En matemàtiques, una n-esfera o hiperesfera és una generalització n-dimensional del cercle 1-dimensional i de l'esfera 2-dimensional a qualsevol nombre n enter no negatiu.
El cercle es considera unidimensional i l'esfera bidimensional, perquè les superfícies en si són unidimensionals i bidimensionals, respectivament, no perquè existeixin com a formes a l'espai unidimensional i bidimensional.La dimensió de la n-esfera és n i no s'ha de confondre amb la (n+1)- dimensió de l'espai euclidià en què està incrustada de manera natural. Una n-esfera és la superfície o el límit d'una bola de (n+1)-dimensions. Com a tal, la n-esfera es la configuració per a la geometria esfèrica n-dimensional.
Considerada extrínsecament, com una hipersuperfície incrustada en un espai euclidià de (n+1)-dimensions, una n-esfera és el lloc geomètric dels punts que es troben a la mateixa distància (el radi) d'un punt central (el centre) donat. El seu interior, format per tots els punts més propers al centre que al radi, és una bola de (n+1)-dimensions. En particular: La 0-esfera és el parell de punts als extrems d'un segment lineal (1-bola). La 1-esfera és un cercle, la circumferència d'un disc (2-bola) en el pla bidimensional. La 2-esfera, sovint anomenada simplement esfera, és el límit d'una 3-bola en l'espai tridimensional. La 3-esfera és el límit d'una 4-bola en un espai de quatre dimensions.
Donat un sistema de coordenades cartesianes, la n-esfera unitat de radi 1 es pot definir com:
i una n-esfera de radi r es pot definir com
Considerat intrínsecament, quan n≥1, la n-esfera és una varietat de Riemann de curvatura constant positiva i és orientable. La geodèsica de la n-esfera s'anomenen cercles màxims.
La projecció estereogràfica mapeja la n-esfera sobre n-espai amb un únic punt adjunt a l'infinit; sota la mètrica així definida, és un model per a la n-esfera.
En el context més general de la topologia, qualsevol espai topològic que sigui homeomòrfic a la unitat n-esfera s'anomena una n-esfera. Sota projecció estereogràfica inversa, la n-esfera és la compactació d'un punt de n-espai. Les n-esferes admeten diverses altres descripcions topològiques: per exemple, es poden construir enganxant dos n-espais dimensionals junts, identificant el límit d'un n-cub amb un punt, o (inductivament) formant la suspensió d'una (n − 1)-esfera. Quan n ≥ 2 està simplement connectat; la 1-esfera (cercle) no està simplement connectada; la 0-esfera ni tan sols està connectada, que consta de dos punts discrets.
Per a n ≥ 2, les n-esferes que són varietats diferenciables es poden caracteritzar (llevat d'un difeomorfisme) com les varietats n-dimensionals simplement connectades de curvatura positiva constant. Les n-esferes admeten diverses altres descripcions topològiques: per exemple, es poden construir enganxant dos espais euclidians n-dimensionals, identificant el límit d'un n-cub amb un punt o (inductivament) formant la suspensió d'una (n − 1)-esfera. La 1-esfera és la 1-varietat que és un cercle, que no està simplement connectat. La 0-esfera és la 0-varietat, que ni tan sols està connectada, que consta de dos punts.
Descripció Per a qualsevol nombre natural n, una n-esfera de radi r es defineix com el conjunt de punts de l'espai euclidià (n + 1)-dimensional que es troben a la distància r d'algun punt fix c, on r pot ser qualsevol nombre real positiu i on c pot ser qualsevol punt de l'espai (n + 1)-dimensional. En particular: una 0-esfera és un parell de punts {c − r, c + r}, i és el límit d'un segment lineal (1-bola). una 1-esfera és un cercle de radi r centrat en c i és el límit d'un disc (2-bola). una 2-esfera és una esfera ordinària de 2 dimensions en un espai euclidià de 3 dimensions, i és el límit d'una bola ordinària (3-bola). una 3-esfera és una esfera de 3 dimensions en un espai euclidià de 4 dimensions.
