Un quadrat màgic és la disposició d'una sèrie de nombres enters en una taula quadrada o matriu de forma que la suma dels nombres per columnes, files i diagonals sigui la mateixa, la constant màgica. Usualment, els nombres emprats per a omplir les caselles són consecutius de l'1 a n², essent n el nombre de columnes i files del quadrat.
Quadrat màgic
Sigui la successió aritmètica 1, 2, 3, 4 ... 36 (quadrat d'ordre 6), disposats ordenadament en dues sèries en zig-zag:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19
Resulta evident que qualsevol parell de nombres alineats verticalment suma el mateix, ja que a mesura que ens desplacem per les columnes en la fila superior s'hi afegeix una unitat mentre que en la inferior se n'hi resta una. La suma és, en tots els casos, la dels extrems:
1 2 3 4 5 6 12 11 10 9 8 7 13 14 15 16 17 18 24 23 22 21 20 19 25 26 27 28 29 30 36 35 34 33 32 31 Si es disposen el conjunt de nombres en sis files (vegeu la taula a la dreta), fàcilment es pot apreciar que les sumes en les diferents columnes han de ser necessàriament iguals, ja que els nombres es troben agrupats per parelles tal com ho estaven en el primer cas (compareu les parelles de files 1a-6a, 2a-5a i 3a-4a amb la disposició original). Ara, tanmateix, per ser tres (n/2) les parelles de files, la suma resulta:
quantitat anomenada constant màgica, i que en aquest cas és n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.
{| align=center width="500px;" border=1 |----- align=center | Ordre n || 3 || 4 || 5 || 6 | 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 |----- align=center | M2 (n)| 15 || 34 || 65 || 111 || 175 || 260 || 369 || 505 | 671 || 870 ||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
El quadrat anterior no és pas un quadrat màgic, ja que com s'han disposat les files en forma consecutiva, les sumes de cada fila són cada cop més grans. No obstant això, s'han trobat sis sèries de nombres compresos entre 1 i 36 de forma tal que, sense repetir-se'n cap, les sumes de les sèries són la constant màgica. Però, és més, la suma de les xifres de la diagonal principal en un quadrat així construït és també la constant màgica: els nombres de la diagonal principal es poden escriure de la forma (a-1)×n + a.
Calculant la suma, sabent que les files a van d'1 a n:
que és la constant màgica. Però això no és tot: qualsevol sèrie de valors on no hi hagi dos nombres de la mateixa fila o columna sumarà la constant màgica. Escrivint el terme i, j de la matriu com (i-1)×n + j, i prenent 6 termes qualssevol amb la condició que ni i, ni j es repeteixin i variïn d'1 a n, l'equació resultant obtinguda és exactament l'escrita per al cas anterior, que condueix de la mateixa manera cap a la constant màgica.
Com es pot demostrar, la quantitat de sèries possibles de n nombres que compleixin la condició anterior és n!, 720 en quadrats d'ordre 6, i ni tan sols són totes les possibles, ja que abans s'havien obtingut sis sèries no incloses entre elles. En definitiva, sent possible construir (n²)! matrius en les que cap terme es repeteixi i existent almenys només n! (en realitat, moltes més) combinacions de nombres que sumin la constant màgica, s'intueix que podria ser impossible construir quadrats màgics.
D'ordre 3, existeix un únic quadrat màgic (lògicament amb les seves variacions que es poden obtenir per rotació o reflexió). El 1693 Bernard Frenicle de Bessy va establir que hi ha 880 quadrats màgics d'ordre 4 . Posteriorment s'ha trobat que existeixen 275.305.224 quadrats màgics d'ordre 5. El nombre de quadrats màgics d'ordre major, es desconeix amb exactitud, però segons estimacions de Klaus Pinn i C. Wieczerkowski realitzades el 1998 mitjançant mètodes de Monte Carlo i de mecànica estadística existeixen (1,7745 ± 0,0016) × 1019 quadrats d'ordre 6 i (3,7982 ± 0,0004) × 1034 quadrats d'ordre 7.
