En la teoria dels conjunts, es diu que dos conjunts E i F són equipotents, i es nota E ≈ F, si existeix una bijecció .
Per definició, dos conjunts (finits o no) tenen la mateixa cardinalitat (el mateix nombre d'elements) si són equipotents.
Propietats de l'equipotència L'equipotència té les propietats següents:
És reflexiva: per a tot conjunt E, E ≈ E (existeix almenys una bijecció de E vers E : l'aplicació idèntica de E)
És simètrica: essent dos conjunts E i F, si E ≈ F, aleshores F ≈ E (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció ; aleshores és una bijecció )
És transitiva: essent tres conjunts E, F i G, si E ≈ F i F ≈ G, aleshores E ≈ G (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció i una bijecció ; aleshores la composició és una bijecció)
Açò prova que dins tot conjunt de conjunts, la relació binària d'equipotència és una relació d'equivalència, i que el conjunt quocient pot ésser identificat al conjunt dels cardinals dels elements de . Per exemple, si és el conjunt de les parts d'un conjunt , l'equipotència és una relació d'equivalència dins .
Tanmateix, no és possible de dir que l'equipotència és una relació d'equivalència dins el conjunt de tots els conjunts: dins la teoria clàssica dels conjunts, el conjunt de tots els conjunts no existeix pas.
Teorema de Cantor-Bernstein El teorema de Cantor-Bernstein (o teorema de Cantor-Bernstein-Schröder) és una caracterització de l'equipotència. S'enuncia així:
Essent dos conjunts E i F, si existeixen dues injeccions i , aleshores E ≈ F.
Exemples i contra-exemples El conjunt dels enters naturals i el conjunt dels enters naturals parells, notat ací , són equipotents: l'aplicació és bijectiva. De fet els conjunts que són equipotents amb ℕ es diu que són numerables. Cas dels intervals del conjunt dels nombres reals Sien dos reals , tals que , i els intervals , Els intervals i són equipotents: l'aplicació és bijectiva. Anàlogament, els intervals i són equipotents. Els intervals i són equipotents: l'aplicació és injectiva (en fet, és la injecció canònica). l'aplicació és injectiva. l'equipotència de i és, aleshores, conseqüència del teorema de Cantor-Bernstein. Els intervals i són equipotents: l'aplicació és bijectiva. En fet, es pot generalitzar açò: dos intervals de qualssevulla (posat que cada un contenga almenys dos punts) són equipotents.
Essent un conjunt , el conjunt de les seves parts és equipotent al conjunt de les funcions . Per provar-ho, s'associa a tota part A de la seva funció característica definida així: per a tot element x de , si i si . L'aplicació és bijectiva : si f és una funció i si es defineix , és clar que A es l'única part de tal que .
Segons un teorema clàssic de Cantor, el conjunt dels enters naturals no és equipotent al conjunt dels reals.
Semblantment, un conjunt no és equipotent al conjunt de les seves parts.Per provar-ho (per reducció a l'absurd), suposem l'existència d'una bijecció i definim el conjunt . Com que i f és bijectiva, existeix un element (únic) del conjunt tal que .Llavors: , una contradicció. (observeu que en aquesta demostració, no hem fet servir la unicitat de : així, hem provat que no existeix cap suprajecció ).
Cas dels conjunts finits i dels conjunts infinits Conjunts equipotents a un conjunt finit Si E és un conjunt finit, els conjunts equipotents a E són aquells conjunts finits que tenen el mateix nombre d'elements que E.
Conjunts equipotents a un conjunt infinit Tot conjunt equipotent a un conjunt infinit és també infinit. Però se sap d'ençà del , per les obres de Georg Cantor, que hi ha conjunts infinits que no són equipotents, valent a dir que no tenen la mateixa cardinalitat (cf. ací a sobre).
Vegeu també Conjunt numerable Funció bijectiva Nombre cardinal Teoria dels conjunts
Equipotència