miniatura|Un quadrat de costat de longitud . Un quadrat és un polígon regular de quatre costats iguals amb angles rectes (de 90°), és a dir, els seus quatre costats tenen la mateixa longitud i els seus quatre angles la mateixa mesura. Un quadrat és alhora un rombe. El fet d'imposar que, a més de tenir els quatre costats iguals i els quatre angles iguals, els angles hagin de ser de 90°, fa que només puguin existir quadrats en geometria euclidiana. Per poder estendre el concepte de quadrat a geometries no euclidianes cal relaxar la condició que els angles siguin de 90° i imposar només que siguin tots iguals.
El quadrat posseeix nombroses propietats de simetria i de regularitat. Tot quadrat té quatre eixos de simetria i és invariant per rotacions d'angles múltiples del recte. Dos costats consecutius d'un quadrat són perpendiculars, igual com les seves diagonals. Aquestes propietats són conegudes des de l'antiguitat; de fet, les primeres representacions del quadrat daten de la prehistòria. És, juntament amb la circumferència i el triangle, una de les figures geomètriques més estudiades des de l'antiguitat. El problema de la quadratura del cercle ha ocupat nombrosos matemàtics durant dos mil·lennis. El quadrat forma part de la figura descrita per Ramon Llull a La quadratura del cercle.
El «quadrat d'un nombre» designa també el producte d'aquest nombre per ell mateix. Es denota a × a = a² i es llegeix «al quadrat» o «a quadrat». Aquesta expressió s'ha imposat durant el període on l'àlgebra geomètrica era omnipresent: el quadrat d'un nombre era vist com la superfície d'un quadrat de costat el nombre inicial.
Història miniatura|La tauleta d'argila YBC 7289 data aproximadament del 1700 aC i representa un quadrat amb les seves diagonals amb un valor proper a 2 (Crèdits: Bill Casselman). S'han documentat atuells decorats amb quadrats datats del mil·lenni VI aC a Mesopotàmia.Eleanor Robson 2008
Hi ha tauletes que demostren el coneixement de les simetries i rotacions del quadrat cap al segle XVIII aC. La tauleta BM 15285 conté una quarantena de problemes matemàtics en relació amb àrees de figures vinculades a quadrats.
El Talmud recomana construir ciutats de forma quadrada, sigui quina sigui la forma del seu recinte.
Propietats Propietats genèriques És el polígon regular de quatre costats. Les cares oposades d'un quadrat són paral·leles entre si. Un quadrat és un cas particular de rectangle, rombe, paral·lelogram, trapezi i quadrilàter. Les dues diagonals que el creuen són iguals i es troben al mig de la figura, propietat que s'acompleix també en determinats rombes. Les dues diagonals són les bisectrius dels seus angles. La longitud d'una diagonal és vegades la longitud d'un costat. Aquest valor, conegut com la constant de Pitàgores, va ser el primer nombre irracional que es va conèixer. Si un quadrilàter és alhora un rombe i un rectangle, llavors és un quadrat. El quadrat té l'àrea més gran que qualsevol altre quadrilàter amb el mateix perímetre.
Simetries Sia O el punt on es creuen les dues diagonals del quadrat.
El quadrat és invariant respecte les rotacions de centre O i d'angles π/4, π/2 o π3/4; la rotació d'angle π/2 equival a una simetria central: el quadrat té per tant O com a centre de simetria. És invariant per simetria axial respecte de les bisectrius dels costats i respecte de les diagonals. El seu grup de simetria és el grup dièdric D₄.
Tota recta que passa per O divideix el quadrat en dues parts que es poden superposar.
140px|Id id (deixar-ho com estava) 140px|rotació de 90 ° r1 (rotació de 90 ° a la dreta) 140px|rotació de 180 ° r₂ (rotació de 180 ° a la dreta) 140px|rotació de 270 ° r₃ (rotació de 270 ° a la dreta) 140px|fv (reflexió vertical) fv (reflexió vertical) 140px|fh (reflexió horitzontal) fh (reflexió horitzontal) 140px|fd (reflexió diagonal) fd (reflexió diagonal) 140px|fc (reflexió contradiagonal) fc (reflexió contradiagonal) Els elements del grup de simetria del quadrat (D₄). Els vèrtexs es pinten i es numeren només per visualitzar les operacions.