Coordenades euclidianes al (n+1)-espai El conjunt de punts del (n+1)-espai, , que defineixen una n-esfera, , es representa per l'equació:
on és un punt central i r és el radi.
La n-esfera anterior existeix a l'espai euclidià de (n + 1)-dimensions i és un exemple d'una n-varietat. La forma de volum ω d'una n-esfera de radi r ve donada per
on és l'operador estrella de Hodge; vegeu per a una discussió i demostració d'aquesta fórmula en el cas r = 1. Com a resultat,
-bola
L'espai tancat per una n-esfera s'anomena (n + 1)-bola. Una (n + 1)-bola està tancada si inclou la n-esfera, i està oberta si no inclou la n-esfera.
Concretament: Una 1-bola, un segment de línia, és l'interior d'una 0-esfera. Una 2-bola, un disc, és l'interior d'un cercle (1-esfera). Una 3-bola, una bola ordinària, és l'interior d'una esfera (2-esfera). Una 4-bola és l'interior d'una 3-esfera, etc.
Descripció topològica Topològicament, una n-esfera es pot construir com una compactació d'un punt de l'espai euclidià n-dimensional. Breument, la n-esfera es pot descriure com Sn = ℝn ∪ {∞}, que és un espai euclidià n-dimensional més un únic punt que representa l'infinit en totes les direccions.
En particular, si s'elimina un únic punt d'una n-esfera, esdevé homeomorf a ℝn. Això constitueix la base per a la projecció estereogràfica.
Volum i superfície miniatura|Gràfiques de volum (V) i àrees superficials (S) de n-boles de radi 1. A , passeu el cursor per sobre d'un punt per destacar-lo i el seu valor Vn(R) i Sn(R) són el volum n-dimensional de la n-bola i l'àrea superficial de la n-esfera incrustada a la (n + 1)-dimensió, respectivament, de radi R.
Les constants Vn i Sn (per a R = 1, la bola i l'esfera unitat) estan relacionades per les recurrències:
Les superfícies i els volums també es poden donar en forma tancada:
on Γ és la funció gamma. En aquesta secció es donen les derivacions d'aquestes equacions.
En general, el volum de la n-bola a l'espai euclidià n-dimensional i l'àrea de la superfície de la n-esfera a l'espai euclidià (n + 1)-dimensional, de radi R, són proporcionals a l'enèsima potència del radi, R (amb diferents constants de proporcionalitat que varien amb n). Escrivim Vn(R) = VnRn per al volum de la n-bola i Sn(R) = SnRn per a la superfície de la n-esfera, ambdues de radi R, on Vn = Vn(1) i Sn = Sn(1) són els valors per al cas de radi unitat.
El volum de la n-bola unitat és màxim a la dimensió cinc, on comença a disminuir, i tendeix a zero quan n tendeix a l'infinit. A més, la suma dels volums de n-boles de dimensions parells de radi R es pot expressar en forma tancada:
Per analogia, les de dimensions senars,
on és la funció d'error.
Exemples La 0-bola consta d'un sol punt. La mesura de Hausdorff de 0-dimensions és el nombre de punts d'un conjunt. Així,
La 0-esfera consta dels seus dos extrems, {−1,1}. Així,
La 1-bola unitat és l'interval [−1,1] de longitud 2. Per tant,
La 1-esfera unitat és el cercle unitari en el pla euclidià, i aquest té una circumferència (mesura unidimensional)
La regió tancada per la 1-esfera unitat és la 2-bola, o disc unitat, i aquesta té àrea (mesura bidimensional)
De manera anàloga, a l'espai euclidià tridimensional, l'àrea superficial (mesura bidimensional) de la 2-esfera unitat ve donada per
i el volum inclòs és el volum (mesura tridimensional) de la 3-bola unitat, donat per
Recurrències La superficie de la n-esfera: límit de la (n + 1)-bola de radi R, està relacionada amb el volum de la (n + 1)-bola per l'equació diferencial
o, de manera equivalent, representar la (n + 1)-bola unitat com una unió de n-corones esfèriques,
Llavors:
La superficie de la (n+1)-esfera la podem expressar en relació a la superficie de la n-esfera per integració en coordenades polars:CercleEsferaPodem visualitzar l'esfera com la unió de les "vores" d'infinites franges: , multiplicades pel gruix d'aquella franja sobre la corba, el diferencial d'arc: HiperesferaAnàlogament, ara les infinites franges són 2-esferes.Derivem la recursivitat: calculant el volum de la n-esfera en relació al volum de la (n-1)-esfera per integració en coordenades polars.
