En teoria de la probabilitat i estadística, la distribució beta és una família de distribucions de probabilitat contínues definides en l'interval [0, 1], parametritzades per dos paràmetres de forma, denotats α i β, que apareixen com a exponents de la variable aleatòria i controlen la forma de la distribució. Es tracta d'un cas especial de la distribució de Dirichlet.
La distribució beta ha estat aplicada per modelar el comportament de variables aleatòries limitades a intervals de longitud finita en una àmplia varietat de disciplines.
En inferència bayesiana, la distribució beta és la distribució anterior conjugada de la distribució de Bernoulli, la distribució binomial, la binomial negativa, i la distribució geomètrica. Per exemple, la distribució beta pot ser usada en anàlisi bayesiana per descriure el coneixement inicial sobre la probabilitat d'èxit com ara la probabilitat que una nau espacial completi una missió específica. La distribució beta és, a més, un model vàlid per al comportament aleatori de percentatges i proporcions.
La formulació habitual de la distribució beta és també coneguda com a distribució beta de primer tipus, mentre que el terme distribució beta de segon tipus fa referència a la distribució beta prima.
Caracterització Funció de densitat de probabilitat La funció de densitat de probabilitat (fdp) de la distribució beta, per , i paràmetres de forma α, β > 0, és una funció potència de la variable x i de la seva reflexió com segueix::
on Γ(z) és la funció gamma. La funció beta, , és una constant de normalització per assegurarar que la probabilitat total és 1.
Aquesta definició inclou tots dos extrems i , cosa que és consistent amb les definicions d'altres distribucions contínues que tenen com a domini un interval fitat i que són casos especials de la distribució beta, com per exemple la distribució arcsinus, i és consistent a més amb diversos autors, com Norman Lloyd Johnson i Samuel Kotz. Tanmateix, la inclusió de i no funciona per ; en conseqüència, diversos altres autors, com ara William Feller, van triar excloure els extrems i , (de tal manera que els dos extrems no formen part de fet del domini de la funció de densitat) i consideren doncs .
Diversos autors, com ara Norman Lloyd Johnson i Samuel Kotz, usen el símbols p i q (enlloc de α i β) pels paràmetres de forma de la distribució beta, reminiscència dels símbols usats tradicionalment en la distribució de Bernoulli, ja que la distribució beta tendeix a ser igual a la de Bernoulli en el límit en què els paràmetres de forma α i β s'apropen al valor de zero.
A partir d'ara, una variable aleatòria X distribuïda segons beta amb paràmetres α i β serà denotada:
Altres notació per una variable aleatòria distribuïda segons beta usades en literatura estocàstica són i .
Funció de distribució acumulada miniatura|CDF per una distribució beta simètrica vs. x i α = β miniatura|CDF per una distribució beta asimètrica vs. x i β = 5α
La funció de distribució acumulada de la distribució beta és:
on és la funció beta incompleta i és la funció beta incompleta normalitzada.
Distribució beta amb quatre paràmetres Johnson et al introdueixen la distribució beta amb quatre paràmetres mitjançant la funció de densitaton . Designarem aquesta distribució per . El cas anterior correspon a , que Johnson et al. anomenen la distribució beta estàndard amb paràmetres . D'altra banda, si i definimalehores . La distribució inclou la distribució arcsinus amb suport en qualsevol interval afitat i la distribució del semicercle de Wigner
En tota la resta d'aquest article considerarem només el cas estàndard .
Propietats Mesures de tendència central Moda La moda d'una variable aleatòria amb distribució beta X amb α, β > 1 és el valor més probable de la distribució (i correspon al pic de la FDP), i ve donat per la següent expressió:
Quant tos dos paràmetres són menors que u (α, β < 1), aquest valor correspon a l'anti-moda, el punt amb més baixa probabilitat.