Aquest grup es pot representar amb les següents vuit matrius:
Propietats relatives a mesures de longituds i àrees miniatura|Figura per ilustrar la fórmula de l'àrea del quadrat A la taula de més avall es presenta el resum de les fórmules pel quadrat de costat de longitud a, aquestes fórmules resulten de les següents observacions: La fórmula de l'àrea s'explica observant la figura de la dreta. L'àrea de qualsevol rectangle és el producte de la base per l'altura, com que en el cas del quadrat tots els costats són iguals, l'àrea és el producte de la longitud del costat per si mateix, és a dir elevat a la segona potència. Per aquest motiu, elevar a la segona potència, s'anomena elevar al quadrat. La fórmula del perímetre és immediata per definició de quadrat, té quatre costats i tots quatres són d'igual longitud. La fórmula de la diagonal és conseqüència del teorema de Pitàgores aplicat al triangle que forma la diagonal amb dos dels costats. El radi de la circumferència circumscrita resulta de què el seu diàmetre és igual a la diagonal del quadrat. El radi de la circumferència inscrita resulta de què el seu diàmetre és igual a la longitud del costat del quadrat. miniatura|esquerra|• Color negre - quadrat, • Color blau: Circumferència circumscrita; • Color marró: Circumferència inscrita {| class=wikitable
! bgcolor="#c0c0ff" colspan=3 align=center | Fórmules del quadrat
! align=left | Àrea
! align=left | Perímetre
! align=left | Diagonal
! align=left | Radi de la circumferència circumscrita
! align=left | Radi de la circumferència inscrita
Construcció del quadrat Demostració constructiva de l'existència del quadrat miniatura|Demostració constructiva de l'existència del quadrat. Euclides dona una demostració constructiva de l'existència del quadrat a la proposició 46 del llibre I dels Elements,Construcció d'un quadrat sobre un segment donat Els elements. Euclides. Proposició 46. Llibre I just abans de fer servir els quadrats per demostrar el teorema de Pitàgores. En la tradició didàctica moderna l'existència dels quadrats, generalment, es dona per suposada.
La demostració d'Euclides es basa en traçar les perpendiculars a un segment en els seus extrems (vegeu imatge de la dreta). Donat el segment AB, es perllonga pels dos cantons i es tracen les circumferències amb centre a A i B i radi AB per tal de trobar els punts C i D. Llavors es tracen l'arc amb centre a B i radi BC i l'arc amb centre a C i radi BC. On s'intersequen aquests dos arcs es troba el punt E que permet traçar una perpendicular a AB que passa pel punt A. Seguint el mateix procediment es troba el punt F que permet traçar la perpendicular a AB que passa pel punt B La intersecció d'aquestes perpendiculars amb les circumferències amb radi AB i centre a A i B respectivament, permet trobar els punts G i H.
Per construcció, el quadrilàter ABGH construït seguint aquest procediment compleix les següents propietats: Les distàncies AB, AG i AH són iguals i els angles GAB i ABH són de 90 °. Però per acceptar que la distància entre els dos punts nous G i H és igual a la del segment original i que els angles AGH i GHB també són de 90 °, cal admetre el cinquè postulat. Per tant, l'existència de quadrats no està pas garantida en la geometria no euclidiana.
Construcció del quadrat amb compàs La construcció del quadrat amb compàs consisteix en trobar els seus quatre vèrtex sense fer servir el regle. Construcció d'un quadrat amb compàs
Es desitja construir el quadrat de vèrtex ABCD coneixent només els punts A i B. Sia R la distància entre A i B; llavors, es procedeix com segueix:
Es traça C1, la circumferència de centre A i de radi R (que, per tant, conté B)
es té un tercer punt del quadrat sobre aquesta corba.
Es traça C₂ la circumferència de centre B i de radi R (que, per tant, conté A)
el quart punt del quadrat es troba sobre aquesta corba.
