miniatura|Il·lustració del funcionament de la llei de la gravitació universal de Newton; una massa puntual m1 atreu una altra massa puntual m₂ amb una força F₂ que és proporcional al producte de les dues masses i inversament proporcional al quadrat de la distància (r) que hi ha entre les masses. Siguin quines siguin les masses o les distàncies, les magnituds de |F1| i |F₂| sempre seran iguals. G és la constant de la gravitació.
La llei de la gravitació universal de Newton ens diu que la força d'atracció entre dos cossos, amb masses m1 i m₂ respectivament, és proporcional al producte de les masses m1 i m₂ i inversament proporcional al quadrat de la distància que separa els dos cossos. Matemàticament s'expressa com:
en què F és el mòdul de la força de la gravetat, G és la constant gravitacional, m1 i m₂ són les masses dels dos objectes que originen la força, i d és la distància entre els dos centres de gravetat de les dues masses, que es consideren concentrades en un punt.
El valor de G en el SI, sistema internacional d'unitats és:
Amb la llei de la gravitació universal, Newton va aconseguir reproduir les lleis de Kepler, donant així una explicació més fonamental de les tres lleis, que fins llavors només s'havien pogut derivar de manera empírica.
Per exemple, en la superfície terrestre, on hom pot considerar que la distància al centre de la Terra és la mateixa en tots els punts (és una aproximació: la diferència de la distància mitjana del centre de la Terra a un punt del nivell del mar i al pic d'una muntanya de 1.000 metres és de menys d'un 0,02%).
on
Aquí M és la massa de la Terra i R el seu radi mitjà. Generalment, és una bona aproximació considerar g com una constant. De fet, g és l'acceleració que els cossos experimenten en la superfície terrestre i que és la mateixa per a tots els cossos, independent de la seva massa (com es pot deduir de la derivació anterior) i que va ser demostrat empíricament per Galileo Galilei.
Conseqüències Acceleració de la gravetat miniatura|Efecte de l'atracció gravitatòria terrestre: animació d'una esfera en caiguda lliure des de la Torre de Pisa
Considerant la segona llei de Newton, que explica que l'acceleració que pateix un cos és proporcional a la força exercida sobre ell, estant totes dues relacionades per una constant de proporcionalitat que és precisament la massa d'aquest objecte,
i introduint-la a la llei de la Gravitació Universal (en la seva forma més simple, únicament per simplicitat) s'obté que l'acceleració que pateix un cos a causa de la força de la gravetat exercida per un altre de massa és igual a
on és l'acceleració soferta.
És a dir, aquesta acceleració és independent de la massa que presenti el nostre objecte, únicament depèn de la massa del cos que exerceix la força i de la seva distància. Per això, si es tenen dos cossos de massa diferent (per exemple la Lluna i un satèl·lit artificial, que únicament tingui una massa d'uns pocs quilograms) a la mateixa distància de la Terra, l'acceleració que produeix aquesta sobre tots dos és exactament la mateixa.
Tal com l'acceleració que té la mateixa direcció que la de la força, és a dir en la direcció que uneix ambdós cossos, això produeix que si sobre ambdós cossos no s'exerceix cap altra força externa, aquests es mouran descrivint òrbites entre si, cosa que descriu perfectament el moviment planetari (o del sistema Terra-Lluna), o de caiguda lliure aproximant-se un cos cap a l'altre, com passa amb qualsevol objecte que deixem anar a l'aire i que cau irremeiablement cap a terra, en la direcció del centre de la Terra.
Amb aquesta llei es pot determinar l‟acceleració de la gravetat que produeix un cos qualsevol situat a una distància donada. Per exemple, es dedueix que l'acceleració de la gravetat que ens trobem a la superfície terrestre a causa de la massa de la Terra és de , que és l'acceleració patida per un objecte en caure. I que aquesta acceleració és pràcticament la mateixa a l'espai, a la distància on es troba l'Estació Espacial Internacional, (és a dir, és un 95 % de la gravetat que tenim a la superfície, únicament una diferència d'un 5 %), i cal recordar que el fet que els astronautes no sentin la gravetat no és perquè aquesta sigui nul·la, sinó pel seu estat d'ingravidesa (de caiguda lliure contínua).
