miniatura|La funció beta de Dirichlet En matemàtiques, la funció beta de Dirichlet (també coneguda com a funció beta de Catalan) és una funció especial, íntimament relacionada amb la funció zeta de Riemann. En particular, és una sèrie L de Dirichlet, concretament la funció L per al caràcter alternat de període quatre. Rep aquest nom en honor del matemàtic alemany Johann Dirichlet.
Definició La funció beta de Dirichlet ve definida per:
o, equivalentment:
En ambdós casos, les fórmules només són vàlides per Re(s)>0.
Altrament, la següent definció, en termes de la funció zeta de Hurwitz, és vàlida per a tot el pla complex:
Una altra definició equivalent, en termes de la funció zeta de Lerch i vàlida també en tot el pla complex, és:
Equació funcional L'equació funcional prolonga analíticament la funció beta a la part del pla complex Re(s)<0 ve donada per:
on és la funció gamma.
Valors especials Alguns valors particulars de la funció beta són els següents:
on representa la constant de Catalan
on és un exemple de funció poligamma.
En general, per nombre natural
on representa els nombres d'Euler. Per a ≥0, és té que:
Atès que , la funció s'anul·la per tot valor enter negatiu senar.
Referències
J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
Beta de Dirichlet