miniatura|Si dividim el cercle en sectors (blaus i grocs), podem reorganitzar-los formant una figura que aproximadament és un rectangle (com més sectors, més semblant a un rectangle). Aquest rectangle té com a base la meitat de la longitud de la circumferència i com a altura el radi, la superfície és doncs En Geometria, làrea del cercle de radi és . La lletra grega (pi) representa una constant, aproximadament igual a 3.14159, que és igual al quocient entre la longitud de qualsevol circumferència i el seu diàmetre.
Un mètode per obtenir aquesta fórmula, original d'Arquimedes, consisteix en veure el cercle com a límit d'una seqüència de polígons regulars. L'àrea d'un polígon regular és igual a la meitat del seu perímetre multiplicat per l'apotema. En el límit aquesta àrea tendeix cap a l'àrea del cercle, és a dir Àrea= .
Història Les matemàtiques modernes poden obtenir l'àrea d'un cercle fent servir el càlcul integral o els mètodes més sofisticats de l'anàlisi real. Tanmateix, l'àrea del cercle va ser estudiada pels Grecs Antics. Arquimedes va usar les eines de la Geometria Euclidiana per demostrar en el seu llibre La mesura del cercle que l'àrea del cercle és igual a la d'un triangle rectangle que té com a base la longitud de la circumferència i com a altura el radi del cercle. La longitud de la circumferència és , i l'àrea del triangle és la meitat de la base multiplicada per l'alçada, obtenint-se la fórmula per l'àrea del cercle. Abans que Arquimedes Hipòcrates de Quios i Eudoxus de Cnidus van estudiar aquest problema.
Arguments històrics S'han donat diversos arguments al llarg de la història per establir la fórmula de l'àrea del cercle: amb diversos graus de rigor matemàtic. El més famós d'aquests arguments va ser el mètode d'exhaustió d'Arquimedes, un dels primers que va utilitzar el concepte matemàtic de límit, a més de l'origen de l'Axioma d'Arquimedes que continua essent part del tractament analític estàndard pel conjunt dels nombres reals. La demostració original d'Arquimedes no és prou rigorosa per als criteris moderns perquè assumeix que pot comparar la longitud d'un arc de circumferència amb la longitud d'una secant i una tangent com a geomètricament evidents.
Usant polígons L'àrea d'un polígon regular és igual a la meitat del perímetre per l'apotema. A mesura que el nombre de costats d'un polígon regular augmenta, el polígon tendeix a un cercle i l'apotema del polígon tedeix al radi del cercle. Això ens fa pensar que l'àrea d'un cercle és la meitat de la longitud de la seva circumferència multiplicada pel seu radi.Hill, George. Lessons in Geometry: For the Use of Beginners, page 124 (1894).
Demostració d'Arquimedes Seguint la demostració d'Arquimedes compararem l'àrea d'un cercle amb la d'un triangle rectangle que té com a base la longitud de la circumferència del cercle i com a altura el radi del cercle . Si l'àrea del cercle no és igual a la del triangle, haurà de ser o més gran o més petita. Eliminarem aquestes dues suposicions i veurem que l'única possibilitat és la igualtat entre les dues àrees . Utilitzarem polígons regulars per fer la demostració.
No més gran miniatura|Cercle amb un quadrat i un octògon inscrits, mostrant en color groc la diferència entre les àrees del octògon i el cercle. Demostrarem, per reducció a l'absurd, que l'àrea del cercle no pot ser més gran que l'àrea del triangle.
Suposem que l'àrea de la cercle és més gran que l'àrea del triangle que té per base (longitud circumferència del cercle ) i altura (el radi del cercle). Veurem que amb aquesta suposició arribem a una contradicció. Com hem suposat que , considerem la diferència entre les dues àrees i .
Inscrivim un quadrat en un cercle. Els quatre vèrtexs del quadrat estan sobre la circumferència. Entre el quadrat i el cercle queden determinats quatre segments. Si l'àrea total d'aquests quatre segments ,, és més gran que , dividim cada arc entre dos. Obtenim així un octògon inscrit, que determina vuit segments amb una àrea total . Continuem dividint ( vegades) fins que l'àrea total dels segments , sigui menor que . Aleshores l'àrea del polígon inscrit, , serà més gran que la del triangle.
