miniatura|Bresca de mel En geometria, un hexàgon correspon a qualsevol polígon de sis costats. Sovint, però, es fa servir aquest mot per denotar un hexàgon regular. Això és, un polígon de 6 costats on tots els costats i tots els angles són iguals. En aquest cas, els angles seran de 120°. El seu símbol de Schläfli és {6}. Per la seva forma serveix per designar França.
Hexàgon regular Un hexàgon regular es defineix com un hexàgon que és alhora equilàter i equiangular. El seu angle intern és un terç d'un cercle, igual a 120°. El símbol de Schläfli denota aquest polígon com a .. Tanmateix, l'hexàgon regular també es pot considerar com un tall dels vèrtexs d'un triangle equilàter, que també es pot denotar com .
Un hexàgon regular és bicèntric, és a dir, que és tant cíclic (té un cercle circumscrit) com tangencial (té un cercle inscrit). La longitud comuna dels costats és igual al radi del cercle circumscrit o circumcercle, que és igual a multiplicat per l'apotema (radi del cercle inscrit).
Mesura Les diagonals més llargues d'un hexàgon regular, que connecten vèrtexs diametralment oposats, tenen el doble de la longitud d'un costat. A partir d'això es pot veure que un triangle amb un vèrtex al centre de l'hexàgon regular i que comparteix un costat amb l'hexàgon és equilàter, i que l'hexàgon regular es pot dividir en sis triangles equilàters.
miniatura|R = Circumradius; r = Inradius; t = longitud del costat El diàmetre màxim (que correspon a la diagonal llarga de l'hexàgon), D, és el doble del radi màxim o circumradius, R, que és igual a la longitud del costat, t. El diàmetre mínim o el diàmetre del cercle inscrit (separació de costats paral·lels, distància entre plans, diagonal curta o alçada quan descansa sobre una base plana), d, és el doble del radi mínim o inradi, r. Els màxims i mínims estan relacionats pel mateix factor:
L'àrea d'un hexàgon regular
Per a qualsevol polígon regular, l'àrea també es pot expressar en termes de l'apotema a i el perímetre p. Per a l'hexàgon regular, aquests vénen donats per a = r, i p, so
L'hexàgon regular omple la fracció del seu cercle circumscrit. L'hexàgon regular omple la fracció del seu cercle circumscrit.
Si un hexàgon regular té els vèrtexs successius A, B, C, D, E, F i si P és qualsevol punt de la circumferència circumscrita entre B i C, aleshores .
De la relació entre el circumradi i el radi interior, es dedueix que la relació alçada-amplada d'un hexàgon regular és d'1:1,1547005; és a dir, un hexàgon amb una diagonal llarga d'1,0000000 tindrà una distància de 0,8660254 o cos(30°) entre costats paral·lels.
Punt en el pla Per a un punt arbitrari en el pla d'un hexàgon regular amb circumradi , les distàncies del qual al centroide de l'hexàgon regular i els seus sis vèrtexs són i
respectivament, tenim
Si són les distàncies des dels vèrtexs d'un hexàgon regular fins a qualsevol punt de la seva circumferència, aleshores
Construcció
Simetria miniatura|Les sis línies de reflexió d'un hexàgon regular, amb simetria Dih6 o r12, ordre 12. miniatura|Les simetries dièdriques es divideixen segons si passen per vèrtexs (d per a diagonals) o arestes (p per a perpendiculars). Les simetries cícliques de la columna central s'etiqueten com a g per als seus ordres de giració centrals. La simetria completa de la forma regular és r12 i cap simetria s'etiqueta com a a1. Un hexàgon regular té sis simetries rotacionals (simetria rotacional d'ordre sis) i sis simetries de reflexió (sis línies de simetria), que formen el grup dièdric D6. . Hi ha 16 subgrups. N'hi ha 8 fins a l'isomorfisme: ell mateix (D6), 2 dièdric: (D3, D2), 4 cíclics: (Z6, Z3, Z2, Z1) i el trivial (e)
Aquestes simetries expressen nou simetries diferents d'un hexàgon regular. John Conway les etiqueta amb una lletra i un ordre de grupJohn H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, (Capítol 20, Símbols de Schaefli generalitzats, Tipus de simetria d'un polígon pàgines 275–278) r12 és simetria completa i a1 no té simetria. p6, un hexàgon isogonal construït per tres miralls pot alternar arestes llargues i curtes, i d6, un hexàgon isotoxal construït amb arestes iguals, però amb els vèrtexs alternant dos angles interns diferents. Aquestes dues formes són duals l'una de l'altra i tenen la meitat de l'ordre de simetria de l'hexàgon regular. Les formes i4 són hexàgons regulars aplanats o estirats al llarg d'una direcció de simetria. Es pot veure com un rombe allargat, mentre que d2 i p2 es poden veure com a estels allargats horitzontalment i verticalment. Els hexàgons g2, amb costats oposats paral·lels, també s'anomenen paral·lelegs hexagonals.
