Nota: L'article pot necessitar alguna petita correcció miniatura|Els dos camins en negreta que hi ha dalt són homotòpics en relació als seus extrems. Les línies fines marquen isocontorns d'una possible homotopia. En topologia, la noció d'homotopia recull l'ideal de què gaudeix la topologia de ser la geometria del full d'hule, és a dir, deformable. Dues aplicacions contínues d'un espai topològic en un altre es diuen homotòpiques (del grec homos = mateix i topos = lloc) si una d'elles es pot deformar contínuament en l'altra.
Una aplicació notable de l'homotopia és la definició dels grups homotòpics i cohomotòpics, invariants importants en la topologia algebraica.
Definició formal miniatura|240x240px|Una homotopia i la seva inversa, entre dues incrustacions del tor en : com la superfície d'un dònut i com la superfície d'una tassa de cafè. Aquest també és un exemple d'isotopia. Dues aplicacions contínues es diuen homotòpiques si hi ha una altra aplicació (contínua també) tal que:
Un exemple important és considerar les diferents classes (homotòpiques) de mapatges del cercle a un espai
l'estructura resultant és l'importantíssim grup fonamental.
Si pensem en el segon paràmetre dH com el temps, aleshores H descriu una deformació contínua de f en g: en el temps 0 tenim la funció f i en el temps 1 tenim la funció g. També podem pensar en el segon paràmetre com un control lliscant que ens permet fer una transició suau de f a g a mesura que el lliscant es mou de 0 a 1, i viceversa.
Una notació alternativa és dir que una homotopia entre dues funcions contínues és una família de funcions contínues per de tal manera que i , i el mapa és continu des de a Les dues versions coincideixen en la configuració No n'hi ha prou amb exigir a cada mapa ser continu.
L'animació que es repeteix a dalt a la dreta proporciona un exemple d'homotopia entre dues incrustacions, f i g, del tor en X és el tor, Y , f és una funció contínua des del tor fins a R3 que porta el tor a la forma de superfície incrustada d'un dònut amb la qual comença l'animació; g és una funció contínua que porta el tor a la forma de superfície incrustada d'una tassa de cafè. L'animació mostra la imatge de ht (X) com a funció del paràmetre t, on t varia amb el temps de 0 a 1 durant cada cicle del bucle d'animació. Fa una pausa, després mostra la imatge a mesura que t varia de nou d'1 a 0, fa una pausa i repeteix aquest cicle.
Propietats Les funcions contínues f i g es diuen homotòpiques si i només si hi ha una homotopia H que porta f a g tal com s'ha descrit anteriorment. Ser homotòpic és una relació d'equivalència en el conjunt de totes les funcions contínues des de X fins a Y. Aquesta relació d'homotopia és compatible amb la composició de funcions en el sentit següent: si són homotòpics, són homotòpics, aleshores les seves composicions també són homotòpics.
Exemples Si són donats per i , aleshores el mapa donat per és una homotopia entre altres.
Més generalment, si és un subconjunt convex de l'espai euclidià i són camins amb els mateixos extrems, aleshores hi ha una homotopia lineal (o homotopia en línia recta) donada per
Deixa sigui la funció identitat a la unitat n - disc; és a dir, el conjunt Deixa sigui la funció constant que envia cada punt a l'origen. Aleshores, la següent és una homotopia entre ells:
Equivalència d'homotopia Donats dos espais topològics X i Y, una equivalència d'homotopia entre X i Y és un parell d'aplicacions contínues i , de manera que és homotòpica a l'aplicació d'identitat id X i és homotòpic a id Y. Si existeix aquest parell, aleshores X i Y es diu que són equivalents en homotopia, o del mateix tipus d'homotopia. Aquesta relació d'equivalència en homotopia sovint es denota com . This is the misnamed unicode symbol Intuïtivament, dos espais X i Y són homotopia equivalents si es poden transformar l'un en l'altre mitjançant operacions de flexió, contracció i expansió. Els espais que són homotopia equivalents a un punt s'anomenen contràctils.