Però aquesta desigualtat és una contradicció com mostrem a continuació. Dibuixem una perpendicular des del centre del cercle fins al punt mitjà del costat del polígon inscrit. La seva longitud, , és menor que el radi del cercle. Sigui la longitud del costat del polígon; aleshores la suma dels costats , és menor que la longitud de la circumferència del cercle . L'àrea del polígon serà la suma dels triangles iguals d'altura i base , que serà igual a . Però com i , l'àrea del polígon ha de ser menor que l'àrea del triangle, , que és una contradicció amb el que havíem suposat. Per tant, la nostra suposició que és més gran que és errònia.
No més petita Demostrarem, per reducció a l'absurd, que l'àrea del cercle no pot ser més petita que l'àrea del triangle.miniatura|Cercle amb un quadrat i un octògon circumscrits, mostrant en color groc la diferència entre les àrees del octògon i el cercle. Suposem que l'àrea del cercle és més petita que l'àrea del triangle T. Sigui la diferència entre les dues àrees: . Circumscribim un quadrat al cercle. El punt mig de cada costat del quadrat és tangent al cercle. Si l'àrea total de l'espai que queda entre el quadrat i el cercle, G₄, és més gran que D, retallem les cantonades del quadrat per segments tangents al cercle fins a obtenir un octògon circumscrit al cercle, i continuem retallant, fins que la diferència entre l'àrea del polígon circumscrit i el cercle sigui menor que . Aleshores, l'àrea del polígon, Pn, serà més petita que T.
Aquesta desigualtat ens portarà a una contradicció.
Per calcular l'àrea del polígon circumscrit Pn, tracem una perpendicular pel punt mig de cada costat del polígon i aleshores obtenim un radi del cercle de longitud r. L'àrea del polígon és igual a la suma de les àrees de triangles iguals d'altura i base el costat del polígon . Per tant, que serà igual a .
Com que la suma de les longituds dels costats del polígon circumscrit és més gran que la longitud de la circumferència , podem establir que =T i per tant l'àrea del polígon Pn, que és la suma de les àrees del n trinagles, seria més gran que T. Això ens porta una altra vegada a una contradicció, per tant la nostra suposició que és menor que T és també errònia.
Per tant, l'àrea del cercle és la mateixa que l'àrea del triangle T. Això conclou la demostració.
Demostració per reorganització miniatura|Cercle amb hexàgon regular inscrit alt=Paral·lelogram format amb sis triangles |miniatura|Paral·lelogram format amb 6 triangles
Seguint Sateō Moshun i Leonardo da Vinci , podem utilitzar polígons regulars inscrits en un cercle per calcular l'àrea del cercle. Suposem que hi inscrivim un hexàgon i que dividim l'hexàgon en sis triangles des del centre del cercle. Dos triangles oposats tenen dos diàmetres en comú. Ara formen un paral·lelogram, amb els sis triangles, tres d'ells amb el vèrtex cap amunt i tres cap avall. El paral·lelogram tindrà com a base 3 (essent el costat del polígon) i una alçada . Es podria fer el mateix si augmentem a vuit el nombre de costats del polígon i així successivament. Per un polígon amb 2n costats, el paral·lelogram tindrà una base de longitud i una alçada . A mesura que augmenta el nombre de costats del polígon, la longitud de la base del paral·lelogram s'apropa a la longitud de la semicircumferència del cercle i la seva alçada s'apropa al radi de cercle. En el límit, el paral·lelogram esdevé un rectangle amb amplada πr i alçada r i, per tant, d'àrea .
