La Suma de la Art d'Arismètica és la primera obra de Francesc Santcliment. Va ser impresa a Barcelona per Pere Posa el 1482 i actualment se’n conserva un original a la Biblioteca de Catalunya. Aquest exemplar se’l considera la primera aritmètica comercial catalana i una de les primeres d'Europa. És el primer llibre de matemàtiques, conegut, imprès a la península Ibèrica.
Context L'aritmètica als segles XIV i XV La renovació de l'aritmètica medieval comença amb Leonardo de Pisa (o Leonardo Fibonacci), ca.1170-1240 amb el Liber abaci (Llibre de l'àbac) i altres obres, que van importar a Europa les matemàtiques islàmiques, en aquell moment més evolucionades. Així doncs, en l'obra de Fibonacci s'inspira el gènere de les aritmètiques mercantils, al nord d’Itàlia, en mans dels mestres d'abbaco, o mestres de comptes. Molts d'aquests mestres escriuen tractats d'abbaco (la majoria dels manuscrits que es coneixen són italians, uns tres-cents) que són tractats d'aritmètica aplicada a les necessitats mercantils. Les obres són escrites en la llengua de l'usuari immediat, i no pas en llatí. El que permetia que aquests coneixements arribessin a tothom que ho necessités mercaders, botiguers, artesans...
Tant els autors com els usuaris d'aquestes aritmètiques, pràcticament no tenien relació amb el món universitari. Les escoles on s'ensenyava l'abbaco eren institucions privades que no formaven part de l'elit social.
El motiu pel qual s'escrivien aquestes aritmètiques mercantils no és exactament per l'ús com a manuals o textos utilitzats a les escoles d'àbac, sinó que els manuscrits aritmètics dels segles i servien d'eina de referència. És probable que moltes cases mercantils tinguessin a mà algunes d'aquestes aritmètiques pel nombre de còpies que hi ha d'algunes obres.
Les matemàtiques involucrades interessaven també els joiers, banquers, consellers municipals i reials que aconsellaven sobre decisions monetàries i mestres de les seques, les institucions que encunyaven moneda a les ciutats importants. És un fet evident que als segles i millorés notablement el coneixement de les persones relacionades amb aquestes operacions i que la millora anés lligada a la difusió de l'aritmètica mercantil.
A més a més, l'arribada de la impremta va fer que les aritmètiques mercantils assumissin una faceta nova com a precursores dels coneixements i de l'estatus social d'algunes professions. A partir de la segona meitat del grups socials com el dels pintors i escultors, el dels enginyers, o el dels grans comerciants i els banquers van millorar el seu estatus social. Les aritmètiques mercantils van passar a ser el gènere matemàtic més popular, a part dels calendaris i els horòscops.
Les xifres indoaràbigues i el principi de la numeració posicional decimal, que són unes de les grans innovacions de les matemàtiques medievals. Les aritmètiques dels segles i van ser les responsables principals que se substituís la numeració romana. És més, fins a mitjans del la majoria dels llibres d'àlgebra són precisament aritmètiques mercantils extenses que incorporen una secció d'àlgebra. Per tant, situem aquests textos de la baixa edat mitjana en els orígens de l'àlgebra renaixentista, una de les novetats més importants d'aquest període.
Contingut Suma de la Art de Arismetica, comença amb una primera part dedicada a la numeració, explicant com són les xifres aràbigues, com funciona el zero i què és el principi posicional. En els quatre apartats següents explica les operacions amb nombres enters: suma, resta, multiplicació i divisió. Als cinc apartats següents hi tenim la regla de tres i els nombres trencats (les fraccions) i el darrer bloc de capítols està dedicat a la resolució de problemes mercantils: la regla de companyies, canvis, barates, posicions, regla d'al·ligació i progressions.
