biografia El 1796 Bolzano es va inscriure a la Facultat de Filosofia de la Universitat de Praga. A la tardor de 1800 va començar a estudiar Teologia, a la que va dedicar els següents tres anys, durant els quals també va preparar la seva tesi doctoral en Geometria. Aconseguí el doctorat el 1804, després d'haver redactat una tesi en què expressava la seva opinió sobre les Matemàtiques i sobre les característiques d'una correcta demostració matemàtica. En el pròleg va escriure: "No podria sentir-me satisfet per una demostració estrictament rigorosa, si aquesta no derivés dels conceptes continguts en la tesi que ha de demostrar." Dos anys després de ser nomenat doctor es va ordenar com a sacerdot catòlic romà.
La seva autèntica vocació era la docència, i el 1804 va obtenir la càtedra de Filosofia i Religió a la Universitat de Praga. Els seus ensenyaments estaven impregnades per forts ideals pacifistes i per una viva exigència de justícia política. A més, Bolzano gaudia, per les seves qualitats intel·lectuals, d'un enorme prestigi entre els seus col·legues professors i entre els estudiants. Després d'algunes pressions del govern austríac, el 1819 Bolzano va ser acusat d'heretgia i sota arrest domiciliari se li va prohibir publicar. Malgrat la censura del govern, els seus llibres es van publicar fora de l'Imperi austríac i Bolzano va seguir escrivint i ocupant un important paper dins de la vida intel·lectual del seu país.
Bolzano va escriure el 1810 Beiträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik. Erste Lieferung, la primera d'una sèrie programada d'escrits sobre fonaments de les matemàtiques. A la segona part trobem Der binomische Lehrsatzl de 1816 i Rein analytischer Beweis (Pura demostració matemàtica) de 1817, que contenen un intent d'impostació del càlcul infinitesimal que no recorre al concepte d'infinitesimal. En el pròleg del primer de tots dos declara que el seu treball és un exemple de la nova manera de desenvolupar l'anàlisi matemàtica. En el treball de 1817 Bolzano entenia que alliberava els conceptes de límit, convergència i derivada de nocions geomètriques, substituint-les per conceptes purament aritmètics i numèrics.
Bolzano era conscient de l'existència d'un problema més profund: era necessari refinar i enriquir el mateix concepte de nombre. En aquest treball cal situar la demostració del teorema del valor intermedi amb la nova aproximació de Bolzano, concepte que apareix en un treball de Augustin Louis Cauchy aparegut quatre anys després.
Després de 1817, Bolzano va estar molts anys sense publicar res relacionat amb les matemàtiques. No obstant això, el 1837, va publicar Wissenschaftslehre, un intent d'elaborar una teoria del coneixement i de la ciència completa. Bolzano va intentar proporcionar fonaments lògics a totes les ciències, construïdes partint d'abstraccions, d'objectes abstractes, d'atributs, de construccions de demostracions, vincles... La major part d'aquests intents reprenen aquests treballs anteriors que afecten la relació objectiva entre les conseqüències lògiques i la nostra percepció purament subjectiva d'aquestes conseqüències. Aquí s'apropa a la filosofia de les matemàtiques. Per Bolzano, no tenim cap certesa quant a les veritats, o a les suposades com a tals, de la naturalesa o de les matemàtiques, i precisament el paper de les ciències, tant pures com aplicades és trobar una justificació de les veritats fonamentals, que sovint contradiuen les nostres intuïcions. Entre 1830 i 1840, Bolzano va treballar en una obra major, Grössenlehre en què tractarà de reinterpretar tota la matemàtica sota bases lògiques. Només va arribar a publicar una part, esperant que els seus alumnes prosseguissin la seva obra i publiquessin una versió completa.
El 1854, tres anys després de la seva mort, un alumne seu va publicar l'obra de Bolzano Paradoxien des Unendlichen, un estudi sobre les paradoxes de l'infinit. Apareix per primera vegada el terme "conjunt", en la forma alemanya Menge. En aquest treball Bolzano aporta exemples de correspondència biunívoca entre els elements d'un conjunt infinit i fins i tot d'un subconjunt. La major part dels treballs de Bolzano van romandre en forma de manuscrit, pel que va haver una circulació molt reduïda i una escassa influència en el desenvolupament de la matèria. Moltes de les seves obres no es van publicar fins a 1862 i fins i tot després.
Les teories de Bolzano sobre l'infinit matemàtic van anticipar les de Georg Cantor sobre conjunts infinits.
Treballs El treball de Bolzano (publicat de forma pòstuma) Paradoxien des Unendlichen (Les paradoxes de l'infinit) (1851) fou lloat per la major part dels estudiosos de la lògica posteriors, incloent-hi Charles Sanders Peirce, Georg Cantor, i Richard Dedekind. Nogensmenys, la fama arribà a Bolzano de la mà del seu treball de 1837 Wissenschaftslehre (Teoria de la ciència). Aquesta obra de quatre volums no només cobria l'àmbit de la filosofia de la ciència en el seu sentit actual sinó que també abordava la lògica, l'epistemologia i la pedagogia de la ciència. Altres treballs de Bolzano són els quatre volums del Lehrbuch der Religionswissenschaft (Llibre de text de la ciència i la religió) i el treball sobre metafísica Athanasia, una defensa de la immortalitat de l'ànima. Bolzano també va fer treballs molt valuosos en matemàtiques que foren pràcticament desconeguts fins que Otto Stolz els redescobrí i tornà a publicar el 1881.
