En matemàtiques, la hipòtesi de Lindelöf és una conjectura formulada pel matemàtic finlandès Ernst Leonard Lindelöf (vegeu ) sobre la taxa de creixement de la funció zeta de Riemann en la línia crítica i que està implicada per la hipòtesi de Riemann.
Aquesta postula que, per a qualsevol ε > 0,
quan t tendeix a infinit (vegeu notació de Landau). Ja que ε pot ser reemplaçat per un valor menor, aquesta conjectura també pot postular-se com:
Per a qualsevol nombre real positiu ε,
La funció μ Si σ és real, llavors μ(σ) es defineix com l'ínfim de tots els nombres reals a tals que ζ(σ + iT) = O(T a)). És trivial el observar que μ(σ) = 0 per a σ > 1, i l'equació funcional de la funció zeta implica que μ(1 − σ) = μ(σ) − σ + 1/2. El teorema de Phragmén-Lindelöf implica també que μ és convexa. La hipòtesi de Lindelöf assegura que μ(1/2) = 0, el que juntament amb les propietats esmentades abans de μ impliquen que μ(σ) és 0 per a σ ≥ 1/2, i 1/2 − σ per a σ σ ≤ 1/2.
El resultat de convexitat de Lindelöf juntament amb μ(1) = 0 y μ(0) = 1/2 impliquen que 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. El límit superior de 1/4 va ser rebaixat per Hardy i Littlewood a 1/6 mitjançant l'aplicació del mètode de Weyl d'estimació de sumes exponencials per a l'equació funcional aproximada de la funció zeta. Des de llavors, aquest límit ha estat rebaixat significativament a una quantitat menor que 1/6 per diversos autors, usant llargues i complexes demostracions, com indica la següent taula: μ(1/2) ≤ μ(1/2) ≤ Autor 1/4 0,25 Límit de convexitat 1/6 0,1667 163/9880,165027/1640,1647229/13920,1645120,16451119/1160,163815/920,16316/370,16217173/10670,1621435/2160,16204139/8580,1620132/2050,1561
Relació amb la hipòtesi de Riemann va mostrar que la hipòtesi de Lindelöf és equivalent al següent enunciat sobre els zeros de la funció zeta:
Per a cada ε > 0, el nombre de zeros amb part real com a mínim 1/2 + ε i la part imaginària T i T + 1 és o(log (T)) quan T tendeix a infinit. La hipòtesi de Riemann implica que no hi ha cap zero en aquesta regió, així doncs implica a la hipòtesi de Lindelöf. Se sap que el nombre de zeros amb part imaginària T i T + 1 és O(log(T)), així que la hipòtesi de Lindelöf sembla només una mica més fort que el que ja ha estat demostrat, però tot i això, segueix resistint a tots els intents de demostració, sent aquests ja molt complicats.
Mitjana de les potències de la funció zeta La hipòtesi de Lindelöf és equivalent a l'afirmació que
per a tots els enters positius k i per a tots els nombres reals positius ε. Aquesta afirmació ha estat demostrada per k = 1 o 2, però el cas k = 3 sembla més complex i encara es troba com un problema obert.
Hi ha una més precisa conjectura sobre el comportament asimptòtic d'aquesta integral: Es creu que
per a algunes constants ck,j. Això va ser demostrat per John Edensor Littlewood per k = 1 i per per k = 2 (estenent un resultat de el qual va trobar el terme principal).
va suggerir el valor per al coeficient principal quan k és 6, i van usar teoria de matrius aleatòries per suggerir algunes conjectures sobre els valors dels coeficients per a valors de k grans. Els coeficients principals ha estat conjecturats per ser el producte d'un factor elemental, un certa producte sobre nombres primers, i el nombre de n per n en taules de Young donat per la següent seqüència:
1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, .
Altres conseqüències Denotant com pn el n-èsim nombre primer, un resultat donat per Albert Ingham, mostra que la hipòtesi de Lindelöf implica que, per qualsevol ε > 0,
si n es prou gran. No obstant això, aquest resultat és molt pitjor que l'àmplia conjectura de l'espai entre primers consecutius.
Referències
Categoria:Conjectures Categoria:Matemàtiques