alt=Illustration of Newton's method|miniatura|Un exemple d'aplicació del mètode de Newton-Raphson per resoldre numèricament l'equació En matemàtiques, resoldre una equació consisteix a trobar les seves solucions, que són els valors (nombres, funcions, conjunts, etc.) que satisfan la condició afirmada per l'equació, que consta generalment de dues expressions matemàtiques relacionades per un signe igual. Quan es busca una solució, es designen com a incògnites una o més variables. Una solució és una assignació de valors a les variables incògnites que fa que la igualtat de l'equació sigui veritat. En altres paraules, una solució és un valor o una col·lecció de valors (un per a cada incògnita) tal que, quan se substitueixen les incògnites, l'equació es converteix en una igualtat. Sovint s'anomena també arrel de l'equació a la solució d'una equació, sobretot però no únicament per a equacions polinòmiques. El conjunt de totes les solucions d'una equació és el seu conjunt de solucions.
Les equacions es poden resoldre tant numèricament, com simbòlica. Resoldre una equació numèricament vol dir que només s'admeten nombres com a solució. Resoldre equacions simbòlicament significa que també es poden usar expressions algebraiques per representar les solucions.
Per exemple, l'equació es resol per l'incògnita a partir de l'expressió , ja que si se substitueix per en l'expressió l'expressió acaba sent , una afirmació verdadera. També es pot prendre la variable com a incògnita, i llavors la solució de l'equació és . O bé tant com poden ser considerades incògnites, i llavors hi ha moltes solucions a l'equació; una solució simbòlica és , on la variable pot prendre qualsevol valor. Si es dona una valor numèric en particular a una solució simbòlica s'obté una solució numèrica; per exemple, dona la solució (és a dir, ), i dona .
Normalment la distinció entre variables desconegudes (incògnites) i conegudes es fa en l'enunciat del problema, amb frases com una equació en i , o resol per i , que indiquen les incògnites, en aquest cas i . Tanmateix, és habitual utilitzar , , , ... per denotar les incògnites, i utilitzar , , , ... per denotar les variables conegudes, que són normalment anomenades paràmetres. Aquest sol ser el cas quan es consideren equacions polinòmiques, com ara equacions de segon grau. No obstant això, per a alguns problemes, totes les variables poden tenir tots dos papers.
En funció del context, resoldre una equació pot consistir en trobar una solució qualsevol (quan n'hi ha prou a trobar una única solució), totes les solucions, o bé una solució que satisfaci altres propietats, com ara que pertanyi a un cert interval. Quan l'objectiu és trobar la solució que sigui la millor segons un cert criteri, es tracta d'un problema d'optimització. Resoldre un problema d'optimització no sol considerar-se resolució d'equacions, ja que, normalment, els mètodes numèrics que s'utilitzen solen partir d'una solució particular per trobar-ne una de millor, i repeteixen aquest procés fins a acabar trobant la solució òptima.
Visió general Una forma general d'escriure una equació és
on és una funció, són les incògnites, i és una constant. Les seves solucions són els elements de la imatge inversa
on és el domini de la funció . El conjunt de solucions poden ser el conjunt buit (no hi ha solucions), un singletó (hi ha exactament una solució), finit, o infinit (hi ha un nombre infinit de solucions).
Per exemple, una equació com
amb incògnites i , pot ser escrita com més amunt restant en tots dos costats de l'equació, per obtenir
En aquest cas particular no només hi ha una solució, sinó un conjunt infinit de solucions, que es pot escriure utilitzant notació de construcció de conjunts com:
Una solució particular és . Dues altres solucions són , i . Hi ha un únic pla en l'espai tridimensional que passa a través dels tres punts amb aquestes coordenades, i aquest pla és el conjunts de tots els punts les coordenades dels quals són solucions de l'equació.
Història Com que molts problemes matemàtics condueixen a equacions, la resolució d'equacions sempre ha estat una àrea important de les matemàtiques.