Equivalència d'homotopia vs. homeomorfisme Un homeomorfisme és un cas especial d'equivalència d'homotopia, en què és igual a l'aplicació d'identitat id X (no només homotòpica a ella), i és igual a id Y.Archived at Ghostarchive and the : Per tant, si X i Y són homeomorfs, aleshores són equivalents en homotopia, però el contrari no és cert. Alguns exemples:
Un disc sòlid és homotopicament equivalent a un sol punt, ja que es pot deformar el disc al llarg de línies radials contínuament fins a un sol punt. Tanmateix, no són homeomorfs, ja que no hi ha bijecció entre ells (ja que un és un conjunt infinit, mentre que l'altre és finit).
La Cinta de Möbius i una banda no torçada (tancada) són equivalents en homotopia, ja que es poden deformar ambdues bandes contínuament fins a formar un cercle. Però no són homeomorfes.
Homotopia nul·la Una funció es diu que és homotòpica nul·la si és homotòpica a una funció constant. (L'homotopia de a una funció constant s'anomena de vegades homotopia nul·la.) Per exemple, un mapa del cercle unitari a qualsevol espai és nul·lo-homòtopic precisament quan es pot estendre contínuament a una aplicació des del disc unitari a que coincideix amb al límit.
D'aquestes definicions es desprèn que un espai és contractible si i només si l'aplicació d'identitat de a si mateix — sempre és una equivalència — homotopia— és nul·la-homòtopica.
Invariància L'equivalència d'homotopia és important perquè en topologia algebraica molts conceptes són invariants en homotopia, és a dir, respecten la relació d'equivalència d'homotopia. Per exemple, si X i Y són espais equivalents en homotopia, aleshores:
X està connectat per camins si i només si Y ho està.
X és simplement connex si i només si Y ho és.
Els grups d'homologia i cohomologia (singulars) de X i Y són isomorfs.
Si X i Y tenen connexió per camins, aleshores els grups fonamentals de X i Y són isomorfs, i també ho són els grups d'homotopia superior. (Sense la suposició de connexió per camins, es té π 1 (X, x 0) isomorf a π 1 (Y, f (x 0)) on és una equivalència d'homotopia i
Un exemple d'un invariant algebraic d'espais topològics que no és invariant en homotopia és l'homologia amb suport compacte (que és, a grans trets, l'homologia de la compactificació, i la compactificació no és invariant en homotopia).
Variants Homotopia relativa Per definir el grup fonamental, es necessita la noció dhomotopia relativa a un subespai. Aquestes són homotopies que mantenen fixos els elements del subespai. Formalment: si f i g són aplicacions contínues des de X fins a Y i K és un subconjunt de X, aleshores diem que f i g són homotòpics respecte a K si existeix una homotopia entre f i g de manera que per a tot i A més, si g és una retracció de X a K i f és l'aplicació d'identitat, això es coneix com una retracció de deformació forta de X a K. Quan K és un punt, s'utilitza el terme homotopia apuntada.
Isotopia
Quan dues funcions contínues f i g donades des de l'espai topològic X fins a l'espai topològic Y són immersions, hom es pot preguntar si es poden connectar mitjançant immersions. Això dona lloc al concepte d'isotopia, que és una homotopia, H, en la notació utilitzada abans, de manera que per a cada t fixada, H (x, t) dona una incrustació.
Un concepte relacionat, però diferent, és el d'isotopia ambiental.
Exigir que dues immersions siguin isotòpiques és un requisit més fort que que siguin homotòpiques. Per exemple, el mapa de l'interval [−1, 1] en els nombres reals definits per f (x) = − x no és isotòpica a la identitat g (x) = x. Qualsevol homotopia des de f fins a la identitat hauria d'intercanviar els extrems, cosa que significaria que haurien de passar l'un a l'altre. A més, f ha canviat l'orientació de l'interval i g no, cosa que és impossible sota una isotopia. Tanmateix, les aplicacions són homotòpiques; una homotopia des de f fins a la identitat és H: [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] donat per H (x, i) = 2 yx − x.
