miniatura|Funció ksi de Riemann en el pla complex. El color d'un punt mostra el valor de la funció. Els colors més foscos denoten els valors més propers a zero i la tonalitat indica el valor de l'argument.
En matemàtiques, la funció ksi de Riemann és una variant de la funció zeta de Riemann, i té la particularitat de tenir una equació funcional simple. La funció duu el nom del matemàtic alemany Bernhard Riemann.
Definició La funció ksi minúscula de Riemann original va ser reanomenada com a majúscula (la Lletra grega "Ksi") per Edmund Landau. La ksi mínuscula de Landau ("xi" en anglès) va ser definida per Landau com:
per . Aquí, denotea la funció zeta de Riemann i és la funció Gamma. L'equació funcional (o fórmula de reflexió) de la de Landau és:
La funció original de Riemann és redefinida per Landau com a majúscula:
i obeeix l'equació funcional:
Landau afirma que la funció de més amunt és la funció de Riemann originalment anotada com . Totes dues funcions són enteres i purament reals per tot argument.
Valors La fórmula general per a enters positius parells és:
on Bn denota l'n-èssim nombre de Bernoulli. Per exemple:
Representació en forma de sèrie La funció té l'expansió en sèrie:
on
i on la suma s'estén al llarg de ρ, els zeros no trivials de la funció zeta, en ordre de .
Aquesta expansió té un paper especialment important en el criteri de Li, que afirma que la hipòtesi de Riemann és equivalent a tenir λn > 0 per tot n positiu.
Producte de Hadamard Una expansió simple de la funció ksi de Riemann com a producte infinit és:
on ρ s'esté al llarg de les arrels de ξ.
Per assegurar convergència en l'expansió, el producte ha de ser fet al llarg d'"emparellaments" dels zeros, és a dir, els factor d'una parella de zeros de la forma ρ i 1−ρ s'han d'agrupar conjuntament.
Hipótesi de Riemann
Com s'ha assenyalat en diversos treballs d'Alain Connes entre d'altres, la hipòtesi de Riemann és equivalent a l'afirmació que la funció xi de Riemann és el determinant funcional de l'operador:
amb:
així,
,
la conjectura del qual està recolzada mitjançant diverses avaluacions numèriques.
Referències
Bibliografia
Categoria:Funció zeta