I la gravetat que exerceix una persona sobre una altra, situada a un metre de distància, és al voltant de (per a una persona d'uns 100 kg). Aquest és el fet pel qual no sentim la gravetat que exerceixen cossos “poc massius” com nosaltres.
Preeminència del cos més massiu Continuant amb allò que s'acaba d'esmentar sobre l'acceleració que pateix un cos a conseqüència de la presència d'un altre objecte massiu, el fet que aquesta acceleració únicament depengui de la massa d'aquest objecte massiu mostra que, per a dos cossos donats de massa diferent, el cos menys massiu serà el que pateixi una acceleració més gran, i per tant un canvi de moviment més pronunciat. Amb això s'observa directament una resposta per què és la Terra la que orbita entorn del Sol i no al revés, ja que aquest últim té una massa superior a la de la Terra (unes 330.000 vegades superiors), fent, en canvi, que el moviment experimentat pel Sol a conseqüència de l'atracció que exerceix la Terra sobre ell sigui insignificant. I de la mateixa manera, és la Lluna (cos menys massiu) la que orbita entorn de la Terra.
Interior d'un cos esfèric miniatura|300px|Intensitat del camp gravitatori terrestre (des de l'òrbita del Transbordador Espacial fins al centre del planeta) Una de les conseqüències que porta que la gravetat sigui una força que depèn com la inversa del quadrat de la distància és que si es té un cos esfèric, amb una densitat que únicament va variant a mesura que ens allunyem del centre del cos (la qual cosa podria ser un model que descriu de forma força adequada a la Terra), es pot demostrar a través de la llei de Gauss que la força a l'interior (a una distància del centre) únicament depèn de la massa existent dins de l'esfera de ràdio . És a dir, la massa que hi ha fora de l'esfera esmentada no produeix cap força sobre un cos situat en aquest punt. Per això, dins del cos la força ja no depèn de la inversa del quadrat (ja que ara la massa a considerar depèn també d'aquesta distància) i resulta que és proporcional a aquesta distància. Això és, a l'interior del cos la força de la gravetat va creixent a mesura que ens allunyem del centre del cos (on aquesta és nul·la) fins a arribar a la superfície, on es fa màxima.
Aquest raonament és vàlid per a esferes homogènies, és a dir, de densitat uniforme. No obstant això, la Terra posseeix un nucli metàl·lic (el nucli) molt més dens que el mantell i l'escorça, per la qual cosa la màxima intensitat del camp gravitatori es produeix precisament en el límit entre el nucli i el mantell.
Un cop aconseguida la superfície exterior, s'observa el comportament habitual de decreixement a mesura que ens allunyem del cos. Tot això es pot veure en més profunditat a l'entrada de la intensitat del camp gravitatori.
Interior d'una escorça buida I per extensió del que s'acaba d'esmentar, en el cas que es tingués un cos esfèric buit (és a dir que únicament seria una closca esfèrica), en qualsevol punt extern segueix produint una força de la gravetat d'acord amb l'equació , és a dir com si aquest cos fos puntual. No obstant això, en ubicar-nos dins, observaríem que no hi ha força de la gravetat, ja que a l'interior ja no hi ha massa.
Moviment dels planetes Com s'ha esmentat a l'apartat històric, aquesta llei permet recuperar i explicar la Tercera Llei de Kepler, que mostra d'acord amb les observacions que els planetes que es troben més allunyats del Sol triguen més temps a fer una volta al voltant d'aquest. A més d'això, amb aquesta llei i usant les lleis de Newton es descriu perfectament tant el moviment planetari del Sistema Solar com el moviment dels satèl·lits (llunes) o sondes enviades des de la Terra. Per això, aquesta llei va ser considerada com una llei fonamental per més de 200 anys, i encara avui continua sent vigent per a la majoria dels càlculs necessaris que afecten la gravetat.