Sia G el punt d'intersecció de C1 amb C₂; es construeix llavors C₃ centrat a G i de radi R. Aquest circumferència intersecta C1 a B i en un altre punt H. C₄, de centre H i de radi R, interseca C1 a G i en un nou punt I. Sia S la distància entre G i I; es construeix llavors C₅ de centre I i de radi S (conté per força G). C₆ s'obté prenent per centre B i per a radi S (conté per força H). Es determina J com el punt d'intersecció entre C₆ i C₅ que està al mateix costat que G respecte a la recta AB. Si T és la distància entra A i J, es construeix C₇, la circumferència de centre A i de radi T (conté per força J).
El punt C s'obté per intersecció entre C₇ i C₂.
Llavors es construeix C₈ de centre C i de radi R.
La intersecció de C₈ i C1 és el punt D.
Equacions d'un quadrat en el pla cartesià La superfície delimitada per un quadrat de costat 2 i centre a l'origen es pot descriure de diverses maneres. Per exemple:
El quadrat pròpiament dit és
Això també es pot escriure com
En matemàtiques, aquest quadrat representa la bola de radi unitari en el pla respecte de la p-norma quan p → ∞.
Teoremes relacionats amb el quadrat Teorema de Pitàgores miniatura|demostració geomètrica de: (a+b)² = a² + 2·a·b + b² El teorema de Pitàgores estableix que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets (els costats que formen l'angle recte) és igual al quadrat de la hipotenusa (l'altre costat).
Expressat matemàticament; a² + b² = c²
miniatura|esquerra|El teorema de Van Aubel aplicat a dos quadrilàters el segon complex (amb costats que s'intersequen entre ells). miniatura|Exemple d'alicació del teorema de Thébault a un paral·lelogram
Teorema de Van Aubel El teorema de Van Aubel estableix que donat un quadrilàter qualsevol, si es dibuixen quatre quadrats adjacents cada un a una de les cares del quadrilàter, els segments que uneixen els centres del quadrats adjacents als costats oposats tenen la mateixa longitud i són perpendiculars entre si.
Teorema de Thébault El problema I del teorema de Thébault estableix que donat un paral·lelogram qualsevol si es dibuixen quatres quadrats adjacents cada d'un a un dels costats del paral·lelogram, els centres dels quadrats formen un quadrat.
Teorema de Browkin El teorema de Browkin estableix que per cada enter positiu n existeix un quadrat que conté exactament n punts en el seu interior d'una graella quadriculada de punts.BrowkinsTheorem Teorema de Browkins a MathWorld
Problema de Haberdasher El problema de Haberdasher consisteix en tallar un quadrat en tres talls rectes per obtenir quatre bocins que es poden tornar a compondre formant un triangle equilàter.
La solució consisteix en unir els punts mitjans de dos costats i llavors unir el punt mig d'aquest tall amb els punts mitjos dels altres dos costats, els quatre bocins es poden compondre tal com sindica a la figura.Haberdasher's Problem El problema de Haberdasher a MathWorld
miniatura|center|500px|Solució al problema de Haberdasher. Els quatre vèrtexs del quadrat de 90 ° graus cada un (total 360 °) es troben a l'interior del triangle triangle, els tres vèrtex del triangle, de 60 ° cada un (total 180 °) es troben al mig de la línia interior que uneix els centres de les dues arestes contigües del quadrat.
Quadratura del quadrat miniatura|La quadratura del quadrat perfecta més petita. El problema de la quadratura del quadrat consisteix en enrajolar un quadrat tal que la seva aresta mesura un nombre enter d'unitats amb quadrats que també tenen aresta de mida un nombre enter. Si no s'imposen condicions addicionals, el problema és trivial, la restricció més estudiada és la quadratura del quadrat "perfecte". Aquesta restricció consisteix en el fet que tots el quadrats han de ser de mida diferent.
El primer quadrat perfectament quadrat el va trobar Roland Sprague el 1939
El quadrat d'aresta més petita que es pot quadrar perfectament és un quadrat d'aresta 112. Observeu figura de la dreta.
Políedres amb cares quadrades