Aïllem ara en el cas del volum, i el cas de la superficie:
Igualant podem deduir:Una forma alternativa:
També podem representar la (n + 2)-esfera unitat com una unió de productes d'un cercle (1-esfera) de radi r amb una n-esfera de radi R; amb r2 + R2 = 1.
Sigui r = cos θ, i R = sin θ; per tant: dR = cos θ dθ = r dθ. Llavors:
A partir de , tenim:
Això completa la derivació de les recurrències:
Formes tancades Combinant les recurrències, veiem que
Per tant, és senzill demostrar per inducció a k que,
on !! denota el doble factorial, definit per a nombres naturals senars 2k + 1 per (2k + 1)!! = 1 × 3 × 5 × ... × (2k − 1) × (2k + 1) i de la mateixa manera per als nombres parells (2k)!! = 2 × 4 × 6 × ... × (2k − 2) × (2k).
En general, el volum, en l'espai euclidià n-dimensional, de la n-bola unitat, ve donat per:
on és la funció gamma, que compleix:
Si n és natural:
Per la relació de recurrència entre volum i superficie obtenim: Una derivació directaGeneralitzant el procediment de C. Gauss del gaussià obtenim la superficie de la N-esfera.
El concepte d'angle en radians , i el concepte dangle sòlid , l'hem generalitzat a qualsevol dimensió.
Vegem el cas del volum:
En 2 dimensions el diferencial: , consta d'un diferencial de línia: ; angle en radians .
En 3 dimensions el diferencial: , consta d'un diferencial de superficie: ; angle sòlid .
En n dimensions tindrem el diferencial: ; amb angle sòlid .
Aquesta conceptualització d'angle sòlid permet tractar la part angular amb una variable adimensional.
La idea de Gauss va ser separar la part angular del radi, per calcular: L. Euler havia calculat aquesta difícil integral amb la funció Gamma:
Gauss va introduir 2 variables simplificant la integral doble:
Ara generalitzem el plantejament a 3 variables:
Anàlogament obtenim per a n variables: Nota:
Altres relacions Les recurrències es poden combinar per donar una relació de recurrència de «direcció inversa» per a la superfície, tal com es mostra al diagrama inferior:
El desplaçament de l'índex n a n - 2 dona llavors les relacions de recurrència:
on , , i .
La relació de recurrència per a Vn també es pot demostrar mitjançant la integració amb coordenades polars 2-dimensionals:
Coordenades esfèriques
Podem definir un sistema de coordenades en un espai euclidià n-dimensional que és anàleg al sistema de coordenades esfèriques definit per a l'espai euclidià tridimensional, en el qual les coordenades consisteixen en una coordenada radial r, i n - 1 coordenades angulars φ1, φ2, ... φn−1, on els angles φ1, φ2, ... φn−2 oscil·len per sobre de [0,π] radians (o per sobre de [0,180] graus) i φn−1 per sobre de [0,2π) radians (o més de [0,360) graus). Si xi són les coordenades cartesianes, llavors podem calcular x1, ... xn a partir de r, φ1, ... φn−1 amb:
Excepte en els casos especials descrits a continuació, la transformació inversa és única:
on si xk ≠ 0 per a alguns k però tots xk+1, ... xn són zero, aleshores φk = 0 quan xk > 0, i φk = π (180 graus) quan xk < 0.
Hi ha alguns casos especials en què la transformada inversa no és única; φk per a qualsevol k serà ambigu sempre que tots xk, xk+1, ... xn siguin zero; en aquest cas es pot triar que φk sigui zero.
Elements de volum i àrea esfèrics Per expressar l'element de volum de l'espai euclidià n-dimensional en termes de coordenades esfèriques, primer s'ha d'observar que la matriu jacobiana de la transformació és: