miniatura|Donat un triangle equilàter, la rotació en sentit antihorari de 120° al voltant del centre del triangle aplica cada vèrtex del triangle en un altre vèrtex. El grup cíclic C₃ format per les rotacions de 0°, 120° i 240° actua sobre el conjunt dels tres vèrtexs. En matemàtiques, un grup de simetria és una abstracció emprada per descriure les simetries d'un objecte. Una acció de grup formalitza la relació entre el grup i les simetries de l'objecte; relaciona cada element del grup amb una transformada particular de l'objecte.
En aquest cas, hom diu que el grup és un grup de permutacions (especialment si el conjunt és finit o no és un espai vectorial) o un grup de transformacions (sobretot si el conjunt és un espai vectorial i el grup actua com a transformacions lineals del conjunt). Una representació de permutacions d'un grup G és una representació de G com a grup de permutacions del conjunt (habitualment, si el conjunt és finit), i es pot descriure com a representació de grup de G mitjançant matrius permutació. És el mateix que una acció de grup de G sobre una base ordenada d'un espai vectorial.
Una acció de grup és una extensió del concepte de grup de simetria, en el qual tot element del grup "actua" com una transformació bijectiva (o "simetria") d'un conjunt donat, sense identificar-lo amb aquesta transformació. Això permet una descripció més comprensiva de les simetries d'un objecte, com un políedre, permetent que el mateix grup actuï sobre diferents conjunts de característiques, com el conjunt de vèrtexs, el conjunt d'arestes o el conjunt de cares del políedre.
Si G és un grup i X és un conjunt, llavors hom pot definir una acció de grup com un homomorfisme de grups h de G al grup simètric sobre X. L'acció assigna una permutació de X a cada element de grup, de tal manera que la permutació de X assignada a: l'element identitat de G és la transformació identitat de X; un producte gk de dos elements de G és la composició de les permutacions assignades a g i k.
L'abstracció que donen les accions de grups és molt potent, perquè permet aplicar idees geomètriques a altres objectes més abstractes. Molts objectes matemàtics tenen accions de grups associades de manera natural. En particular, els grups poden actuar sobre altres grups, o fins i tot un grup pot actuar sobre ell mateix. A causa d'aquesta generalitat, la teoria d'accions de grup conté diversos teoremes d'ampli abast, com el teorema de l'estabilitzador d'òrbites, que es pot utilitzar per demostrar resultats complexos en diferents àmbits.
Definició Si G és un grup i X és un conjunt, llavors una acció de grup (per l'esquerra) φ de G sobre X és una funció
que satisfà els dos axiomes següents (on denotem φ(g, x) com g.x): Identitat per a tot x de X. (Aquí, e denota l'element neutre del grup G.) Compatibilitat per a qualssevol g, h de G i per a tot x de X. (Aquí, gh denota el resultat d'aplicar l'operació de grup de G als elements g i h.)
Hom diu que el grup G actua sobre X (per l'esquerra), i que el conjunt X és un G-conjunt (per l'esquerra).
A partir d'aquests dos axiomes, es pot deduir que per a qualsevol g de G, la funció que aplica x ∈ X en g.x és una funció bijectiva de X en X (i que té per inversa la funció que envia x a g−1.x). Per tant, una definició alternativa d'una acció del grup G sobre X pot ser amb un homomorfisme de grups de G en el grup simètric Sim(X) de totes les bijeccions de X en X.
Anàlogament, hom pot definir una acció de grup per la dreta de G sobre X com una operació que envia a x.g i que satisfà els dos axiomes: Identitat per a tot x de X. Compatibilitat per a qualssevol g, h de G i per a tot x in X.