Cada simetria de subgrup permet un o més graus de llibertat per a formes irregulars. Només el subgrup g6 no té graus de llibertat, però es pot veure com a aresta dirigida.
Els hexàgons de simetria g2, i4 i r12, com a paral·lelegs, poden tessel·lar el pla euclidià per translació. Altres formes hexagonals poden tesel·lar el pla amb diferents orientacions. p6m (*632)cmm (2*22)p2 (2222)p31m (3*3)pmg (22*)pg (××)120pxr12120pxi4120pxg2120pxd2120pxd2120pxp2120pxa1Dih6Dih2Z2Dih1Z1
120pxArrels del grup A2 120pxArrels del grup G2 Les 6 arrels del grup de Lie simple A2, representades per un diagrama de Dynkin , tenen un patró hexagonal regular. Les dues arrels simples tenen un angle de 120° entre elles.
Les 12 arrels del grup de Lie excepcional G2, representades per un diagrama de Dynkin també tenen un patró hexagonal. Les dues arrels simples de dues longituds tenen un angle de 150° entre elles.
Tessel·lacions Igual que els quadrats i els triangles equilàters, els hexàgons regulars encaixen sense cap espai per "enrajolar el pla" (tres hexàgons que es troben a cada vèrtex), i per tant són útils per construir tessel·lacions. Les cel·les d'un rusc bresca són hexagonals per aquesta raó i perquè la forma fa un ús eficient de l'espai i dels materials de construcció. El diagrama de Voronoi d'una xarxa triangular regular és la tessel·lació de bresca d'hexàgons.
Propietats Donat un hexàgon regular amb un costat de longitud :
La seva àrea correspon a:
El seu perímetre és:
La seva apotema és
El seu diàmetre màxim és
El seu diàmetre mínim és: .
Els hexàgons regulars es poden ajustar uns amb els altres (sense deixar espais) per formar tessel·lacions. La natura ens ofereix aquestes construccions de manera natural. Per exemple, en les bresques fetes per les abelles. Matemàticament, la construcció de les bresques fetes per les abelles correspon als diagrames de Voronoi construïts a partir dels vèrtexs de triangles equilàters.
No existeix cap sòlid platònic format d'hexàgons regulars. En canvi, existeixen sòlids arquimedians. Són el tetraedre truncat, l'octaedre truncat i l'icosaedre truncat (les pilotes de futbol corresponen a icosaedres truncats, tot i que a causa de la pressió de l'aire i l'elasticitat del material tenen una forma més arrodonida), el cubooctaedre truncat i el icosidodecaedre truncat.
Els nombres hexagonals són un tipus de nombres (els anomenats nombres figurats) que es poden representar per un conjunt de punts formant hexàgons regulars.
Construcció de l'hexàgon Els hexàgon regulars es poden construir amb regle i compàs. Euclides en descriu un mètode en la proposició 15 del llibre IV dels seus Elements (300 aC). La figura en mostra la construcció.
Dissecció Projecció de 6 cubs Dissecció de 12 rombes120x120px140x140px140x140px
Coxeter afirma que cada zonògon (un 2 m -gon els costats oposats del qual són paral·lels i de la mateixa longitud) es pot disseccionar en paral·lelograms.Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141 En particular, això és cert per a polígons regulars amb un nombre uniforme de costats, en aquest cas els paral·lelograms són tots rombes. Aquesta descomposició d'un hexàgon regular es basa en una projecció de polígon de Petrie d'un cub, amb 3 de 6 cares quadrades. Altres paral·lelogons i direccions projectives del cub es disseccionen dins de quadrats rectangulars.
