A-mòdul

Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la qual el cos d'escalars és substituït per un anell.Hungerford (1974) Algebra, Springer, p 169: "Modules over a ring are a generalization of abelian groups (which are modules over Z)."

Introducció i definició Motivació En un espai vectorial, el conjunt d'escalars és un camp i actua sobre els vectors per multiplicació escalar, subjecte a certs axiomes com la llei distributiva. En un mòdul, els escalars només necessiten ser un anell, de manera que el concepte de mòdul representa una generalització significativa. En àlgebra commutativa, tant els ideals com els anells quocients són mòduls, de manera que molts arguments sobre ideals o anells quocients es poden combinar en un sol argument sobre mòduls. En àlgebra no commutativa, la distinció entre ideals esquerres, ideals i mòduls esdevé més pronunciada, tot i que algunes condicions de la teoria d'anells es poden expressar sobre ideals esquerres o mòduls esquerres.

Gran part de la teoria de mòduls consisteix a estendre tantes propietats desitjables dels espais vectorials com sigui possible al regne dels mòduls sobre un anell ben comportat com ara un anell principal. Tanmateix, els mòduls poden ser força més complicats que els espais vectorials; per exemple, no tots els mòduls tenen una base, i, fins i tot per a aquells que en tenen (mòduls lliures), el nombre d'elements d'una base no ha de ser el mateix per a totes les bases (és a dir, que poden no tenir un rang únic) si l'anell subjacent no satisfà la condició de nombre de base invariant, a diferència dels espais vectorials, que sempre tenen una base (possiblement infinita) la cardinalitat de la qual és llavors única. (Aquestes dues últimes afirmacions requereixen l'axioma d'elecció en general, però no en el cas d'espais vectorials de dimensió finita, o certs espais vectorials de dimensió infinita ben comportats com ara els espais L p.)

Definició formal Suposem que R és un anell i 1 és la seva identitat multiplicativa. Un mòdul 'R' per l'esquerra M consisteix en un grup abelià i una operació tal que per a tot r, s a R i x, y a M, tenim

,

,

,

L'operació · s'anomena multiplicació escalar. Sovint s'omet el símbol ·, però en aquest article l'utilitzem i reservem la juxtaposició per a la multiplicació a R. Es pot escriure R M per emfatitzar que M és un R -mòdul esquerre. Un R -mòdul dret MR es defineix de manera similar en termes d'una operació

El qualificatiu de mòdul esquerre o dret no depèn de si els escalars s'escriuen a l'esquerra o a la dreta, sinó de la propietat 3: si, en la definició anterior, la propietat 3 se substitueix per

s'obté un mòdul dret, fins i tot si els escalars s'escriuen a l'esquerra. Tanmateix, escriure els escalars a l'esquerra per als mòduls esquerres i a la dreta per als mòduls drets fa que la manipulació de la propietat 3 sigui molt més fàcil.

Els autors que no requereixen que els anells siguin unitals ometen la condició 4 de la definició anterior; anomenarien les estructures definides anteriorment mòduls 'R' unitals esquerres. En aquest article, d'acord amb el glossari de teoria d'anells, se suposa que tots els anells i mòduls són unitals.

Un (R, S) -bimòdul és un grup abelià juntament amb una multiplicació escalar per l'esquerra · per elements de R i una multiplicació escalar per la dreta ∗ per elements de S, cosa que el converteix simultàniament en un R -mòdul per l'esquerra i un S -mòdul per la dreta, satisfent la condició addicional per a tot r a R, x a M i s a S.

Si R és commutativa, aleshores els R -mòduls esquerres són iguals que els R -mòduls drets i s'anomenen simplement R -mòduls. En aquest cas, els escalars s'escriuen sovint a l'esquerra.