La diferència entre les accions per l'esquerra i per la dreta rau en l'ordre en el qual un producte com gh actua sobre x. Per a una acció per l'esquerra, primer actua h i després g, mentre que en una acció per la dreta, primer actua g i després h. Com que tenim , es pot construir una acció per l'esquerra a partir d'una acció per la dreta, si es realitza una composició amb l'operació inversa del grup. Addicionalment, una acció per la dreta d'un grup G sobre X és equivalent a una acció per l'esquerra del seu grup oposat Gop sobre X.Si és un grup amb l'operació , el grup oposat de es denota per , i té els mateixos elements de , i una operació definida per . Per tant, podem considerar només les accions per l'esquerra, sense pèrdua de generalitat.
Definició alternativa Es pot donar una altra definició d'acció de grups mitjançant l'ús de grups de simetria. Sigui G un grup, sigui X un conjunt, i sigui SX el grup de simetria de X, és a dir, el conjunt de totes les permutacions dels elements de X. Llavors hom diu que G actua sobre X si existeix un homomorfisme de grups de G a SX. . Si existeix un tal homomorfisme, llavors les propietats d'identitat i compatibilitat són una conseqüència directa de les propietats dels homomorfismes de grups. Identitat θ(e) = ι. (θ aplica l'element neutre de G en la permutació identitat.) Compatibilitat σgh = θ(gh) = θ(g)θ(h) = σgσh. (θ respecta les dues operacions dels grups.)
Exemples L'acció trivial de qualsevol grup G sobre qualsevol conjunt X es defineix per per a qualssevol g de G i x de X; és a dir, tot grup indueix la permutació identitat sobre X. En qualsevol grup G, la multiplicació per l'esquerra és una acció de G sobre G: per a qualssevol g, x de G. En qualsevol grup G amb un subgrup H, la multiplicació per l'esquerra és una acció de G sobre les classes laterals de G/H: per a qualssevol g, a de G. En particular, si H no conté cab subgrup normal trivial de G, això indueix un isomorfisme de G al subgrup del grup de permutacions de elements. En qualsevol grup G, una conjugació és una acció de G: . Hom acostuma a utilitzar la notació exponencial per a la variant per la dreta: ; se satisfà (. En qualsevol grup G amb un subgrup H, la conjugació és una acció de G sobre els conjugats de H: per a qualsevol g de G i qualssevol K conjugats de H. El grup simètric Sn i els seus subgrups actuen sobre el conjunt permutant els seus elements. El grup de simetria d'un políedre actua sobre el conjunt de vèrtexs del políedre. També actua sobre el conjunt de cares i sobre el conjunt d'arestes del políedre. El grup de simetria de qualsevol objecte geomètric actua sobre el conjunt de punts de l'objecte. El grup d'automorfismes d'un espai vectorial (o d'un graf, o d'un grup, o d'un anell) actua sobre l'espai vectorial (o sobre el conjunt de vèrtexs del graf, o sobre el grup, o sobre l'anell). El grup lineal general i els seus subgrups, particularment els seus grups de Lie (inclosos el grup especial lineal , el grup ortogonal , el grup especial ortogonal , i el grup simplèctic ) són grups de Lie que actuen sobre l'espai vectorial Kn. Les operacions de grup venen donades per multiplicació de les matrius dels grups pels vectors de Kn. El grup afí actua de forma transitiva i fidel sobre els punts d'un espai afí. De fet, aquesta és una manera de definir un espai afí, és a dir, establint quesigui una acció transitiva i fidel és equivalent a la definició formal d'un espai afí: la identitat (per l'esquerra) i l'associativitat són equivalents a la definició d'una acció (per l'esquerra), i la unicitat és equivalent a la propietat que l'acció sigui transitiva i fidel. El grup lineal projectiu i els seus subgrups, particularment els seus subgrups de Lie, que són grups de Lie que actuen sobre l'espai projectiu Pn(K). Aquest és un quocient de l'acció del grup lineal general sobre l'espai projectiu. Cal destacar el grup , les simetries de la recta projectiva, que és 3-transitiu, i que preserva la raò anharmònica; el grup de Möbius és especialment interessant. Els conjunts sobre els