Pel que fa a ordres inferiors, és evident que d'ordre 1 existeix un únic quadrat màgic, 1 , mentre que d'ordre 2, no n'existeix cap, cosa fàcilment demostrable considerant el quadrat màgic a, b, c, d de la figura i imposant les següents equacions (on M és la constant màgica, no fixada a priori), condició de quadrat màgic:
a b c da + b = M a + c = M a + d = M b + c = M b + d = M c + d = M resolent el sistema d'equacions es veu que el sistema tan sols té la solució trivial a = b = c = d = M/2, de manera que resulta impossible construir un quadrat màgic amb les seves xifres diferents.
miniatura|The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei). Compilat per Bao Yunlong en el edició de la Dinastia Ming, 1457-1463, Biblioteca del Congrés dels EUA
Història En l'antiga Xina ja es coneixien quadrats màgics des del III mil·lenni aC, com testimonia el quadrat màgic Lo Shu, representat en ambdós cantons d'aquestes línies. Segons la llegenda, un cert dia van desbordar-se molts rius; la gent, temorosa, va intentar fer una ofrena al déu del riu Lo (un dels desbordats) per a calmar la seva ira. Però cada vegada que ho feien, apareixia una tortuga que rondava l'ofrena sense acceptar-la, fins que un noi va adonar-se de les peculiars marques que tenia la tortuga a la closca. D'aquesta manera es va poder incloure en l'ofrena la quantitat demanada (15), de manera que el déu quedà satisfet i les aigües van tornar a la seva llera.
Igualment van conèixer combinacions d'aquesta classe els indis, egipcis, àrabs i gregs. Les diferents cultures han atribuït propietats astrològiques i divines a aquests tipus de quadrats, que sovint van ésser representats en talismans. Per exemple, com recull Heinrich Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), el quadrat d'ordre 3 (15) estava consagrat a Saturn, el de 4 (34) a Júpiter, el de 5 (65) a Mart, el de 6 (111) al Sol, el de 7 (175) a Venus, el de 8 (260) a Mercuri i el de 9 (369) a la Lluna. Una idèntica atribució pot trobar-se també en astrologia hindú.
La introducció dels quadrats màgics a occident s'atribueix a Emanuel Moschopoulos cap al , autor d'un manuscrit en què s'expliquen, per primera vegada, alguns mètodes per a construir-ne. Amb posterioritat, l'estudi de les propietats de caràcter científic dels quadrats màgics va atreure l'atenció de grans matemàtics que van dedicar-hi diverses obres tot i la seva manifesta inutilitat pràctica. Entre aquests, cal citar Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frenicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler…
Els quadrats màgics en les arts 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
miniatura|Detall (cantonada superior dreta) del gravat d'Albrecht Dürer Malenconia I que mostra un dels quadrats màgics més famosos de l'art
El quadrat màgic d'Albrecht Dürer, tallat en la seva obra Malenconia I, és considerat el primer de les arts europees. Es tracta d'un quadrat d'ordre quatre, on s'obté la constant màgica (34) en files, columnes i diagonals principals, però també en cadascuna de les quatre submatrius d'ordre 2 en què es pot dividir el quadrat, sumant els nombres de les cantonades, els quatre nombres centrals, els dos nombres centrals de les files primera i última (idem en columnes), etc. A més a més, les dues xifres centrals de l'última fila, 15 i 14, formen l'any en què s'executà l'obra, 1514.
Aquestes peculiaritats han fet que sovint se l'anomeni quadrat satànic o quadrat diabòlic, tot i que aquesta última expressió denota en altres contextos una propietat dels quadrats màgics que aquest no té (vegeu apartats posteriors).
Algunes disposicions particulars en el quadrat màgic de Dürer que sumen la constant màgica.
16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
miniatura|Quadrat màgic de la façana de la Passió de la Sagrada Família
La façana de la Passió del temple de la Sagrada Família, dissenyada per l'escultor Josep Maria Subirachs, mostra un quadrat màgic d'ordre 4.