La solució d'equacions lineals i quadràtiques ja era coneguda a l'antiguitat. Fins i tot avui, tots els estudiants aprenen la fórmula quadràtica per determinar la solució d'una equació quadràtica general.
La generalització d'aquesta fórmula de solució, és a dir, la seva extensió a equacions cúbiques, va tenir lloc a la Itàlia renaixentista. Menció especial mereixen tres matemàtics: Scipione del Ferro, Nicolo Tartaglia i Girolamo Cardano.
El franciscà Luca Pacioli encara afirmava el 1494 que les equacions de la forma o que no es podia resoldre matemàticament. (Com que els càlculs amb nombres negatius eren inadequats en aquell moment, calia distingir aquests dos casos.) Scipione del Ferro va resoldre el primer cas i potser també el segon. El seu alumne Antonio Maria Fior coneixia la fórmula de la solució ferrònica.
El 1535, va tenir lloc una competició entre Fior, deixeble de del Ferro, i el mestre d'aritmètica Nicolò Tartaglia. Fior li va presentar 30 equacions cúbiques, que va resoldre aparentment sense esforç. Aleshores es va demanar a Tartaglia que revelés el seu mètode per resoldre el problema. Després de moltes vacil·lacions, ho va revelar al metge i matemàtic Cardano, amb l'obligació de mantenir-ho en secret. Cardano va trencar el seu jurament i les va publicar –tot i que citant totes les fonts– el 1545 a la seva Ars magna sive de regulis algebraicis (Gran Art o Sobre les Regles del Càlcul). A més, havia obtingut un coneixement detallat de la fórmula de la solució de del Ferro a través del seu gendre. Això va anar seguit de greus acusacions i denúncies de plagi. No obstant això, les fórmules per resoldre equacions cúbiques s'anomenen avui dia fórmules de solució de Cardano.
L'obra de Cardano, Ars magna, també contenia una fórmula per resoldre equacions de quart grau, que es remuntava a l'alumne de Cardano, Lodovico Ferrari, així com un mètode d'aproximació (Regula aurea) per a les solucions.
La qüestió d'una fórmula de solució general per a equacions de cinquè grau i superior no es va plantejar fins al . La resposta va ser definitivament negativa al per part de Niels Henrik Abel i Évariste Galois.
Equacions polinòmiques Equacions de grau 1 Les equacions lineals es tracten d'acord amb les regles bàsiques anteriors fins que la incògnita es troba a l'esquerra i un nombre o expressió corresponent a la dreta. Equacions lineals de forma estàndard
amb
Sempre hi ha exactament una solució. Es llegeix .
Tanmateix, una equació també pot ser irresoluble. Per tant, no hi ha cap nombre que pugui resoldre l'equació Això es resol perquè no hi ha cap nombre que tingui la mateixa mida que el seu successor. Formalment, això resultaria de restar els dos costats de la falsa afirmació .
Equacions proporcionals com ara Es poden transformar en una equació lineal fent-ne la inversa. Tanmateix, el requisit previ per prendre el recíproc és que no es produeixi cap divisió per 0 ni abans ni després de prendre el recíproc.
Equacions de grau 2 Les equacions quadràtiques es poden resoldre utilitzant fórmules quadràtiques o completant el quadrat. La forma general de l'equació quadràtica és
amb ,
les solucions de les quals es poden trobar amb la -La fórmula (fórmula quàdruple, fórmula de la gran solució) pot calcular:
amb discriminant .
Si dividim l'equació quadràtica en Dividint per això s'obté la forma normalitzada
amb i ,
les solucions de les quals es poden trobar amb la -La fórmula pot calcular:
amb discriminant .
Una equació quadràtica en el conjunt dels nombres reals té dues solucions (discriminant) ), una solució (discriminant ) – també anomenades: dues solucions coincidents o una solució doble – o cap solució (discriminant) ).
