miniatura|Un llaç contràctil sobre un 2-tor. El llaç es pot contraure de manera homotòpica al punt p (el camí constant). En matemàtiques, i en concret en topologia algebraica, el grup fonamental és un grup associat a un determinat espai topològic puntejat que proporciona un mecanisme per determinar en quines condicions es pot deformar contínuament un camí en un altre, on els camins tenen fixats uns punts base d'inici i de final. Aquest grup conté informació sobre la forma bàsica, o forats, de l'espai topològic. El grup fonamental és el primer i més simple grup d'homotopia. El grup fonamental és un invariant topològic: dos espais topològics homeomorfs tenen el mateix grup fonamental.
Els grups fonamentals es poden estudiar emprant la teoria dels espais revestiment, ja que un grup fonamental coincideix amb el grup d'automorfismes del corresponent espai revestiment universal. L'abelianització del grup fonamental es pot identificar amb el primer grup d'homologia de l'espai. Quan l'espai topològic és homeomorf a un complex simplicial, el seu grup fonamental es pot descriure explícitament en termes de generadors i relacions.
Henri Poincaré va definir el grup fonamental l'any 1895 en la seva obra Analysis situs. Aquest concepte va sorgir en la teoria de superfícies de Riemann, en el context de les investigacions realitzades per Bernhard Riemann, Poincaré i Felix Klein. S'hi descriuen les propietats de monodromia de les funcions a valors complexos, així com una completa classificació topològica de superfícies tancades.
Interpretació intuïtiva Comencem amb un espai (per exemple, una superfície), i considerem un punt de l'espai, així com tots els llaços que comencen i acaben a aquest punt. Un llaç és un camí que comença a un punt, realitza un recorregut sobre l'espai, i arriba a aquest mateix punt. Es poden combinar dos llaços d'una manera natural: primer es recorre el primer bucle, i després el segon. Hom diu que dos llaços són equivalents si hom pot deformar l'un en l'altre sense trencar-lo. El conjunt de tots els llaços amb aquestes nocions de combinació i equivalència formen el grup fonamental per a aquest espai en particular.
Definició Sigui X un espai topològic, i sigui x0 un punt de X. Hom està interessat en el següent conjunt de funcions contínues, anomenades llaços amb punt base x0: .
Amb aquestes condicions, el grup fonamental de X amb punt base x0 és aquest conjunt mòdul homotopia h:
equipat amb el producte de grup definit per: .
Així, el llaç f ∗ g segueix en primer lloc el llaç f amb una "velocitat doble", i després segueix g amb velocitat doble. El producte de dues classes d'homotopia de llaços [f] i [g] es defineix llavors com [f ∗ g], i es pot demostrar que aquest producte no depèn de l'elecció dels representants.
Amb el producte anterior, el conjunt de totes les classes d'homotopia de llaços amb punt base x0 configura el grup fonamental de X al punt x0, i es denota o simplement . L'element identitat és l'aplicació constant al punt base, i l'invers d'un llaç f és el llaç f-1 = g definit per g(t) = f(1 − t); és a dir, g recorre f en sentit invers.
Encara que el grup fonamental depèn, en general, de l'elecció del punt base, resulta que, llevat d'isomorfisme (de fet, llevat d'isomorfisme intern), aquesta elecció no és rellevant sempre que l'espai X sigui arc-connex. Per tant, per a espais arc-connexos hom pot escriure π1(X) en comptes de π1(X, x0) sense ambigüitat.
Exemples Grup fonamental trivial En l'espai euclidià Rn, o en qualsevol subconjunt convex de Rn, només hi ha una classe d'homotopia de llaços, i el grup fonamental és, per tant, el grup trivial d'un sol element. Hom diu que un espai arc-connex amb un grup fonamental trivial és un espai simplement connex.