Si α = β, l'expressió de la moda se simplifica a 1/2, mostrant que per α = β > 1 la moda (o l'anti-moda quan ), es troba al centre de la distribució: és simètrica en aquests casos. Vegeu la secció Formes en aquest article per una llista completa de casos de la moda, per valors arbitararis de α i β. En diversos d'aquests casos, el valor màxim de la funció de densitat es dona en un dels dos extrems. En alguns casos el valor (màxim) de la funció densitat en el final és finit. Per exemple, en el cas de α = 2, β = 1 (o α = 1, β = 2), la funció de densitat es converteix en la distribució triangular que és finita en tots dos extrems. En diversos altres casos, hi ha una singularitat matemàtica en un dels extrems, on el valor de la funció densitat tendeix a infinit. Per exemple, en el cas α = β = 1/2, la distribució beta se simplifica i es converteix en la distribució arcsinus. Hi ha un debat en la comunitat de matemàtics sobre alguns d'aquests casos i sobre si els extrems (x = 0, i x = 1) poden considerar-se o no modes: miniatura|Moda per la distribució beta per 1 ≤ α ≤ 5 and 1 ≤ β ≤ 5
Sobre si els extrems són part o no del domini de la funció densitat. Sobre si una singularitat es pot anomenar mai moda. Sobre si casos amb dos màxims es poden anomenar bimodals.
Mediana miniatura|Mediana de la distribució beta per 0 ≤ α ≤ 5 i 0 ≤ β ≤ 5 miniatura|(Mitjana-mediana) de la distribució beta versus alfa i beta de 0 a 2
La mediana de la distribució beta és un únic nombre real pel qual la funció beta incompleta . No hi ha una forma tancada general per la mediana de la distribució beta per valors arbitraris de α i β. Les formes tancades per valors particulars dels paràmetres α i β són:
Per a casos simètrics en què α = β, la mediana és = 1/2. Per α = 1 i β > 0, la mediana és (aquest cas és la imatge especular de la distribució de la funció potència [0,1]) Per α > 0 i β = 1, la mediana val = (aquest cas és la distribució de la funció potència [0,1] distribution) Per α = 3 i β = 2, la mediana val 0.6142724318676105..., la solució real de la funció quàrtica 1 − 8x3 + 6x4 = 0, que es troba en l'interval [0,1]. Per α = 2 i β = 3, la mediana val 0.38572756813238945... = 1−median(Beta(3, 2))
Les següents són les cotes quan un dels paràmetres és finit (no zero) i l'altre tendeix als límits:
Una aproximació raonable del valor de la mediana de la distribució beta, per tant α i β majors o iguals a u, ve donada per la fórmula:
Quan α, β ≥ 1, l'error relatiu (que en aquest cas és l'error d'aproximació dividit entre la mediana) en aquesta aproximació és menor que el 4% i, per tant, α ≥ 2 i β ≥ 2 és menor que l'1%. L'error absolut dividit entre la diferència entre la mitjana i la moda és similarment baix:
325px|Abs[(aproximació de la mediana)/mediana] per distribucions beta amb 1 ≤ α ≤ 5 i 1 ≤ β ≤ 5 325px|Abs[(aproximació de la mediana)/(mitjana - moda)] per distribucions beta amb 1 ≤ α ≤ 5 i 1 ≤ β ≤ 5
Mitjana miniatura|Mitjana de la distribució beta per i El valor esperat (o mitjana) (μ) d'una variable aleatòria que segueix la distribució beta X amb els dos paràmetres α i β és una funció només del ràtio β/α d'aquests paràmetres:
Sigui , en aquesta expressió s'obté , mostrant que per la mitjana es troba en el centre de la distribució: és simètrica. A més, es poden obtenir els següents límits a partir d'aquesta expressió:
Per tant, per β/α → 0, o per α/β → ∞, la mitjana es troba en l'extrem dret, . En aquests casos límit, la distribució beta es converteix en una distribució degenerada d'un sol punt amb una delta de Dirac centrada en l'extrem dret , amb probabilitat 1, i probabilitat zero per a la resta de valors. Hi ha un 100% de probabilitat (certesa absoluta) concentrada en l'extrem dret de l'interval, .