Wissenschaftslehre En el seu treball de 1837 Wissenschaftslehre, Bolzano va intentar proporcionar fonaments lògics per a totes les ciències a partir d'abstraccions. Aquests intents van ser bàsicament una extensió dels seus pensaments anteriors a la filosofia de les matemàtiques. Per exemple, a Beiträge (1810) ja va posar èmfasi en la distinció entre la relació objectiva entre les conseqüències lògiques i el nostre reconeixement subjectiu d'aquestes connexions. Per Bolzano, només percebem la confirmació de les veritats naturals o matemàtiques, però és responsabilitat de la ciència (tant pura com aplicada) buscar-ne la justificació, en termes de les veritats fonamentals (siguin o no evidents per a les nostres intuïcions).
Introducció a Wissenschaftslehre Bolzano comença el seu treball definint el seu concepte de teoria de la ciència i la relació entre els nostres coneixements, les veritats i les ciències. El coneixement humà, afirma, es compon de totes les veritats (o proposicions veritables) que els homes coneixen o han conegut. Això és, però, només una fracció molt petita de totes les veritats universals, però són alhora massa veritats per ser compreses per un sol ésser humà. Per tant, el nostre coneixement es divideix en parts més accessibles. Cada col·lecció d'aquestes veritats és el que Bolzano anomena una ciència (Wissenschaft). És important tenir en compte que no totes les proposicions veritables d'una ciència han de ser conegudes per als homes; per tant, es tracta de com podem fer descobriments en una ciència. Però com saber on dividir el nostre coneixement, és a dir, quines veritats pertanyen a cada ciència? Bolzano explica que en última instància, hem de respondre aquesta pregunta a través de la reflexió, però que les normes resultants de com dividir el nostre coneixement en ciències serà una ciència en si mateixa. Aquesta ciència, que ens diu com agrupar les veritats i com s'han d'explicar en un llibre de text, és la teoria de la ciència (Wissenschaftslehre).
Metafísica Al Wissenschaftslehre, Bolzano se centra principalment en tres àmbits:
El regne del llenguatge, que consisteix en paraules i frases. El regne del pensament, que consisteix en les idees i judicis subjectius. El regne de la lògica, que consisteix en les idees objectives (o idees en si mateixes) i les proposicions en si mateixes.
Bolzano dedica una gran part de la Wissenschaftslehre a una explicació d'aquests regnes i les seves relacions.
Dues distincions tenen un paper prominent en el seu sistema. En primer lloc, la distinció entre les parts i el tot. Per exemple, les paraules són parts de frases, les idees subjectives són parts dels judicis i les idees objectives són parts de les proposicions en si mateixes. En segon lloc, tots els objectes es divideixen en les seves parts existents, és a dir aquelles causalment connectades i situades en el temps i/o l'espai, i els no existents. Bolzano defensa que el regne de la lògica està poblat per objectes d'aquest últim tipus.
Satz an sich Satz an sich (proposició en si mateixa) és una noció bàsica al Wissenschaftslehre de Bolzano. S'introdueix ja des dels primers capítols, en la secció 19. Bolzano comença introduint les nocions de proposició (parlada o escrita o pensada o en si mateixa) i d'idea (parlada o escrita o pensada o en si mateixa). "L'herba és verda" és una proposició (Satz): en aquesta disposició de les paraules, es diu o s'afirma alguna cosa. "Herba", però, és només una idea (Vorstellung). Alguna cosa està representada, però no s'hi afirma res. La noció de proposició de Bolzano és força àmplia: "Un rectangle és rodó" és una proposició (tot i que és falsa, en virtut d'una auto-contradicció) perquè està composta d'una manera intel·ligible a partir de parts intel·ligibles.
Bolzano no dona una definició completa d'una Satz an Sich (proposició en si mateixa) però ens dona informació suficient per comprendre el que vol dir amb això. Una proposició en si mateixa: (i) no té existència (és a dir: no té posició en l'espai ni el temps) (ii) és vertadera o falsa, independent que hom sàpiga o cregui que és vertadera o falsa, i (iii) és el que és "captat" per éssers pensants. Per tant, una frase escrita com "Sòcrates és savi" capta una proposició en si mateixa, és a dir, la proposició [Sòcrates és savi]. La frase escrita existeix (té un lloc determinat en un moment determinat, és a dir la pantalla de l'ordinador en aquest mateix moment) i expressa la proposició en si mateixa, que és en l'àmbit de les coses en si (és a dir, an Sich). Val la pena notar que l'ús que fa Bolzano del terme an Sich difereix molt del que en fa Immanuel Kant quan tracta el Noümen.
Tota "proposició en si mateixa" es compon de les "idees en si mateixes" (per simplificar, utilitzarem el terme "proposició" en el sentit de "proposició en si mateixa" i "idea" per fer referència a "idea objectiva" o "idea en si mateixa"). Les idees es defineixen negativament en les parts d'una proposició que no són proposicions en si mateixes. Una proposició consisteix en almenys tres idees: una idea subjecte, una idea predicat i el nexe (en l'exemple, el verb "és"). Tot i que hi ha proposicions que contenen proposicions, no les considerarem ara per ara.
Bolzano identifica certs tipus d'idees. Hi ha idees simples que no tenen parts (com a exemple Bolzano utilitza [quelcom]), però també hi ha idees complexes que consten d'altres idees (Bolzano utilitza l'exemple [res], que consisteix en les idees [no] i [quelcom]). Les idees complexes poden tenir el mateix contingut (és a dir, les mateixes parts) sense ser el mateix, si els seus components estan connectats de manera diferent. La idea [Una ploma negra amb tinta blava] és diferent de la idea [Una ploma blava amb tinta negra], encara que les parts de les dues idees són idèntiques.
Les idees i els objectes