quals actua un grup G formen la categoria de G-conjunts on els objectes són G-conjunts, i els morfismes són homomorfismes de G-conjunts, és a dir, funcions tals que per a tot g de G. El grup de Galois d'una extensió de cossos L/K actua sobre el cos L però només té una acció trivial sobre els elements del subcòs K. Els subgrups de Gal(L/K) corresponen a subcossos de L que contenen K, és a dir, a extensions de cossos intermèdies entre L i K. El grup additiu dels nombres reals actua sobre l'espai de fases de sistemes amb "bon comportament" en mecànica clàssica (i en sistemes dinàmics més generals) per translació del temps: si t pertany a R i x pertany a l'espai de fases, llavors x descriu un estat del sistema, i t+x es defineix com l'estat del sistema t segons més tard si t és positiu, o fa −t segons si t és negatiu. El grup additiu dels nombres reals actua sobre el conjunt de funcions real de variable real de diferents maneres, amb (t.f)(x) igual a p.ex. , , , , , o , però no . Donada una acció de grup G sobre X, hom pot definir una acció induïda de G sobre el conjunt de les parts de X, escrivint per a qualssevol subconjunt U de X i g de G. Això és útil, per exemple, quan es vol estudiar l'acció del grup de Mathieu sobre un conjunt de 24 elements i a l'hora d'estudiar la simetria en certs models de geometries finites. Els quaternions amb norma 1 (els versors), com a grup multiplicatiu, actuen sobre R3: donat un quaternió qualsevol , l'aplicació és una rotació antihorària d'un angle α al voltant d'un eix v; z és la mateixa rotació.
Tipus d'accions Hom diu que una acció de G sobre X és: Transitiva si X és no buit, i per a cada parell x, y de X existeix un g de G tal que . Fidel (o efectiva) si per a dos elements diferents qualssevol g i h de G existeix un x de X tal que ; o, equivalentment, si per a cada de G existeix un x de X tal que . Intuïtivament, en una acció de grup fidel, elements diferents de G indueixen permutacions diferents de X. Lliure (o semiregular o lliure de punts fixos) si, donats g, h de G, l'existència d'un x de X amb implica . Equivalentment: si g és un element del grup i existeix un x de X amb (és a dir, si g té almenys un punt fix)), llavors g és la identitat. Regular (o simplement transitiva) si és alhora transitiva i lliure; això és equivalent a dir que per a x, y de X qualssevol, existeix exactament un element g de G tal que . En tal cas, hom diu que X és un espai homogeni principal per a G o un G-torsor. -transitiva si X té almenys n elements i, per a qualssevol x1, …, xn diferents dos a dos i qualssevol y1, …, yn diferents dos a dos, existeix un g de G tal que per . Es diu que una acció 2-transitiva és doblement transitiva, que una acció 3-transitiva és triplement transitiva, i així successivament. Primitiva si és transitiva i no preserva cap partició no-trivial de X. Localment lliure si G és un grup topològic, i existeix un entorn U de e dins G tal que la restricció de l'acció a U és lliure; és a dir, si per a algun x i algun g de U, llavors . Irreductible si X és un mòdul no nul sobre un anell R, l'acció de G és R-lineal, i no existeix cap submòdul invariant propi no nul.
Tota acció lliure sobre un conjunt no buit és fidel. Un grup G actua de manera fidel sobre X si i només si l'homomorfisme corresponent té un nucli trivial. Així, per a una acció fidel, G se submergeix en un grup de permutacions sobre X; més específicament, G és isomorf a la seva imatge dins Sim(X).
L'acció de qualsevol grup G sobre si mateix per la multiplicació per l'esquerra és regular i, per tant, també és fidel. Com a conseqüència, tot grup es pot submergir en el grup simètric dels seus elements, Sim(G). Això es coneix com el teorema de Cayley.
Si G no actua de manera fidel sobre X, hom pot alterar fàcilment el grup per tal d'obtenir una acció fidel. Si definim , llavors N és un subgrup normal de G; de fet, és el nucli de l'homomorfisme . El grup quocient G/N actua de manera fidel sobre X si s'estableix . L'acció original de G sobre X és fidel si i només si .
Òrbites i estabilitzadors