De manera similar, per β/α → ∞ o, cosa que és el mateix per α/β → 0, la mitjana es troba en l'extrem esquerre, . La distribució beta esdevé una distribució degenerada d'un sol punt amb una delta de Dirac centrada en l'extrem esquerre x = 0, amb probabilitat 1, i amb probabilitat zero altrament. En aquest cas hi ha un 100% de probabilitat (certesa absoluta) en l'extrem esquerre, x = 0. A continuació es mostren els límits quan un dels dos paràmetres és un nombre finit (no zero) i l'altre paràmetre tendeix a zero o infinit:
Mentre que per les distribucions unimodals típiques (amb modes localitzades al centre i punts d'inflexió en tots dos costats de la moda i cues més llargues) (amb Beta(α, β) tal que ) se sap que la mitjana de la mostra no és tan robusta com la mediana; el cas contrari es dona en les distribucions bimodals en forma d'U (amb Beta(α, β) tal que ), amb les modes localitzades en els extrems de la distribució. Com Mosteller i Tukey van remarcar ( p. 207) "la mitjana de les observacions en els dos extrems usa tota la informació de la mostra. Això il·lustra com, per distribucions amb cua curta, les observacions dels extrems haurien de tenir més pes." Per contra, segueix que la mitjana de les distribucions bimodals amb modes en els extrems de la distribució (amb Beta(α, β) tal que ) no és robusta, ja que la mediana de la mostra rebaixa les observacions en l'extrem de la mostra a considerar. Una aplicació pràctica d'això és per exemple la dels camins aleatoris, ja que la probabilitat del temps des de l'últim pas per l'origen segueix una distribució arcsinus Beta(1/2, 1/2): la mitjana en el nombre de realitzacions en un camí aleatori és un estimador molt més robust que la mediana (que és un estimador de mesura de la mostra inapropiat en aquest cas).
Mitjana geomètrica miniatura|(Mitjana − Mitjana geomètrica) de la distribució beta versus α i β de 0 a 2, mostrant l'asimetria entre α i β de la mitjana geomètrica miniatura|Mitjanes geomètriques de la distribució beta. Lila = G(x), Groc = G(1 − x), valors inferiors de α i β al davant miniatura|Mitjanes geomètriques de la distribució beta. Lila = G(x), Groc = G(1 − x), valors superiors de α i β al davant
El logaritme de la mitjana geomètrica GX d'una distribució amb variable aleatòria X és la mitjana aritmètica de ln(X) o, cosa que és el mateix, el seu valor esperat és:
En una distribució beta, la integral del valor esperat dona:
on ψ és la funció digamma.
Per tant, la mitjana geomètrica de la distribució beta amb paràmetres de forma α i β és l'exponencial de les funcions digamma de α i β com segueix:
Mentre que en la distribució beta amb paràmetres de forma iguals α = β, la simetria és 0 i la moda és igual a la mitjana i a la mediana i val 1/2, la mitjana geomètrica és menys de 1/2: . La raó d'això és el fet que la transformació logarítmica dona molt més pes als valors de X propers al zero, ja que ln(X) tendeix fortament a menys infinit a mesura que X s'apropa a zero, mentre que ln(X) esdevé més pla cap al zero a mesura que .
A través de la línia , es compleixen els següents límits:
A continuació es mostren els límits quan un dels dos paràmetres és un nombre finit (no zero) i l'altre paràmetre tendeix a zero o infinit:
Les gràfiques que es mostren a la dreta mostren la diferència entre la mitjana i la mitjana geomètrica per paràmetres de forma α i β del zero al 2. A més del fet que la diferència entre ells s'apropi al zero a mesura que α i β van cap a l'infinit i que la diferència es torni més granper valors de α i β propers a zero, es pot observar una asimetria evident de la mitjana geomètrica respecte als paràmetres de forma α i β. La diferència entre la mitjana geomètrica i la mitjana és més gran per valors petits de α respecte β que quan s'intercanvien els valors de β i α.
Norman Lloyd Johnson i Samuel Kotz van suggerir l'aproximació logarítimica a la funció digamma ψ(α) ≈ ln(α − 1/2) que resulta en la següent aproximació a la mitjana geomètrica:
Valors numèrics de l'error d'aproximació en aquesta aproximació són:: []; []; []; []; []; []; []; [].