{| style="text-align:center" frame="vsides" cellspacing=0 cellpadding=3 |+ Àrea del cercle de radi 1 per reorganització dels triangles que conformen un polígon de n costats. ! colspan=2 | Polígon | rowspan="11" style="padding:1px;"| ! colspan=4 | Paral·lelogram |- style="background-color:#dddddd" ! n ! Costat ! Base ! Alçada ! Àrea |- | align=right | 4 | 1.4142136 | 2.8284271 | 0.7071068 | 2.0000000 |- | align=right | 6 | 1.0000000 | 3.0000000 | 0.8660254 | 2.5980762 |- | align=right | 8 | 0.7653669 | 3.0614675 | 0.9238795 | 2.8284271 |- | align=right | 10 | 0.6180340 | 3.0901699 | 0.9510565 | 2.9389263 |- | align=right | 12 | 0.5176381 | 3.1058285 | 0.9659258 | 3.0000000 |- | align=right | 14 | 0.4450419 | 3.1152931 | 0.9749279 | 3.0371862 |- | align=right | 16 | 0.3901806 | 3.1214452 | 0.9807853 | 3.0614675 |- | align=right | 96 | 0.0654382 | 3.1410320 | 0.9994646 | 3.1393502 |- | ∞ | 1/∞ | π | 1 | π
Proves modernes Hi ha diverses definicions equivalents de la constant π. La definició convencional en geometria abans de l'aparició del càlcul infinitesimal és la raó entre la circumferència d'un cercle i el seu diàmetre:
Tanmateix, com la circumferència d'un cercle no és un concepte analític primitiu, aquesta definició no és apropiada en els enfocaments moderns rigorosos. Una definició estàndard moderna és que és igual al més petit dels zeros positius de la funció cosinus, equivalentment, la meitat del període de la funció sinus (o cosinus). La funció cosinus pot ser definida com una sèrie de potències, o com a solució d'una determinada equació diferencial. Això evita cap referència als cercles en la definició de , per tant que les referències de entre la circumferència i l'àrea dels cercle són actualment teoremes, més que definicions, com es mostra a continuació de les definicions analítiques de conceptes com ara "àrea" i "circumferència".
Les definicions analítiques són considerades equivalents, s'accepta la definició que afirma que la circumferència d'un cercle és mesurada com una corba rectificable en termes de la integral :
La integral que apareix a la dreta és una integral abeliana, el valor de la qual és mig període de la funció sinus, igual a . Per tant, la igualtat és considerada certa com a teorema,
Alguns dels arguments que segueixen fan servir només conceptes de càlcul elemental per arribar a la fórmula , però en molts casos veure-les com a demostracions actuals, depenen implícitament del fet que es poden desenvolupar les funcions trigonomètriques i la constant fonamental de forma totalment independent de la geometria. Hem mostrat com són d'apropiades cadascuna d'aquestes proves totalment independents de la trigonometria, però en alguns casos requereixen idees matemàtiques més sofisticades que les permeses pel càlcul elemental.
Demostració de la ceba miniatura|Àrea del disc a través de la integració de l'anell Fent servir el càlcul, podem obtenir l'àrea del cercle de forma incremental, dividint-lo en anells concèntrics com les capes d'una ceba. Aquest és el mètode de la integració de la closca en dimensió 2. Per a un anell infinitesimalment prim de la ceba de radi t, l'àrea acumulada és 2t dt, podem aproximar aquest anell com un rectangle d'amplada=2t i alçada=dt. Això dona una integral elemental pel cercle de radi r.
Es pot justificar rigorosament per la regla de substitució multivariant en coordenades polars. Específicament, l'àrea ve donada per la integral doble de la funció constant 1 sobre el disc D. Si D denota el disc, aleshores la integral doble es pot calcular en coordenades polars de la manera següent :
que és el mateix resultat que hem obtingut abans.
Una demostració rigorosa equivalent, sense dependre de coordenades trigonomètriques especials, fa servir la fórmula de coàrea. Definim la funció per. Notem que ρ és la funció Lipschitz el gradient de la qual és un vector unitari (quasi a tot arreu). Sigui D el disc a . Mostrarem que , on és la mesura de Lebesgue bidimensional a . Hem de tenir en compte que la mesura Hausdorff unidimensional del cercle és , la circumferència del cercle de radi . (Això es pot considerar com la definició de circumferència). Aleshores, per la fórmula de coàrea:
Prova del triangle miniatura|Cercle desplegat per formar un triangle