Dissecció d'hexàgons en tres rombes i paral·lelograms 2D Rombes Paral·lelograms92x92px95x95px120x120px120x120px Regular {6} Paral·lelògons hexagonals 3D Cares quadrades Cares rectangulars95x95px95x95px120x120px120x120px Cub Ortoedre
Polígons i tessel·lacions relacionades Un hexàgon regular té el símbol de Schläfli {6}. Un hexàgon regular és una part del mosaic hexagonal regular, {6,3}, amb tres cares hexagonals al voltant de cada vèrtex.
Un hexàgon regular també es pot crear com un triangle equilàter truncat, amb símbol de Schläfli t{3}. Vist amb dos tipus (colors) d'arestes, aquesta forma només té simetria D3.
Un hexàgon truncat, t{6}, és un dodecàgon, {12}, que alterna dos tipus (colors) d'arestes. Un hexàgon alternat, h{6}, és un triangle equilàter, {3}. Un hexàgon regular es pot estelar amb triangles equilàters a les seves arestes, creant un hexagrama. Un hexàgon regular es pot disseccionar en sis triangles equilàters afegint-hi un punt central. Aquest patró es repeteix dins del mosaic triangular regular.
Un hexàgon regular es pot estendre fins a fer-se un dodecàgon regular afegint-hi quadrats i triangles equilàters alterns al seu voltant. Aquest patró es repeteix dins del mosaic rombitrihexagonal.
82x82px80x80px92x92px92x92px92x92px92x92px80x80px81x81px Regular {6} Truncat t{3} = {6} Triangles hipertruncats Estel·lat Figura estel·lar 2{3} Truncat t{6} = {12} Alternat h{6} = {3}
81x81px80x80px80x80px80x80px114x114px80x80px80x80px80x80px Creuat hexàgon Un hexàgon còncau Un hexàgon que s'autointerseca (polígon estrellat) Ampliat Central {6} a {12} Un hexàgon oblic, dins d'un cub Disseccionat {6} projecció Octàedre Gràfic complet
Hexàgons que s'autocreuen Hi ha sis hexàgons que s'autocreuen amb la disposició dels vèrtexs de l'hexàgon regular:
+Hexàgons que s'autointersequen amb vèrtexs regulars Dih 2 Dih 1 Dih 3100x100px Figura de vuit100x100px Inversió central100x100px Unicursal100x100px Cua de peix100x100px Doble cua100x100px Triple cua
Estructures hexagonals miniatura|la Calçada del Gegant Des de lrs bresques de les abelles fins a la Calçada del Gegant, els patrons hexagonals són freqüents a la natura a causa de la seva eficiència. En una quadrícula hexagonal, cada línia és tan curta com sigui possible si es vol omplir una àrea gran amb el menor nombre d'hexàgons possible. Això significa que les bresques requereixen menys cera per construir-se i guanyen molta resistència sota compressió.
Els hexàgons irregulars amb cares oposades paral·leles s'anomenen paral·lelògons i també poden tesel·lar el pla per translació. En tres dimensions, els prismes hexagonals amb cares oposades paral·leles s'anomenen paral·leloedres i poden tessel·lar l'espai tridimensional per translació.
+Tesel·lacions de prismes hexagonals Formulari Tessel·lació hexagonal Bresca prismàtica hexagonal Regular170x170px170x170px Paral·lelogonal170x170px240x240px
Tessel·lacions per hexàgons A més de l'hexàgon regular, que determina una tessel·lació única del pla, qualsevol hexàgon irregular que satisfaci el criteri de Conway enteixarà el pla.
Hexàgon inscrit en una secció cònica El teorema de Pascal (també conegut com el Teorema de l'Hexagrammum Mysticum) estableix que si un hexàgon arbitrari s'inscriu en qualsevol secció cònica, i s'estenen parells de costats oposats fins que es troben, els tres punts d'intersecció es trobaran en una línia recta, la "recta de Pascal" d'aquesta configuració.
Hexàgon cíclic L’hexàgon de Lemoine és un hexàgon cíclic (inscrit en un cercle) amb vèrtexs donats per les sis interseccions de les arestes d'un triangle i les tres rectes paral·leles a les arestes que passen pel seu punt simèdic.
Si els costats successius d'un hexàgon cíclic són a, b, c, d, e, f, aleshores les tres diagonals principals es tallen en un sol punt si i només si .