Grup fonamental cíclic infinit La circumferència. Cada classe d'homotopia consisteix en tots els llaços que rodegen la circumferència un nombre determinat de cops (aquest nombre pot ser positiu o negatiu, depenent del sentit). El producte d'un llaç que rodeja m cops amb un altre llaç que rodeja n cops és un llaç que rodeja la circumferència m + n cops. Per tant, el grup fonamental de la circumferència és isomorf a (Z, +), el grup additiu dels enters. Aquest resultat es pot utilitzar per demostrar el teorema del punt fix de Brouwer i el teorema de Borsuk-Ulam en dimensió 2.
Com que el grup fonamental és un invariant homotòpic, la teoria de l'índex per al pla complex menys un punt és la mateixa que per a la circumferència.
Grups lliures de rang major miniatura|El grup fonamental de la figura "8" és el grup lliure generat per a i b. Al contrari que els grups d'homologia i grups d'homotopia superiors associats a un espai topològic, el grup fonamental no té per què ser abelià. Per exemple, el grup fonamental de la figura "8" és el grup lliure en dues lletres. Més en general, el grup fonamental de qualsevol graf és un grup lliure. Si el graf G és connex, llavors el rang del grup lliure és igual al nombre d'arestes que no pertanyen a un arbre d'expansió.
El grup fonamental del pla foradat a n punts és també el grup lliure amb n generadors. El generador i-sim és la classe del llaç que només rodeja el forat i-sim.
Teoria de nusos
Un exemple més sofisticat d'un espai amb un grup fonamental no abelià és el complement del nus trifoli dins R3, que té per grup fonamental el grup de trenes .
Functorialitat Si f : X → Y és una aplicació contínua, x0 ∈ X i y0 ∈ Y amb f(x0) = y0, llavors tot llaç de X amb punt base x0 es pot compondre amb f per produir un llaç Y amb punt base y0. Aquesta operació és compatible amb la relació d'equivalència d'homotopia, així com amb la composició de llaços. L'homomorfisme de grups resultant, anomenat homomorfisme induït, s'escriu com π(f) o, més habitualment, .
Aquesta aplicació entre funcions contínues i homomorfismes de grups és compatible amb la composició d'aplicacions i amb els morfismes identitat. En altres paraules, hom té un functor des de la categoria dels espais topològics amb punt base cap a la categoria dels grups.
Aquest functor no pot distingir aplicacions que siguin homotòpiques en relació al punt base: si f, g : X → Y són aplicacions contínues amb f(x0) = g(x0) = y0, i f i g són homotòpiques en relació amb {x0}, llavors f∗ = g∗. En conseqüència, dos espais arc-connexos homotòpicament equivalents tenen grups fonamentals isomorfs: .
Com a cas particular destacat, si X és arc-connex, llavors dos punts base qualssevol proporcionen grups fonamentals isomorfs, on l'isomorfisme ve donat per l'elecció d'un camí entre els dos punts base.
El grup fonamental porta productes a productes i coproductes a coproductes. És a dir, si X i Y són arc-connexos, llavors
i si, a més, són localment contràctils, llavors .
(En aquesta darrera expressió, denota la suma exterior d'espais topològics, i * el producte lliure de grups.) Totes dues expressions es poden generalitzar per a productes arbitraris. Addicionalment, la darrera expressió és un cas especial del teorema de Seifert-van Kampen.
Fibracions Una generalització del producte d'espais ve donat per una fibració, .
Aquí, l'espai total E és una mena de "producte" de l'espai base B i la fibra F. En general, els grups fonamentals de B, E i F són els termes d'una successió exacta llarga de grups d'homotopia. Quan tots els espais són connexos, això té una implicació pel que fa als grups fonamentals: π1(B) i π1(E) són isomorfs si F és simplement connex πn+1(B) i πn(F) són isomorfs si E és contràctil
Aquest últim resultat s'acostuma a aplicar a la situació en què E = espai de camins de B, F = espai de llaços de B o B = espai de classificació BG d'un grup topològic G, E = G-fibrat universal EG.
