miniatura|Diagrames de Coxeter-Dynkin per als grups de Coxeter finits fonamentals miniatura|Diagrames de Coxeter-Dynkin per als grups de Coxeter afins fonamentals En geometria, un diagrama de Coxeter-Dynkin (diagrama de Coxeter, o graf de Coxeter), nomenat així pels matemàtics Donald Coxeter i Eugene Dynkin, és un graf amb arestes etiquetades numèricament (anomenades «branques») que representen les relacions espacials entre una col·lecció de miralls (o hiperplans reflectits). Això descriu una construcció calidoscòpica: cada «node» del graf representa un mirall (anomenat faceta) i l'etiqueta enganxada a la branca codifica l'ordre de l'angle díedre entre dos miralls (en una cresta de domini). Una branca no marcada representa implícitament ordre-3.
Cada diagrama representa un grup de Coxeter, i els grups de Coxeter estan classificats pels seus diagrames associats.
Els diagrames de Dynkin estan estretament relacionats, però difereixen dels diagrames de Coxeter en dos aspectes: en primer lloc, les branques etiquetades com a «4» o més grans són dirigides, mentre que els diagrames de Coxeter no són dirigides; en segon lloc, els diagrames Dynkin han de satisfer una restricció (cristal·logràfica) addicional, és a dir, que les úniques branques permeses són les etiquetades com 2, 3, 4 i 6. Els diagrames Dynkin es corresponen i s'utilitzen per classificar els sistemes d'arrels i, per tant, les àlgebres de Lie semisimple.
Descripció Les branques d'un diagrama de Coxeter-Dynkin estan etiquetades amb un nombre racional p, el que representa un angle diedre de 180°/p. Quan p = 2, l'angle és de 90° i els miralls no tenen cap interacció, de manera que la branca pot ser omesa del diagrama. Si una branca no està marcada, se suposa que té p = 3, el que representa un angle de 60°. Dos miralls paral·lels tenen una branca marcada amb «∞». En principi, n miralls poden ser representats per un graf complet en el qual es dibuixen totes les n(n - 1)/2 branques. A la pràctica, gairebé totes les configuracions interessants dels miralls inclouen una sèrie d'angles rectes, de manera que s'ometen les branques corresponents.
Els diagrames poden ser etiquetats per la seva estructura gràfica. Les primeres formes estudiades per Ludwig Schläfli són els ortoesquemes que tenen gràfics lineals que generen polítops regulars i tessel·lacions regulars. Els plagioesquemes són símplex representats pels grafs ramificats, i els cicloesquemes són símplex representats per grafs cicles.
La matriu de Schläfli Cada diagrama de Coxeter té una matriu de Schläfli corresponent amb elements de matriu ai,j = aj,i = -2cos (π / p), on p és l'ordre de la branca entre els parells de miralls. Com és una matriu de cosinus també s'anomena matriu de Gram. Totes les matrius de Schläfli del grup de Coxeter són simètriques perquè els seus vectors d'arrel estan normalitzats. Es relaciona estretament a la matriu de Cartan, que s'utilitza de forma similar, però els grafs dirigits dels diagrames de Dynkin estan limitats en els casos de p= 2, 3, 4 i 6, que en general NO són simètrics.
El determinant de la matriu de Schläfli, anomenat el Schläflià, i el seu signe determina si el grup és finit (positiu), afí (zero), indefinit (negatiu). Aquesta regla es denomina Criteri de Schläfli.Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, , Sec 7.7. page 133, Schläfli's Criterion
Els valors propis de la matriu de Schläfli determina si un grup de Coxeter és de tipus finit (tots positius), afí (tot no negatiu, almenys un és zero), o de tipus indefinit (en cas contrari). El tipus indefinit de vegades se subdivideix, per exemple, en grups de Coxeter hiperbòlics i altres. No obstant això, hi ha múltiples definicions no equivalents per als grups de Coxeter hiperbòlics. Utilitzem la següent definició: Un grup de Coxeter amb el diagrama connectat és hiperbòlic si no és ni de tipus finit ni afí, però cada subdiagrama apropiat connectat és de tipus finit o afí.
