En anàlisi matemàtica, una branca de les matemàtiques, la desigualtat de Hilbert afirma que
per a qualsevol seqüència u1,u₂,... de nombres complexos. El primer en demostar-ho va ser el matemàtic alemany David Hilbert, amb la constant 2 en lloc de ; la constant que va trobar Issai Schur. Implica que la transformada discreta de Hilbert és un operador delimitat en ℓ₂.
Formulació Fem que (um) sigui una seqüència de nombres complexos. Si la seqüència és infinita, suposem que és sumable al quadrat:
La desigualtat de Hilbert (vegeu Steele, 2004) afirma que:
Generalitzacions El 1973, Montgomery i Vaughan va informar de diverses generalitzacions de la desigualtat de Hilbert, tenint en compte les formes bilineals:
i
on x1,x₂,...,xm són diferents nombres reals mòdul 1 (és a dir, pertanyen a classes diferents del grup quocient R/Z) i λ1,...,λm són nombres reals diferents. Montgomery & Vaughan's van donar les següents generalitzacions de la desigualtat de Hilbert
i
on
és la distància de s al nombre enter més proper, i min+ denota el valor positiu més petit. A més, si
aleshores es mantenen les següents desigualtats:
i
Referències
Enllaços externs
Categoria:Anàlisi complexa Categoria:Desigualtats Categoria:Teoria de nombres