Relació amb el primer grup d'homologia Els grups fonamentals d'un espai topològic X estan relacionats amb el seu primer grup d'homologia singular, ja que un llaç és també un 1-cicle singular. Fent una correspondència entre la classe d'homotopia de cada llaç en un punt base x0 amb la classe d'homologia del llaç, hom obté un homomorfisme del grup fonamental π1(X, x0) en el grup d'homologia H1(X). Si X és arc-connex, llavors aquest homomorfisme és exhaustiu i el seu nucli és el subgrup commutador de π1(X, x0) i, per tant, H1(X) és isomorf a l'abelianització de π1(X, x0). Aquest és un cas especial del teorema de Hurewicz de topologia algebraica.
Espai revestiment universal
Si X és un espai topològic arc-connex, localment arc-connex i simplement connex de forma local, llavors admet un espai revestiment universal sobre el qual el grup fonamental π(X,x0) actua lliurement per automorfismes amb espai quocient X. Aquest espai es pot construir de manera anàloga al grup fonamental, prenent parells (x, γ), on x és un punt de X i γ és una classe d'homotopia de camins que van de x0 cap a x, i l'acció de π(X, x0) és per concatenació de camins. L'espai revestiment així definit està unívocament determinat.
Exemples Circumferència El revestiment universal d'una circumferència S¹ és la recta R; hom té S¹ = R/Z. Així, π1(S¹,x) = Z per a qualsevol punt base x.
Tor Prenent el producte cartesià de dues còpies de l'exemple anterior, hom pot veure que el revestiment universal d'un tor bidimensional T² = S¹ × S¹ és el pla R² i tenim T² = R²/Z². Així, π1(T²,x) = Z² per a qualsevol punt base x.
Anàlogament, el grup fonamental del tor n-dimensional Tn és igual a Zn.
Espais projectius reals Si n ≥ 1, l'espai projectiu real n-dimensional Pn(R) s'obté per factorització de l'esfera n-dimensional Sn per la simetria central: Pn(R) = Sn/Z₂. Com que la n-esfera Sn és simplement connexa per a n ≥ 2, concloem que és el revestiment universal de l'espai projectiu real. Així, el grup fonamental de Pn(R) és igual a Z₂ per a qualsevol n ≥ 2.
Grups de Lie El grup fonamental d'un grup de Lie connex és sempre commutatiu. El grup fonamental d'un grup de Lie compacte es pot calcular inductivament (per als grups clàssics) o emprant la potència del sistema d'arrels associat. Amb qualsevol dels dos mètodes, hom pot veure que SU(n) és simplement connex per a tot n, mentre que el grup fonamental de SO(n) és Z si n = 2, i Z₂ per a n > 2.
Sigui G un grup de Lie compacte, connex i simplement connex, per exemple el grup unitari especial SU(n), i sigui Γ un subgrup finit de G. Aleshores l'espai homogeni X = G/Γ té com a grup fonamental Γ, que actua per la multiplicació per la dreta sobre l'espai revestiment universal G. D'entre les diverses variants d'aquesta construcció, una de les més importants ve donada per espais localment simètrics X = Γ\G/K, on: G és un grup de Lie connex, simplement connex i no compacte (sovint semisimple), K és un subgrup de G compacte i maximal, Γ és un subgrup de G lliure de torsió, comptable i discret de G.
En aquest cas, el grup fonamental és Γ i l'espai revestiment universal G/K és, de fet, contràctil (segons la descomposició de Cartan per a grups de Lie).
Per tal d'il·lustrar aquest resultat amb un exemple, considerem G = SL(2, R), K = SO(2) i Γ qualsevol subgrup de congruències lliure de torsió del grup modular SL(2, Z).
Com a conseqüència de la realització explícita, es té que l'espai revestiment universal d'un grup topològic arc-connex H també és un grup topològic arc-connex G. Addicionalment, l'aplicació revestiment és un homomorfisme obert i continu de G sobre H, amb nucli Γ, un subgrup normal de G discret i compacte: .
Com que G és un grup connex amb una acció contínua per conjugació sobre un grup discret Γ, l'acció ha de ser trivial, la qual cosa obliga a què Γ sigui un subgrup del centre de G. En particular, π1(H) = Γ és un grup abelià. Hom diu que el grup G és el grup revestiment universal de H.
Grup de camins per arestes d'un complex simplicial