Un grup de Coxeter hiperbòlic és compacte si tots els subgrups són finits (és a dir, tenen determinants positius), i paracompacte si tots els seus subgrups són finits o afíns (és a dir, tenen determinants no negatius). Els grups finits i afins també s'anomenen el·líptics i parabòlics, respectivament. Els grups hiperbòlics també s'anomenen Lannér i F. Lannér, qui va enumerar els grups hiperbòlics compactes el 1950,Lannér F., On complexes with transitive groups of automorphisms, Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. [Comm. Sem. Math. Univ. Lund], 11 (1950), 1–71 i Koszul (o quasi-Lannér) per als grups paracompactes.
Grups de Coxeter de rang 2 Pel rang 2, la varietat d'un grup de Coxeter està totalment determinada pel determinant de la matriu Schläfli, ja que és simplement el producte dels valors propis: tipus finit (determinant positiu), tipus afí (determinant igual a zero), tipus hiperbòlic (determinant negatiu). Coxeter utilitza una notació gràfica equivalent, que enumera les seqüències de l'ordre de ramificació com un substitut dels diagrames de grafs amb nodes i branques. També hi ha solucions racionals ([p/q] o ), amb mcd (p, q) = 1, que defineixen la superposició de dominis fonamentals. Per exemple, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4 i 6/5. TipusFinitAfíHiperbòlicGeometria80px80px80px80px...80px80px80pxCoxeter[ ][p][∞][∞][iπ/λ]Ordre24682p∞Les línies de mirall són de color per correspondre als nodes del diagrama de Coxeter.Els dominis fonamentals estan acolorits alternativament. + Diagrames del grup Coxeter de rang 2OrdrepGrupDiagrama de CoxeterMatriu de SchläfliDeterminant(4-a21*a₁₂)Finit (Determinant > 0)2I₂(2) = A1xA143I₂(3) = A₂33/2[3/2]4I₂(4) = B₂24/3[4/3]5I₂(5) = H₂~1.381966011255/4[5/4]5/2[5/2]~3.618033988755/3[5/3]6I₂(6) = G₂16/5[6/5]8I₂(8)~0.5857864376310I₂(10)=
~0.3819660112512I₂(12)~0.26794919243pI₂(p)[p]Afí (Determinant = 0)∞I₂(∞) = = [∞]0Hiperbòlic (Determinant ≤ 0)∞[∞]0∞[iπ/λ]
Visualitzacions geomètriques El diagrama de Coxeter-Dynkin pot ser vist com un graf descriptiu del domini fonamental dels miralls. Un mirall representa un hiperplà en un espai esfèric, euclidià, o en un espai hiperbòlic; (en els espais 2D un mirall és una línia, i en 3D un mirall és un pla).
Aquestes visualitzacions mostren els dominis fonamentals dels grups euclidians 2D i 3D, i dels grups esfèrics 2D. Per a cada diagrama de Coxeter es pot deduir mitjançant la identificació els miralls hiperplans i l'etiquetatge de les seves connectivitats, fent cas omís dels angles diedres de 90° (ordre 2).
720pxGrups de Coxeter en el pla euclidià amb els diagrames equivalents.
Les reflexions estan etiquetades en els nodes del graf, R1, R2, etc., i estan acolorides pel seu ordre reflexió. Les reflexions de 90° estan inactives i, per tant, suprimides del diagrama. Els miralls paral·lels estan connectats per la branca etiquetada amb ∞. El grup prismàtic x es mostra com una duplicació de , però també es pot crear com a domini rectangular de la duplicació dels triangles . és una duplicació del triangle .720pxMolts grups de Coxeter en el pla hiperbòlic es poden estendre a partir dels casos euclidians com una sèrie de solucions hiperbòliques.360pxGrups de Coxeter en espai 3D amb diagrames.
Els miralls (cares triangulars) són etiquetats per 0..3 al vèrtex oposat. Les branques s'acoloreixen pel seu ordre reflexió.
omplert amb un 1/48 de cub. omplert amb 1/24 de cub. omplert amb 1/12 de cub.360pxGrups de Coxeter en l'esfera amb diagrames equivalents.
Un domini fonamental es resumeix en groc. Els vèrtexs del domini (i les branques del graf) s'acoloreixen pel seu ordre reflexió.
Grups de Coxeter finits Vegeu també famílies de polítops per a una taula de polítops uniformes de node final associats amb aquests grups. Es donen tres símbols diferents per als mateixos grups; una lletra / nombre, un conjunt de nombres entre claudàtors, i el diagrama de Coxeter. Els grups Dn bifurcats són la meitat o la versió alternada dels grups regulars Cn. Els grups Dn i En bifurcats també són etiquetats amb una forma superíndexada [3a,b,c], on a, b, c són els números de segments en cadascuna de les tres branques.