De nombrar i conèixer les figures El primer capítol a parlar del sistema de numeració que fa servir, el sistema decimal posicional indo-aràbic. Comença amb la definició del terme nombrar:
“Nombrar es lo nombre preposat en algunes figures comunes, de paraula perceptiblement exprimir. Altrament, nombrar es lo nombre de l'enteniment concebut, per figures comunes visiblement representar”.
S'entén per nombrar el fet de donar nom a unes figures que representen simbòlicament els nombres. Les figures, doncs, són els símbols que s'utilitzen per a expressar-los. Únicament hi ha deu xifres, amb les quals es pot representar qualsevol quantitat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Les nou primeres les anomena figures significatives i la última, xifra o figura de no-res. Remarca especialment la funció d'aquesta:
“O, altrament, alguns l'apel·len zero, car no val res, mes fa valer les altres segons el lloc en què és”.
Per exemple en el cas de les desenes: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 que és el zero que els dona precisament el valor: 10 es deu vegades 1,... .
Ja d'entrada Santcliment deixa enrere les xifres romanes i presenta els símbols indo-aràbics, que havien arribat a Europa al voltant del s. . Aquest sistema numeral no comença a utilitzar-se de manera generalitzada fins al 1450, quan s'inventa la impremta.
De saber que vol dir ajustar Comença amb el concepte de ajustar, sumar: “Ajustar és molts nombres metre en un, lo qual solet val tant com tots los ajustats i no mes”.
Al llarg del capítol s'explica quin és el procediment que cal seguir per a aquesta operació, que no és diferent a l'actual. Insisteix en la importància de la col·locació dels dos (o més) nombres a sumar.
frameless|170x170px
Cal destacar la falta del signe aritmètic de la suma i que en la majoria d'exemples suma diferents monedes en la mateixa operació. Les monedes s'endrecen de major a menor valor d'esquerra a dreta, i l'operació s'inicia a la dreta, amb la unitat de menys valor.
frameless|299x299px La prova general en les ajustacions Per a comprovar la validesa del resultat de l'operació, Santcliment explica el procediment que cal seguir, la prova del nou:
A la suma realitzada, de la qual es vol comprovar el resultat, es traça una línia a l'esquerra de tot, on s'anotaran les proves: el resultat de sumar els dígits de cada fila mòdul 9. Seguidament s'ha de fer la suma de les proves, nombre que ha de coincidir amb la prova de la suma.
frameless|273x273px
De sostraure “Sostraure es llevar un nombre d'un altre que sia major”
La segona espècie és la resta. Santcliment explica que sostraure, restar, és treure una quantitat a un nombre major que aquesta. Descarta la resta en l'ordre contrari, evitant treballar amb nombres negatius.
Per saber quin és el nombre major i quin el menor dona dues regles. Primerament, si els dos nombres tenen el mateix ordre, és a dir, la mateixa quantitat de dígits, com 5732 i 5729, cal fixar-se si un té una xifra menor que l'altra en algun ordre (com és natural es miren els ordres d'esquerra a dreta). A l'exemple proposat, en les desenes tenim un 3 i un 2. Aleshores .
La segona regla és en el cas de dos nombres l'un amb major ordre que l'altre, el de major ordre és més gran: 7324 i 987.
A l'hora d'operar el nombre menor és col·locarà a sota del major, vigilant l'ordre com en el cas de la suma: les unitats en una columna i les desenes i les centenes d'igual manera.
Seguidament explica el procediment a seguir per a efectuar l'operació. El primer exemple que donat és: 95 menys 37. Ens deixa clar des del principi que no es realitzaran restes en les quals a la quantitat menor se li treu la major. En aquest exemple, però, s'ha de restar a 5 7. Els passos que segueix són:
Es pren la primera desena, 10. ; nombre que se suma a 5; això fa 8, que és el resultat que a escriure. Amb la desena que s'ha usat, el que es farà és sumar-la al 3 de les desenes del menor nombre. Per tant, la següent resta a realitzar serà 9 menys 4, 5.