Exemples Si K és un camp, llavors els mòduls K es denominen espais de vector K (espais de vector sobre K). Si K és un camp, i K[x] un anell polinòmic univariant, llavors un mòdul M de K[x] és un mòdul K amb una acció addicional de x sobre M per un homomorfisme de grup que commuta amb l'acció de K sobre M. En altres paraules, un mòdul K[x] és un espai M de vector K combinat amb un mapa lineal de M a M. Aplicant el teorema d'estructura per a mòduls generats finitament sobre un domini ideal principal a aquest exemple mostra l'existència de les formes canòniques racional i de Jordan. El concepte d'un mòdul Z concorda amb la noció d'un grup abelià. És a dir, cada grup abelià és un mòdul sobre l'anell de sencers Z d'una manera única. Per a , suposem que (n summands), , i . Com a mòdul no necessita tenir una base - els grups que contenen elements de torsió. (Per exemple, en el grup de sencers mòdul 3, no es pot trobar ni tan sols un element que satisfaci la definició d'un conjunt linealment independent, ja que quan un enter com 3 o 6 multiplica un element, el resultat és 0. No obstant això, si un camp finit es considera com un mòdul sobre el mateix camp finit pres com un anell, és un espai vectorial i té una base) Les fraccions decimals (incloent les negatives) formen un mòdul sobre els enters. Només els singletons són conjunts linealment independents, però no hi ha singletó que pugui servir com a base, per la qual cosa el mòdul no té base ni rang, en el sentit habitual de l'àlgebra lineal. No obstant això aquest mòdul té un rang lliure de torsió igual a 1. Si R és qualsevol anell i n un nombre natural, llavors el producte cartesià Rn és tant un mòdul R esquerre i dret sobre R si usem les operacions per components. Per tant, quan n = 1, R és un mòdul R, on la multiplicació escalar és només multiplicació d'anell. El cas n = 0 produeix el mòdul R trivial {0} que consisteix només en el seu element d'identitat. Els mòduls d'aquest tipus es denominen lliures i si R té número de base invariant (p. ex. qualsevol anell commutatiu o camp) el número n és llavors el rang del mòdul lliure. Si Mn(R) és l'anell dn × n matrius sobre un anell R, M és un mòdul M n(R), i e i és la matriu n x n amb 1 en l'entrada (i, i) (i zeros en una altra part), llavors eiM és un mòdul R, ja que reim = e irm ∈ e iM. Així, M es trenca com la suma directa dels mòduls R, M = e1M ⊕ ... ⊕ e1M. Al revés, donat un mòdul R M0, llavors M0⊕n és un mòdul M n(R). De fet, la categoria de mòduls R i la categoria de mòduls Mn(R) són equivalents. El cas especial és que el mòdul M és només R com un mòdul sobre si mateix, llavors R n és un mòdul Mn(R). Si S és un conjunt no buit, M és un mòdul R esquerre, i MS és la col·lecció de totes les funcions , llavors amb suma i multiplicació escalar en MS definida en sentit de punts per i , MS és un mòdul R esquerre. El cas correcte del mòdul R és anàleg. En particular, si R és commutativa llavors la col·lecció d'homomorfismes de mòdul R (vegeu a continuació) és un mòdul R (i de fet un submòdul de NM). Si X és un col·lector suau, llavors les funcions suaus de X als nombres reals formen un anell C∞(X). El conjunt de tots els camps vectorials suaus definits en X forma un mòdul sobre C~(X), i també ho fan els camps tensorial i les formes diferencials en X. De manera més general, les seccions de qualsevol feix de vectors formen un mòdul projectiu sobre C∞(X), i segons el teorema de Swan, cada mòdul projectiu és isomòrfic per al mòdul de seccions d'algun feix de vectors; la categoria de mòduls C∞(X) i la categoria de feixos de vectors sobre X són equivalents. Si R és qualsevol anell I és qualsevol ideal esquerre en R, llavors I és un mòdul R esquerre, i anàlogament els ideals drets en R són mòduls R drets. Si R és un anell, podem definir l'anell oposat Rop, que té el mateix conjunt subjacent i la mateixa operació d'addició, però la multiplicació oposada: si , llavors en Rop. Qualsevol mòdul R esquerra M es pot veure com un mòdul dret sobre Rop, i qualsevol mòdul dret sobre R pot considerar-se un mòdul esquerre sobre Rop. Els mòduls sobre àlgebra Lie són (àlgebra associativa) mòduls sobre la seva àlgebra d'embolcall universal. Si R i S són anells amb un homomorfisme d'anell , llavors cada mòdul S M és un mòdul R definint . En particular, el propi S és un mòdul R d'aquest tipus.