+ Grafs de Dynkin connectats fins a (rangs d'1 a 9)RangGrups de Lie simpleGrups de Lie excepcionals 1A1=[ ] 2A₂=B₂=D₂=A1A1 G₂=H₂=I₂[p]3A₃=[3²]B₃=[3,4]D₃=A₃E₃=A₂A1 F₃=B₃H₃ 4A₄=B₄=[3²,4]D₄=[31,1,1]E₄=A₄F₄H₄ 5A₅=B₅=[33,4]D₅=[32,1,1]E₅=D₅ 6A₆=[3⁵]B₆=[34,4]D₆=[33,1,1]E₆=[32,2,1]7A₇=[3⁶]B₇=[3⁵,4]D₇=[34,1,1]E₇=[33,2,1]8A₈=B₈=[3⁶,4]D₈=[35,1,1]E₈=[34,2,1]9A9=B9=[37,4]D9=[36,1,1] 10+........
Aplicació amb polítops uniformes 200pxEn la construcció de polítops uniformes, els nodes es marquen com «actius» amb un anell si un punt generador està fora del mirall, creant una nova vora entre el punt generador i la seva imatge especular. Un node sense anell representa un mirall inactiu que no genera nous punts.200pxDos miralls ortogonals es poden utilitzar per generar un quadrat, , vist aquí amb un punt de generador en vermell i 3 còpies virtuals a través dels miralls. El generador ha de ser de tots dos miralls, en aquest cas ortogonal, per generar a l'interior. Els punts marcats amb anells se suposa que són generadors actius que tenen la mateixa distància de tots els miralls, mentre que un rectangle també es pot representar una solució uniforme. Els diagrames de Coxeter-Dynkin poden enumerar explícitament gairebé totes les classes de polítops uniformes i mosaics uniformes. Cada polítop uniforme amb simetria de reflexió pura (tots, excepte uns pocs casos especials, tenen simetria de reflexió pura) pot ser representat per un diagrama de Coxeter-Dynkin amb permutacions de marques. Cada polítop uniforme pot ser generat utilitzant aquest tipus de miralls i un únic punt generador; les imatges del mirall creen nous punts com reflexos, i llavors els polítops arestes poden ser definits entre els punts i un punt de la imatge del mirall. Les cares poden ser construïdes per cicles d'arestes creades, etc. Per especificar la generació del vèrtex, un o més nodes estan marcats amb els anells, el que significa que el vèrtex no està dins del mirall(s), representat per node(s) amb anell(s); si dos o més miralls estan marcats, el vèrtex és equidistant a ells. Un mirall és actiu (crea reflexions) només pel que fa als punts, no en ell. Un diagrama necessita almenys un node actiu per representar un polítop.
Tots els polítops regulars, representats pel símbol de Schläfli {p, q, r, ...}, poden tenir els seus dominis fonamentals representats per un conjunt de n miralls relacionats amb un diagrama de Coxeter-Dynkin d'una línia de nodes i branques etiquetades per p, q, r, ..., amb el primer node anellat.
Els polítops uniformes amb un anell corresponen al generador de punts en els cantons del domini fonamental símplex. Dos anells corresponen a les arestes del símplex i tenen un grau de llibertat, amb només el punt mitjà com la solució uniforme per a la mateixa longitud de l'aresta. En general, el generador de punts de k-anells estan en (k-1)-cares del símplex, i si tots el nodes estan anellats, el punt generador està a l'interior del símplex.
Un marcat secundari transmet un cas especial de polítops uniformes amb simetria no-reflectiva. Aquests casos existeixen com a alternatives de polítops de simetria de reflexió. Aquest marcat elimina el punt central d'un node anellat, anomenat «forat» (cercles amb nodes esborrats), que dona a entendre que els nodes alternatius han sigut eliminats. El polítop resultant tindrà una subsimetria del grup de Coxeter original. Una truncació alternada s'anomena «xato». Un únic node representa un sol mirall; això s'anomena grup A1. Si el node amb anell crea un segment lineal perpendicular al mirall, es representa com {}. Dos nodes no units representen dos miralls perpendiculars. Si tots dos nodes tenen un anell es pot crear un rectangle, o un quadrat si el punt està a la mateixa distància de tots dos miralls.