La constant màgica del quadrat és 33, l'edat de Jesucrist en la Passió. Es tracta d'una reestructuració del quadrat màgic de Dürer, girat 180° i retocat convenientment per a rebaixar la constant màgica en una unitat mantenint la majoria de combinacions que la sumen. El preu pagat per fer-ho, però, va ser el d'haver de repetir dos nombres (14 i 10) i de fer-ne desaparèixer uns altres dos (12 i 16).
Construcció de quadrats màgics Hi ha diverses maneres de construir quadrats màgics, però les més simples consisteixen a seguir certes configuracions o fórmules que generen patrons regulars. A més, poden imposar-se condicions addicionals al quadrat, com per exemple que siguin bimàgics, trimàgics, etc. Anàlogament, poden construir-se també cercles, polígons o cubs màgics.
No existeix un mètode general per a construir quadrats màgics de qualsevol ordre, però sí per a tres grups: ordre senar, ordre múltiple de 4 i la resta (d'ordre (4•m + 2).
Quadrats màgics d'ordre senar (I) Aquests quadrats poden generar-se segons el mètode publicat el 1691 per Simon de la Loubere, anomenat sovint mètode siamès, ja que fou on va exercir càrrec d'ambaixador de Lluís XIV. De tota manera, el mètode ja era conegut per astròlegs orientals amb anterioritat. Començant en la casella central de la primera fila amb el primer nombre, s'omple la diagonal (trencada) amb els següents nombres segons el sentit NW (o NE). Completada la primera diagonal es descendeix una posició i s'omple la segona en el mateix sentit que l'anterior. Seguidament es repeteix el pas anterior amb la resta de diagonals fins a completar el quadrat.
Quadrats màgics d'ordre senar
Òbviament, també es pot començar des de qualsevol de les caselles centrals de les files o columnes perimetrals, sempre que se segueixi el sentit en què s'omplen les diagonals cap a fora del quadrat i el sentit de desplaçament després d'haver omplert cada diagonal és el mateix que cal prendre per anar de la casella inicial fins al centre del quadrat.
Resulta evident que començant per qualsevol altra casella, les sumes de files i columnes seguirà sent la constant màgica, ja que la posició relativa de les xifres serà la mateixa que en el cas anterior. No obstant això, la suma no es compleix en la diagonal paral·lela a la direcció en què s'omplen les diagonals (en l'altra sí), i de fet, això només s'aconsegueix escollint la casella inicial descrita anteriorment.
Quadrats màgics d'ordre senar (II) Pas 1: S'escriuen els nombres d'1 a n. S'escriu l'1 en la casella superior d'un rombe i se segueix de forma obliqua tal com s'observa en l'exemple. El quadrat màgic serà un quadrat inscrit en el rombe format.
1 6 2 11 7 3 16 12 8 4 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 19 15 24 20 25 Pas 2: Es traslladen els nombres de les cantonades del rombe a les caselles buides que hi ha en el costat oposat del quadrat.
1 6 2 11 24 7 20 3 16 4 12 25 8 16 4 21 17 5 13 21 9 5 22 10 18 1 14 22 10 23 6 19 2 15 24 20 25 Pas 3: S'esborren les cantonades del rombe i el quadrat màgic d'ordre senar està ja construït.
11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15
Quadrats màgics d'ordre múltiple de 4 Es construeix un quadrat amb els nombres disposats consecutivament, disposició que garanteix que les diagonals sumen la constant màgica. Seguidament, i conservant la submatriu central d'ordre n/2 i les quatre submatrius de les cantonades d'ordre n/4, els nombres restants es giren 180° respecte al centre del quadrat (o equivalentment, es recol·loquen en ordre decreixent).
Quadrats màgics d'ordre múltiple de 4
Partint des de la mateixa disposició i escollint patrons simètrics similars de les xifres a conservar es poden construir quadrats màgics diferents a l'obtingut amb anterioritat, com el següent:
Quadrats màgics d'ordre múltiple de 4
Quadrats màgics d'ordre múltiple de 4 més 2 (ordre 4•k + 2)