Submòduls i homomorfismes Suposem que M és un mòdul esquerre R i N és un subgrup de M. Aleshores N és un submòdul (o més explícitament un submòdul R) si per a qualsevol n de N i qualsevol r de R, el producte (o per a un mòdul dret R) és de N.

Si X és qualsevol subconjunt d'un mòdul R M, aleshores el submòdul generat per X es defineix com a on N recorre els submòduls de M que contenen X, o explícitament , que és important en la definició dels productes tensorials de mòduls.

El conjunt de submòduls d'un mòdul M donat, juntament amb les dues operacions binàries + (el mòdul generat per la unió dels arguments) i ∩, forma una xarxa que satisfà la llei modular: Donats els submòduls U, N1, N2 de M tals que aleshores els dos submòduls següents són iguals: .

Si M i N són mòduls R per l'esquerra, aleshores una aplicació és un homomorfisme de mòduls R si per a qualsevol m, n a M i r, s a R,

.

Això, com qualsevol homomorfisme d'objectes matemàtics, és només una aplicació que preserva l'estructura dels objectes. Un altre nom per a un homomorfisme de mòduls R és una aplicació lineal R.

Un homomorfisme de mòdul bijectiu s'anomena isomorfisme de mòdul, i els dos mòduls M i N s'anomenen isomorfs. Dos mòduls isomorfs són idèntics a tots els efectes pràctics, i només difereixen en la notació dels seus elements.

El nucli d'un homomorfisme de mòduls és el submòdul de M que consisteix en tots els elements que són enviats a zero per f, i la imatge de f és el submòdul de N que consisteix en els valors f (m) per a tots els elements m de M. Els teoremes d'isomorfisme familiars dels grups i els espais vectorials també són vàlids per a mòduls R.

Donat un anell R, el conjunt de tots els mòduls R per l'esquerra juntament amb els seus homomorfismes de mòduls forma una categoria abeliana, denotada per R - Mod.

A-mòduls per l'esquerra Sigui un anell i un grup abelià. El grup té estructura de -mòdul per l'esquerra'' si l'anell opera linealment per l'esquerra sobre els elements de , és a dir, si hi ha una operació externa de sobre :

amb les condicions de linealitat

per a i . Si, a més, l'anell té unitat, es demana que

A-mòduls per la dreta Si l'operació externa és per la dreta,

amb les corresponents condicions de linealitat:

aleshores es tracta d'un -mòdul per la dreta.

A-mòduls bilàters Si l'anell és commutatiu, aleshores és possible la identificació , perquè les condicions i ja no són contradictòries. Aleshores té estructura de -mòdul bilàter o, simplement, d'-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un -mòdul per l'esquerra.

Exemples Si és un anell, ell mateix es pot considerar com a -mòdul de manera natural:

Els grups commutatius són -mòduls. En efecte, si és un grup commutatiu (notació additiva) i , l'operació externa de sobre donada per:

dota el grup d'una estructura de -mòdul.

Els espais vectorials sobre un cos són -mòduls.

Si és l'anell d'endomorfismes d'un -mòdul , l'operació externa

fa que es pugui considerar un -mòdul.

Si és un anell i n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi , amb l'operació

és un -mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot i tot , el producte pertany a .

Referències

Categoria:Teoria d'anells Categoria:Estructures algebraiques Categoria:Aritmètica modular