miniatura|Construcció geomètrica per a trobar les mitjanes aritmètica (A), quadràtica (Q), geomètrica (G) i harmònica (H) de dos nombres a i b. La mitjana aritmètica o terme mitjà és un paràmetre estadístic associat a un conjunt de dades numèriques que s'obté sumant els valors de totes les dades i dividint-lo pel nombre d'elements del conjunt. Pot dir-se que aquest paràmetre estadístic és el resultat d'ajuntar tots els elements corresponents de cadascun dels individus que els posseeixen i repartir-los a parts iguals entre tots. En altres paraules la mitjana representa el valor que prendria una determinada variable en un conjunt de dades si es repartís equitativament entre tots els seus elements.
Així, per a un conjunt d'elements (a) essent n el nombre d'elements del conjunt, l'expressió matemàtica de la mitjana aritmètica de , serà igual a:Arithmetic Mean a MathWorld
El símbol µ (mi) s'utilitza per a la mitjana aritmètica d'una població estadística, mentre que per a la mitjana d'una mostra estadística s'usa .
Les mitjanes aritmètiques també s'utilitzen amb freqüència en economia, antropologia, història i gairebé tots els altres camps acadèmics fins a cert punt. Per exemple, la renda per càpita és la mitjana aritmètica de la renda de la població d'una nació.
Tot i que la mitjana aritmètica s'utilitza sovint per informar sobre tendències centrals, no és una estadística robusta: està molt influenciada pels valors atípics (valors molt més grans o més petits que la majoria de les altres). Per a distribucions asimètriques, com ara la distribució de la renda per a la qual els ingressos d'unes poques persones són substancialment més alts que els de la majoria de la gent, la mitjana aritmètica pot no coincidir amb la noció de mitjà. En aquest cas, estadístiques robustes, com ara la mediana, poden proporcionar una millor descripció de la tendència central.
Definició La mitjana aritmètica d'un conjunt de dades observades és igual a la suma dels valors numèrics de cada observació, dividida pel nombre total d'observacions. Simbòlicament, per a un conjunt de dades que consisteix en els valors , la mitjana aritmètica es defineix per la fórmula:
En termes més senzills, la fórmula de la mitjana aritmètica és:
Per exemple, si els salaris mensuals de els empleats són , aleshores la mitjana aritmètica és:
+Exemple Persona Salari A 2500 B 2700 C. 2300 D 2650 E 2450 Mitjana 2520
Si el conjunt de dades és una població estadística (és a dir, consta de totes les observacions possibles i no només un subconjunt d'elles), aleshores la mitjana d'aquesta població s'anomena mitjana poblacional i es denota amb la lletra grega Si el conjunt de dades és una mostra estadística (un subconjunt de la població), s'anomena mitjana mostral (que per a un conjunt de dades es denota com ).
La mitjana aritmètica es pot definir de manera similar per a vectors en múltiples dimensions, no només per a valors escalars; això sovint s'anomena centroide. Més generalment, com que la mitjana aritmètica és una combinació convexa (és a dir, els seus coeficients sumen ), es pot definir en un espai convex, no només en un espai vectorial.
Història L'estadístic Churchill Eisenhart, investigador sènior de l'Oficina Nacional d'Estàndards dels EUA, va traçar detalladament la història de la mitjana aritmètica. A l'era moderna, va començar a utilitzar-se com una manera de combinar diverses observacions que haurien de ser idèntiques, però que no eren com a estimacions de la direcció del nord magnètic. El 1635, el matemàtic Henry Gellibrand va descriure com a mitjana el punt mitjà d'un nombre més baix i un nombre més alt, no exactament la mitjana aritmètica. El 1668, una persona coneguda com a DB va ser citada a les Transactions of the Royal Society descrivint fer la mitjana de cinc valors:
Propietats La mitjana aritmètica té diverses propietats que la fan interessant, especialment com a mesura de tendència central. Aquestes inclouen: Si els números tenir una mitjana , aleshores Des de és la distància des d'un nombre donat fins a la mitjana, una manera d'interpretar aquesta propietat és dient que els nombres a l'esquerra de la mitjana estan equilibrats pels nombres a la dreta. La mitjana és l'únic nombre per al qual els residuals (desviacions de l'estimació) sumen zero. Això també es pot interpretar com que la mitjana és invariant translacionalment en el sentit que per a qualsevol nombre real , . Si cal utilitzar un sol nombre com a valor típic per a un conjunt de nombres coneguts , aleshores la mitjana aritmètica dels nombres ho fa millor, ja que minimitza la suma de les desviacions al quadrat del valor típic: la suma de . La mitjana mostral també és el millor predictor individual perquè té l’error quadràtic mitjà més baix. Si es vol la mitjana aritmètica d'una població de nombres, l'estimació que no és esbiaixada és la mitjana aritmètica d'una mostra extreta de la població. La mitjana aritmètica és independent de l'escala de les unitats de mesura, en el sentit que Així, per exemple, calcular una mitjana de litres i després convertir-la a galons és el mateix que convertir primer a galons i després calcular la mitjana. Això també s'anomena homogeneïtat de primer ordre.
Propietats addicionals La mitjana aritmètica d'una mostra sempre es troba entre els valors més gran i més petit de la mostra. La mitjana aritmètica de qualsevol quantitat de grups de nombres de la mateixa mida és la mitjana aritmètica de les mitjanes aritmètiques de cada grup.