Explicada la metodologia, Santcliment dona exemples de restes en les quals intervenen diferents tipus de monedes, com en les sumes del capítol anterior. En aquests exemples hi ha quatre files: en la primera (presta) la quantitat a la que se li restarà la segona fila (paga), en la tercera el resultat d'aquesta operació (resta), separades amb una ratlla al mig per a diferenciar-les, i a la quarta, aquesta també separada, la prova. A diferencia de la suma, en el cas de la resta la prova que utilitza és exactament igual a la que es fa ara: la suma l'element paga amb la resta, que ha de donar el mateix valor que el de presta.
Capítol que ensenya de multiplicar Multiplicar consisteix en sumar. La multiplicació presentada és bàsicament igual a l'actual: El nombre gran a sobre del d'abaix de manera que les unitats ens quedin les unes sobre les altres, així com les desenes, centenes..., i es començarà l'operació de dreta a esquerra.
Donarà gran importància en saber les taules de multiplicar a la perfecció.
L'algorisme per a la multiplicació és explicat amb diversos exemples (, , ) on s'especifíca pas per pas què és el que es fa i com s'ha de procedir amb gran detall. Finalment, perquè el lector pugui treure’n ús pràctic ofereix un petit exemple sobre mercaderia i monedes:
“Multiplica’m 23 càrregues per 15 sous 7 diners” Primer de tot es multiplica els 7 diners per les 23 càrregues, obtenint 161 diners*, que són 13 sous 5 diners. Seguidament els 15 sous per les 23 càrregues, que en són 345 de sous. S'ajusta 13 sous 5 diners a 345 sous i s'ontindrà el resultat desitjat: 358 sous 5 diners. *Fa esment a la multiplicació per coses dissemblants i semblants, com ara càrregues i diners, i dona una regla o més aviat la imposició que de càrregues per diners n’obtenim diners.
Cal afegir que no únicament ensenya a desenvolupar un producte, sinó també a fer la comprovació que s'ha realitzat correctament l'operació. Novament utilitza la prova del nou:
Es proposa escriure una creu de manera que a sobre del braç de dalt es troba el nombre gran de la multiplicació, el primer element de l'operació, mòdul 9. A baix del braç inferior de la creu es posa l'altre nombre que intervé en l'operació mòdul 9. Al costat del braç dret s'escriu el producte de les proves, és a dir, el de dalt pel de baix. Resta omplir el buit del braç esquerre, on hi va la suma dels dígits del resultat mòdul 9. El resultat obtingut serà correcte (de fet pot no ser-ho, però es pot assegurar amb gran certesa) si els nombres del braç dret i esquerre son iguals.
De la quinta especie, que s'anomena partir L'autor introdueix la noció de dividir com: “Partir és contrari al multiplicar”. També ho explica com encabir en una “suma” algunes altres d'iguals i ens deixa clar que és indispensable saber sumar, restar i multiplicar. Seguidament, mostra l'aspecte escrit amb què ensenyarà les divisions i ràpidament comença a explicar com es divideix. Heus aquí una explicació mitjançant el seu mètode:
Per a dividir un nombre, A, entre un altre, B, el que cal fer primer és escriure A i B horitzontalment un a sobre l'altre de manera que hi hagi suficient espai entre ells per què n’hi càpiga un altre (que serà el resultat de la divisió) entre dues línies que s'han de traçar també. Haurem de visualitzar una quadrícula de manera que hi hagi un dígit per casella, i el nombre B s'ha de començar a escriure a partir de la columna on s'ha començat a escriure A, sempre que el nombre B hi “càpiga” en el nombre A’ (el nombre obtingut a partir dels primers n dígits de A, on n és el nombre de dígits de B i prenent la unitat com a últim), en cas contrari, s'escriu B a partir de la columna del segon dígit de A (i A’ serà el nombre obtingut a partir dels primers n+1 dígits de A).
Es pot començar ara a dividir.
frameless|207x207px