Es pot demostrar que dos homeomorfismes (que són casos especials d'incrustacions) de la bola unitària que coincideixen en el límit són isotòpics utilitzant el truc d'Alexander. Per aquesta raó, el mapa del disc unitari a definit per f (x, y) = (− x, − y) és isotòpica a una rotació de 180 graus al voltant de l'origen, i per tant l'aplicació d'identitat i f són isotòpiques perquè es poden connectar mitjançant rotacions.
En topologia geomètrica — exemple en la — de nusos— la idea d'isotopia s'utilitza per construir relacions d'equivalència. Per exemple, quan s'han de considerar iguals dos nusos? Prenem dos nusos, K1 i K2, en un espai tridimensional. Un nus és una immersió d'un espai unidimensional, el bucle de corda (o el cercle), en aquest espai, i aquesta immersió dona un homeomorfisme entre el cercle i la seva imatge a l'espai d'immersió. La idea intuïtiva darrere de la noció d'equivalència de nusos és que es pot deformar una immersió en una altra a través d'un camí d'immersions: una funció contínua que comença a t. = 0 donant la incrustació K 1, que acaba a t = 1 que dona la incrustació K₂, amb tots els valors intermedis corresponents a les incrustacions. Això correspon a la definició d'isotopia. Una isotopia ambiental, estudiada en aquest context, és una isotopia de l'espai més gran, considerada a la llum de la seva acció sobre la subvarietat incrustada. Els nusos K₁ i K₂ es consideren equivalents quan hi ha una isotopia ambiental que mou K₁ a K₂. Aquesta és la definició adequada en la categoria topològica.
S'utilitza un llenguatge similar per al concepte equivalent en contextos en què es té una noció més forta d'equivalència. Per exemple, un camí entre dues incrustacions suaus és una isotopia suau.
Homotopia semblant al temps En una varietat lorentziana, certes corbes es distingeixen com a temporals (representen alguna cosa que només va cap endavant, no cap enrere, en el temps, en cada marc local). Una homotopia temporal entre dues corbes temporals és una homotopia tal que la corba roman temporal durant la transformació contínua d'una corba a una altra. Cap corba temporal tancada (CTC) en una varietat lorentziana és homotòpica temporal a un punt (és a dir, homotòpica temporal nul·la); per tant, es diu que aquesta varietat està multiplicada per corbes temporals. Una varietat com la 3-esfera pot estar simplement connectada (per qualsevol tipus de corba) i, tanmateix, ser multiplicada per connexió temporal.
Tipus homotòpics Es diu que dos espais X , Y són del mateix tipus homotòpic, si hi ha un parell d'aplicacions i tals que i són homotòpiques de i respectivament.
Sol ser utilitzat el símbol: , per indicar que els objectes f i g són homotòpics.
Com a exemples, una 1-esfera i un tor sòlid tenen el mateix tipus homotòpic. La superfície del toro amb un disc remogut té el mateix tipus homotòpic que un producte cartesià de dues 1-esferes (bouquet de dos cercles).
Homotopia relativa Homotopia de complexos de cadena En una varietat lorentziana, certes corbes es distingeixen com a temporals (representen alguna cosa que només va cap endavant, no cap enrere, en el temps, en cada marc local). Una homotopia temporal entre dues corbes temporals és una homotopia tal que la corba roman temporal durant la transformació contínua d'una corba a una altra. Cap corba temporal tancada (CTC) en una varietat lorentziana és homotòpica temporal a un punt (és a dir, homotòpica temporal nul·la); per tant, es diu que aquesta varietat està multiplicada per corbes temporals. Una varietat com la 3-esfera pot estar simplement connectada (per qualsevol tipus de corba) i, tanmateix, ser multiplicada per connexió temporal.
Propietats Propietats d'elevació i extensió Si tenim una homotopia i una coberta i ens donen un mapa de tal manera que ( s'anomena ascensor de ), aleshores podem aixecar-ho tot a un mapa de tal manera que La propietat d'elevació d'homotopia s'utilitza per caracteritzar les fibracions.