miniatura|Circumferència d'Apol·loni
La circumferència d'Apol·loni és el lloc geomètric dels punts la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant. A la figura, per a tots els punts del cercle, la raó és constant i la circumferència és el cercle d'Apol·loni dels punts i i la raó .
miniatura|El lloc geomètric és una circumferència
Que el lloc geomètric dels punts, la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant, és una circumferència es pot demostrar fàcilment: Siguin i els dos punts, i dos punts sobre la recta que fan i un punt fora de la recta que també fa . Ara considerem els segments i i els segments i que els són respectivament paral·lels. Segons el teorema de Tales,
cosa que, amb les hipòtesis inicials, implica
i, per tant, i els triangles i són isòsceles. En conseqüència,
però
i
tot obtenint que
i
En conseqüència, els segments i són perpendiculars i per tant, el punt és sobre el cercle de diàmetre , que és el cercle d'Apol·loni del cas.
Bibliografia
. .
Categoria:Cercles