En el conjunt dels nombres complexos, una equació d'aquest tipus sempre té dues solucions (Teorema fonamental de l'àlgebra), que, tanmateix, també poden coincidir. Per a un discriminant negatiu, el terme dóna com a resultat després la part imaginària. Si tots els coeficients són reals, aleshores les dues solucions són conjugats complexos entre si, on també són possibles dues solucions reals coincidents.
Equacions de grau 3 Equació de tercer grau en forma general
amb
té tres solucions, de les quals almenys una és real. Les altres dues solucions són o bé reals o bé complexes.
La fórmula de Cardano és una fórmula general de solució per a equacions cúbiques.
Equacions de grau 4 Equacions quàrtiques en forma estàndard
amb
tenen quatre solucions, que (per a coeficients reals) sempre són conjugats reals o complexos per parells.
També es pot donar una fórmula de solució per a equacions de quart grau. Els llibres de text més antics (de l'època del regle de càlcul) sovint assenyalen que les fórmules de solució són força complicades i que es recomana una solució numèrica a la pràctica diària. Tanmateix, donat l'estat actual de la tecnologia informàtica, això es pot considerar obsolet. De fet, les fórmules per a la solució en forma tancada d'una equació de quart grau només pateixen problemes d'error d'arrodoniment (manejable), però ofereixen temps de càlcul constants.
Equacions de grau superior No hi ha cap fórmula de solució general per a equacions de grau superior al quart que només utilitzi les quatre operacions aritmètiques bàsiques i l'extracció de l’arrel quadrada (un resultat de la teoria de Galois). Només es poden resoldre equacions específiques d'aquesta manera, per exemple:Hermite, C. Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado. Annali di math. pura ed appl. 1, 256-259, 1858.
Polinomis Els polinomis de grau -èsim amb coeficients simètrics es poden reduir a polinomis de grau rastrejar. En casos imparells 1 o −1 és un zero que s'elimina primer per divisió polinòmica.
Els polinomis en què només hi ha potències parells o imparells de les variables també es poden reduir a polinomis de grau Per reduir les potències a senars, 0 és una solució.
En general, tots els polinomis el grup de Galois dels quals és resoluble.
Les equacions de cinquè grau generalment es poden resoldre mitjançant funcions el·líptiques. Charles Hermite va ser el primer a demostrar-ho el 1858 utilitzant funcions theta jacobianes.
Les equacions de grau superior (grau 5,...) normalment només es resolen numèricament, tret que es pugui endevinar una solució. Un cop trobada una solució, el grau de l'equació es pot reduir en 1 mitjançant la divisió polinòmica.
Equacions de grau tenir Solucions. Cada solució es compta segons la seva multiplicitat (Teorema fonamental de l'àlgebra).
El teorema fonamental de l'àlgebra dóna les regles següents per a les equacions polinòmiques, sempre que només tinguin coeficients reals:
Per a equacions de grau parell, hi ha un nombre parell de solucions reals (per exemple, una equació de 6è grau té 0, 2, 4 o 6 solucions reals).
Per a equacions de grau senar, hi ha un nombre senar de solucions reals (per exemple, una equació de 7è grau té 1, 3, 5 o 7 solucions reals).
El nombre de solucions no reals és sempre parell, ja que només poden aparèixer en parelles (com a conjugats complexos, p. ex. i ).
En particular, això implica:
Tota equació de grau senar té com a mínim una solució real (per exemple, equacions lineals i cúbiques).
Una equació de grau parell pot no tenir una solució real (per exemple, l'equació quadràtica no té una solució real). només les solucions complexes i ).
Si també es consideren els mètodes de solució numèrica, aleshores el mètode de Bairstow és adequat per a aquest cas general, que troba tots els zeros d'un polinomi, inclosos els complexos. En aquest procés, es determina successivament un terme quadràtic, que després es separa del polinomi original mitjançant la divisió polinòmica fins que només queda un polinomi residual lineal o quadràtic, que es pot resoldre segons el procediment anterior.