Un dels fets que mostren la seva precisió és que en analitzar les òrbites dels planetes coneguts al voltant de 1800 (quan encara quedaven per descobrir Neptú i Plutó), s'observaven irregularitats entorn de l'òrbita d'Urà principalment, i de Saturn i Júpiter encara menys, respecte al que predeia. Per això alguns astrònoms van suposar que aquestes irregularitats eren degudes a l'existència d'un altre planeta més extern, allunyat, que encara no havia estat descobert. Així, tant Adams com Le Verrier (de forma independent) van calcular matemàticament on s'hauria de trobar aquest planeta desconegut per poder explicar aquestes irregularitats. Neptú va ser descobert al cap de poc temps per l'astrònom Galle, el 23 de setembre de 1846, seguint-ne les indicacions i trobant-lo a menys d'un grau de distància de la posició predita.
Correcció del pes per l'efecte centrífug a la Terra Quan un cos descriu un moviment circular la seva velocitat va canviant constantment de direcció, el que significa que està sotmès a una acceleració per no ser constant la seva velocitat, encara que el seu mòdul o celeritat no canviï. En aquestes condicions, l'acceleració que experimenta el cos es deu a una força que actua sobre ell i que és dirigida cap al centre de la trajectòria circular que rep el nom de força centrípeta. Si aquesta força deixés d'actuar, el cos abandonaria la trajectòria circular en direcció tangencial a aquesta, adquirint un moviment rectilini uniforme en absència d'altres forces.
Si es posa a girar una pedra lligada a un cordill, aquest exerceix una força centrípeta constant per estirar la pedra accelerant-la cap al centre del cercle. La pedra exerceix sobre el cordill una força igual i oposada originant una tensió al cordill que augmentarà a mesura que sigui més gran la velocitat amb què gira la pedra. Per calcular el valor de la força centrípeta es fa servir l'equació: + SímbolNomUnitatForça centrípetaNMassa del cos que girakgVelocitat lineal del cosm/sRàdio de la circumferènciam
La força centrífuga és una força fictícia, percebuda per un observador sobre la terra que és igual en mòdul i de sentit oposat a l'acceleració centrípeta de la superfície de la Terra, per la qual cosa un observador situat sobre l'equador terrestre percebrà una major força centrípeta que als pols. Això és perquè en un punt de l'equador es mou més de pressa que en un proper dels pols. Per tant, quan la Terra fa una volta al voltant del seu eix, el punt sobre l'equador haurà recorregut aproximadament 40.000 km, que és el valor de la longitud de la circumferència a l'equador, mentre que el punt proper a un dels pols recorreria una distància molt més petita (de valor 0 exactament a cada pol). A causa d'això, la velocitat lineal d'un punt sobre l'equador serà més gran que la d'un punt a prop dels pols i conseqüentment serà més gran també la seva força centrífuga. Com que l'efecte de la força centrífuga és un distanciament respecte a l'eix de gir, la força centrífuga percebuda per un observador sobre la Terra equival que aquest vegi que aquests cossos s'allunyen de l'eix de gir, reduint l'efecte de la força de gravetat d'acord amb les mesures d'aquest observador.
Per aquesta raó, en mesurar el pes efectiu d'un cos un observador situat a prop de la línia de l'equador mesurarà un menor pes que un situat a prop dels pols, atès que l'acceleració centrífuga mesurada és menor als pols, a més de trobar-se més a prop del centre de la Terra a causa de l'aplatament dels seus pols.
Problemes de la teoria de Newton La llei de la gravitació universal de Newton era incapaç d'explicar tots els fets coneguts en la seva època. Per exemple: