A l'estudi de molts experiments aleatoris molt sovint no ens interessa el resultat que s'obté sinó alguna quantitat numèrica relacionada amb ell. Per exemple, quan algú aposta en un joc d'atzar no l'interessa tant conèixer el resultat com el benefici (o la pèrdua) obtingut. Informalment, es defineix variable aleatòria com una funció que assigna un valor numèric real a cadascun dels resultats possibles d'un experiment aleatori.
Definició Designem per el conjunt de resultats possibles d'un experiment aleatori. Una variable aleatòria és una aplicació . Vegeu la definició formal a la secció Definició formal de variable aleatòria. Quant a la notació, la variable aleatòria se sol indicar per (en majúscules) i el valor observat d'aquesta variable aleatòria per (és a dir, en minúscules).
Es diu "aleatòria" perquè el seu domini és constituït pels resultats d'un experiment influït per l'atzar i se'n diu "variable" perquè pren valors numèrics que varien (d'acord amb la probabilitat). Cal dir, però, que la paraula variable és una mica confusa, ja que, com hem comentat, una variable aleatòria és una funció o aplicació, i no es correspon al que en altres parts de la matemàtica s'anomena la variable d'una funció.
Exemple. Considerem lexperiència aleatòria del llançament de dos daus. El conjunt de resultats possibles d'aquesta experiència és: on el parell vol dir que al primer dau (dau1) hem obtingut el resultat i al segon dau (dau2) hem obtingut el resultat . En general els elements de es designen per .
Podem considerar la variable aleatòria que a cada resultat de l'experiència li assigna la suma dels punts dels dos daus, és a dir:
D'aquesta manera tenim una aplicació . Per exemple, el resultat (és a dir, dau1=1 i dau2=3) tindrà assignat el valor real 4: .-
Els valors possibles de la variable aleatòria serien: .
S'escriu per indicar l'esdeveniment format pels resultats que fan que . Per exemple,
Tipus de variables aleatòries Estudiarem tres tipus de variables aleatòries: discretes, contínues (de fet, absolutament contínues) i mixtes.
Variables aleatòries discretes Una variable aleatòria s'anomena discreta si pot prendre un nombre finit o infinit numerable de valors.
Exemples La variable aleatòria que hem vist anteriorment del llançament de dos daus: suma dels punts dels dos daus, i que pot prendre un nombre finit de valors: 2,3, ...,12. Una variable aleatòria amb distribució binomial, de paràmetres i , que pot prendre els valors . Per les seves aplicacions, és una de les distribucions discretes més importants. Una variable aleatòria amb distribució de Poisson que pot prendre qualsevol nombre natural: ; per tant, pot prendre un nombre infinit numerable de valors. Moltes variables aleatòries discretes importants prenen valors enters.
Funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta Considerem una variable aleatòria discreta i sigui , amb , el conjunt finit o infinit numerable de valors possibles que pot prendre. S'anomena funció de probabilitat (o funció de massa de probabilitat) de a la funció definida per miniatura|Funció de probabilitat de la variable aleatòria "suma dels valors del llançament de dos daus"Exemple. En el cas dels dos daus tenim, per exemple, que perquè l'esdeveniment té com a únic cas favorable (1,1) (és a dir, {dau1=1 i dau2=1}). Anàlogament, es calculen els altres valors de la funció de probabilitat:
Continuant amb l'exemple anterior, la probabilitat d'obtenir una suma dels dos daus menor o igual a 7 serà:
Observació. Alguns autors defineixen la funció de probabilitat sobre tot el conjunt dels nombres reals: ,
Cal notar que a menys que per algun valor . A tots els efectes, ambdues definicions són equivalents.
Funció de distribució d'una variable discreta
Donada una variable aleatòria general la seva funció de distribució és la funció definida per Aquesta funció permet unificar l'estudi de diverses propietats de les variables aleatòries (vegeu la secció Definició formal de variable aleatòria). En particular, per a una variable discreta , amb les notacions anteriors, la seva funció de distribució vindrà donada per
Exemple. Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb i una creu amb . Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares , una cara seguida d'una creu , una creu seguida d'una cara i dues creus . Així,Sigui la variable aleatòria que compta el nombre de cares obtingudes en el llançament. És a dir, és la funciódonada per
El conjunt possibles valors de és . O sigui, és una variable discreta, ja que només pot prendre els valors 0, 1 i 2. alt=Exemple de la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta|miniatura|Figura 1. Funció de probabilitat La funció de probabilitat és . Vegeu la Figura 1.
La funció de distribució ve donada per . alt=Exemple de la funció de distribució d'una variable discreta|miniatura|Figura 2. Funció de distribució. Vegeu la Figura 2.
Variables aleatòries contínues Entre les variables aleatòries que poden prendre un nombre de valors no numerable, per exemple, una variable que pugui prendre qualsevol nombre real, tenen especial importància les variables aleatòries que tenen funció de densitat, les quals també s'anomenen variables aleatòries asolutament contínues, o senzillament variables contínues.
Una variable aleatòria es diu que té densitat o que és absolutament contínua o que és contínua si existeix una funció que compleix
1. 2. és integrable i és a dir, l'àrea total entre la gràfica de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1. Vegeu la Figura 3.alt=L'àrea sota la corba de la funció de densitat és 1|miniatura|Figura 3. L'àrea entre la corba de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1. 3. Per a , alt=Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat|miniatura|Figura 4. Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat Així, la probabilitat que la variable prengui un valor de l'interval és l'àrea de la zona limitada pel gràfic de la funció, l'eix de les i l les rectes i .Vegeu la Figura 4.
La funció s'anomena funció de densitat de . La funció de distribució ési és contínua (de fet és absolutament contínua). Noteu que per a qualsevol valor
Moltes de les variables d'estudis estadístics reals poden ser formalitzades amb el model d'una variable aleatòria contínua:
La mesura del temps d'avanç o retard amb què un tren arriba a la seva destinació. El pes dels nadons en una població. Les alçades de la població adulta. La fracció de massa que s'ha desintegrat per unitat de temps en una substància radioactiva.
Exemples 1. El pes d'una persona és una variable contínua, assumint que podem mesurar el pes amb infinita precisió. Per exemple, podríem caracteritzar el pes amb una distribució normal amb mitjana 70 i desviació estàndard 10. 2. Distribució uniforme en un interval . La funció de densitat ve definida per:
i la funció de distribució és
3. Com a exemple de l'anterior podem considerar el següent: Per una parada d'autobusos en passa, amb absoluta regularitat, un cada 10 minuts, Si representa el temps que ha d'esperar una persona que arriba aleatòriament a la parada, aleshores té una distribució uniforme a l'interval . La funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria que es mostra al gràfic de la Figura 5.miniatura|Figura 5. Funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria "temps espera parada autobusos" El valor de f(x) per a l'interval de temps s'ha fixat de manera que l'àrea sota la funció sigui 1. Si una persona arriba a la parada aleatòriament, quina és la probabilitat que hagi d'esperar-se 7 minuts o més? La resposta s'obté calculant l'àrea del rectangle ombrejat. El valor de serà, doncs, . Observació. Les funcions de densitat no són úniques, i es poden modificar sobre un conjunt finit o infinit numerable de punts (de fet, sobre un conjunt de mesura de Lebesgue zero). Per exemple, retornant a l'exemple 2, la funció també és una funció de densitat de la distribució uniforme en l'interval .
Variables aleatòries mixtes alt=Mecanisme aleatori que genera una variable aleatòria mixta|miniatura|Figura 6. Mecanisme aleatori que genera una variable aleatòria mixta Hi ha variables aleatòries que són una combinació dels dos tipus anteriors. Per exemple, considerem un mecanisme aleatori com el de la Figura 6: si l'agulla va a parar a la zona de l'esquerra (àrea grisa) aleshores s'obté un 0; si va a parar a la zona de la dreta, aleshores s'obté un nombre decimal entre 0 i 1 amb distribució uniforme. Anomenen el resultat, que és una variable aleatòria que pot prendre un nombre no numerable de valors i, per tant, no és discreta, però d'altra banda , i tampoc és contínua. La funció de distribució val:alt=Funció de distribució d'una variable de tipus mixt|miniatura|Figura 7. Funció de distribució d'una variable de tipus mixt Vegeu la Figura 7. Una variable aleatòria d'aquest tipus es diu que és mixta.
Paràmetres de les variables aleatòries Estudiarem dos paràmetres per mesurar numèricament "el centre" i "la dispersió" d'una variable aleatòria. Vegeu esperança matemàtica i variància
Variable aleatòria discreta Mitjana La mitjana o esperança matemàtica d'una variable aleatòria discreta es defineix en termes de la funció de probabilitat:
sempre que .
En l'exemple dels dos daus val:
La mitjana d'una variable aleatòria rep també el nom de valor esperat (o esperança) i es representa
Variància En teoria de la probabilitat i estadística, Variància és un paràmetre estadístic que mesura la dispersió d'una variable aleatòria respecte la seva mitjana o esperança .
sempre que
En el cas discret es calcula per la fórmula
La variància és el quadrat d'un altre paràmetre de dispersió, la desviació tipus , és a dir: .
La variància és representa mitjançant , , o simplement .
La variància té un paper central en: estadística descriptiva, inferència estadística, test d'hipòtesi, mètode Monte Carlo,...
És també molt important en les ciències que utilitzen sovint l'anàlisi estadística de les dades.
Variable aleatòria contínua Mitjana La mitjana o valor esperat d'una variable aleatòria contínua es defineix en termes de la funció de densitat de probabilitat:
sempre que .
Variància La variància es defineix per la fórmula:
sempre que .
Funcions de variables aleatòries A l'aplicar una funció a una variable aleatòria s'obté una altra variable aleatòria. Més concretament, si tenim una variable aleatòria i una funció , aleshores també és una variable aleatòria (vegeu a la darrera secció les condicions formals). La funció de distribució de és
Funcions de variables aleatòries amb densitat Càlcul de la funció de densitat per derivació de la funció de distribució
Si coneixem la funció de densitat d'una variable aleatòria, aleshores funció de distribució val Si és contínua, llavors pel teorema fonamental del càlcul, la funció es pot derivar en tots els punts i En moltes situacions es pot calcular la funció de distribució d'una variable aleatòria, i si és contínua i derivable en quasi tots els punts, ens preguntem si la seva derivada és la funció de densitat. Això en general no es veritat; per exemple, la funció de distribució de la distribució de Cantor compleix que en quasi tots els punts i, per tant, tindríem que la funció de densitat seria zero quasi en tots els punts, la qual cosa és absurda. Una propietat molt útil dona condicions sota les quals la funció de densitat es pot obtenir derivant la funció de distribució.
Exemple 1. Sigui una variable aleatòria uniforme en l'interval , , amb funció de densitat Definim Volem calcular la funció de densitat de . Començarem calculant la seva funció de distribució, que designarem per . 1) Si , aleshores
2) Si , de manera semblant es comprova que
3) Finalment, per a , En resum,
miniatura|Figura 8. La funció de distribució de la variable aleatòria no és diferenciable en els punts 0 i 1