Contrast amb la mediana La mitjana aritmètica difereix de la mediana, que és el valor que separa la meitat superior i la meitat inferior d'un conjunt de dades. Quan els valors d'un conjunt de dades formen una progressió aritmètica, la mediana i la mitjana aritmètica són iguals. Per exemple, en el conjunt de dades , tant la mitjana com la mediana són .
En altres casos, la mitjana i la mediana poden diferir significativament. Per exemple, en el conjunt de dades , la mitjana aritmètica és , mentre que la mediana és . Això passa perquè la mitjana és sensible als valors extrems i pot no reflectir amb precisió la tendència central de la majoria de les dades.
Aquesta distinció té implicacions pràctiques en diferents camps. Per exemple, des de la dècada del 1980, la renda mitjana als Estats Units ha augmentat a un ritme més lent que la mitjana aritmètica de la renda.
De la mateixa manera, en els estudis climàtics, les distribucions diàries de temperatura mitjana tendeixen a aproximar-se a una distribució normal, mentre que els totals de pluja anuals o mensuals sovint mostren una distribució esbiaixada, amb alguns períodes amb totals inusualment alts mentre que la majoria tenen quantitats relativament baixes. En aquests casos, la mediana pot proporcionar una mesura més representativa de la tendència central.
Generalitzacions Mitjana ponderada Una mitjana ponderada, o mitjana ponderada, és una mitjana en què alguns punts de dades compten més que altres, ja que se'ls dóna més pes en el càlcul. Per exemple, la mitjana aritmètica de i és , o equivalentment . En canvi, una mitjana ponderada en què el primer nombre rep, per exemple, el doble de pes que el segon (potser perquè se suposa que apareix el doble de sovint a la població general de la qual es van mostrejar aquests nombres) es calcularia com a Aquí els pesos, que necessàriament sumen un, són i , sent el primer el doble del segon. La mitjana aritmètica (de vegades anomenada "mitjana no ponderada" o "mitjana ponderada igualment") es pot interpretar com un cas especial de mitjana ponderada en què tots els pesos són iguals al mateix nombre ( en l'exemple anterior i en una situació amb nombres que es fan la mitjana).
Distribucions de probabilitat contínues miniatura|300x300px|Comparació de dues distribucions log-normals amb mediana igual, però asimetria diferent, que resulta en diverses mitjanes i modes. Si una propietat numèrica, i qualsevol mostra de dades que en derivi, pot prendre qualsevol valor d'un rang continu en lloc de, per exemple, només nombres enters, aleshores la probabilitat que un nombre caigui en algun rang de valors possibles es pot descriure integrant una distribució de probabilitat contínua en aquest rang, fins i tot quan la probabilitat ingènua que un nombre de mostra prengui un cert valor d'una quantitat infinita és zero. En aquest context, l'anàleg d'una mitjana ponderada, en què hi ha infinites possibilitats per al valor precís de la variable a cada rang, s'anomena mitjana de la distribució de probabilitat. La distribució de probabilitat més freqüent s'anomena distribució normal; té la propietat que totes les mesures de la seva tendència central, incloent-hi no només la mitjana sinó també la mediana esmentada anteriorment i la moda (les tres M), són iguals. Aquesta igualtat no es compleix per a altres distribucions de probabilitat, com s'il·lustra per a la distribució log-normal aquí.
Angles Cal tenir especial cura quan s'utilitzen dades cícliques, com ara fases o angles. Si es fa la mitjana aritmètica d'1 ° i 359°, s'obté un resultat de 180°. Això és incorrecte per dos motius:
Les mesures d'angle només es defineixen fins a una constant additiva de 360° ( o , si es mesura en radians). Per tant, es podrien anomenar fàcilment 1° i -1°, o 361° i 719°, ja que cadascun d'ells produeix una mitjana diferent.
En aquesta situació, 0° (o 360°) és geomètricament un valor mitjà millor: hi ha una dispersió més baixa al seu voltant (els punts es troben a 1° d'aquest angle i a 179° de 180°, la mitjana putativa).
En aplicació general, aquest descuit farà que el valor mitjà es mogui artificialment cap al mig del rang numèric. Una solució a aquest problema és utilitzar la formulació d'optimització (és a dir, definir la mitjana com el punt central: el punt al voltant del qual es té la dispersió més baixa) i redefinir la diferència com una distància modular (és a dir, la distància al cercle: de manera que la distància modular entre 1° i 359° és de 2°, no de 358°).
Símbols i codificació La mitjana aritmètica sovint es denota amb una barra (vinculum o macron), com en
Exemple Per exemple, si volem obtenir la mitjana d'edat d'una família de cinc membres de 50, 45, 20, 16 i 14 anys respectivament s'han de sumar aquests valors:
i dividir aquest valor pel nombre d'elements de la família (5):
Així doncs en aquesta família l'edat mitjana seria 29 anys.
Càlcul incremental de la mitjana aritmètica A vegades (per exemple, en un programa informàtic) pot ser útil calcular la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres coneixent ja la mitjana d'un subconjunt d'aquests nombres. Per això resulta útil la següent fórmula:
On és una mitjana prèviament coneguda d' elements i l' resultant és la mitjana d'aquests elements més un de nou (). Fixeu-vos que és la variància entre aquest nou element i la mitjana anterior.
Referències
Bibliografia
Categoria:Mitjanes