miniatura|El desplaçament cap al vermell gravitacional d'una ona de llum quan es mou cap amunt contra un camp gravitatori (produït per l'estrella groga de sota). L'efecte és molt exagerat en aquest diagrama En física i relativitat general, el desplaçament cap al vermell gravitacional (conegut com a desplaçament d'Einstein en la literatura antiga) és aquell fenomen en què les ones electromagnètiques o els fotons que viatgen fora d'un pou gravitatori (sembla que) perden energia Aquesta pèrdua d'energia correspon a una disminució de la freqüència d'ona i un augment de la longitud d'ona, conegut com a desplaçament cap al vermell. L'efecte contrari, pel qual els fotons (sembla que) guanyen energia quan viatgen cap a un pou gravitatori, es coneix com a desplaçament cap al blau gravitacional (un tipus de desplaçament al blau). L'efecte va ser descrit per primera vegada per Einstein el 1907, vuit anys abans de la seva publicació de la teoria completa de la relativitat.
El desplaçament cap al vermell gravitacional es pot interpretar com a conseqüència del principi d'equivalència (que la gravetat i l'acceleració són equivalents i el desplaçament al vermell és causat per l'efecte Doppler) o com a conseqüència de l'equivalència massa-energia (els fotons «que cauen» guanyen energia), encara que hi ha són nombroses subtileses que compliquen una derivació rigorosa. Un desplaçament al vermell gravitatori també es pot interpretar de manera equivalent com una dilatació gravitacional del temps a la font de la radiació; si dos oscil·ladors (que produeixen radiació electromagnètica) funcionen a diferents potencials gravitatoris, semblarà que l'oscil·lador amb el potencial gravitatori més alt (més allunyat del cos atractiu) fa un «tictac» més ràpid; és a dir, quan s'observa des de la mateixa ubicació, tindrà una freqüència mesurada més alta que l'oscil·lador en el potencial gravitatori més baix (més a prop del cos atractiu).
En una primera aproximació, el desplaçament al vermell gravitatori és proporcional a la diferència de potencial gravitatori dividit per la velocitat de la llum al quadrat, , resultant així en un efecte molt petit.
L'any 1911, Einstein va predir que la llum que s'escapava de la superfície del Sol es desplaçaria al vermell aproximadament 2 × 10−6. Els senyals de navegació dels satèl·lits GPS que orbiten a 20.000 km d'altura es perceben amb un desplaçament cap al blau aproximadament 5 × 10−10, que correspon a un augment de menys d'1 Hz en la freqüència d'un senyal d'1,5 GHz. No obstant això, tenir en compte la dilatació gravitacional del temps que acompanya el rellotge atòmic del satèl·lit és crucial per a una navegació precisa. A la superfície de la Terra el potencial gravitatori és proporcional a l'altura, , i el desplaçament cap al vermell corresponent és d'aproximadament 10−16 per metre de canvi d'elevació i/o altitud.
En astronomia, la magnitud d'un desplaçament al vermell gravitatori sovint s'expressa com la velocitat que crearia un desplaçament equivalent mitjançant l'efecte Doppler relativista. En aquestes unitats, el desplaçament cap al vermell de la llum solar de 2 × 10−6 correspon a una velocitat de retrocés de 633 m/s, aproximadament de la mateixa magnitud que els moviments convectius del Sol, cosa que complica la mesura. L'equivalent de la velocitat del desplaçament al blau gravitacional del satèl·lit GPS és inferior a 0,2 m/s, la qual cosa és insignificant en comparació amb el desplaçament Doppler real resultant de la seva velocitat orbital. En objectes astronòmics amb forts camps gravitatoris, el desplaçament cap al vermell pot ser molt més gran; per exemple, la llum de la superfície d'una nana blanca es desplaça gravitatòriament cap al vermell de mitjana uns 50 km/s/c.
Observar el desplaçament cap al vermell gravitatori al Sistema Solar és una de les proves clàssiques de la relativitat general. Mesurar el desplaçament cap al vermell gravitatori a alta precisió amb rellotges atòmics pot servir com a prova de la simetria de Lorentz i guiar les cerques de matèria fosca.
Predicció pel principi d'equivalència i relativitat general Camp gravitatori uniforme o acceleració La teoria de la relativitat general d'Einstein incorpora el principi d'equivalència, que es pot enunciar de diferents maneres.
d'aquestes afirmacions és que els efectes gravitatoris són localment indetectables per a un observador en caiguda lliure. Per tant, en un experiment de laboratori a la superfície de la Terra, tots els efectes gravitatoris haurien de ser equivalents als efectes que s'haurien observat si el laboratori hagués estat accelerant a través de l'espai exterior a g. Una conseqüència és un efecte Doppler gravitatori. Si s'emet un pols de llum al terra del laboratori, aleshores un observador en caiguda lliure diu que quan arriba al sostre, el sostre s'ha accelerat allunyant-se d'ell i, per tant, quan l'observa un detector fixat al sostre, s'observarà que el Doppler s'ha desplaçat cap a l'extrem vermell de l'espectre. Aquest desplaçament, que l'observador en caiguda lliure considera que és un desplaçament Doppler cinemàtic, l'observador de laboratori considera un desplaçament cap al vermell gravitatori. Aquest efecte es va verificar a l'experiment de Pound-Rebka de 1959. En un cas com aquest, on el camp gravitatori és uniforme, el canvi de longitud d'ona ve donat per
on és el canvi d'altura. Com que aquesta predicció sorgeix directament del principi d'equivalència, no requereix cap dels aparells matemàtics de la relativitat general, i la seva verificació no admet específicament la relativitat general sobre cap altra teoria que incorpori el principi d'equivalència.
A la superfície de la Terra (o en una nau espacial que accelera a 1 g), el desplaçament al vermell gravitatori és aproximadament 1,1 × 10−16, l'equivalent a un desplaçament Doppler de 3,3 × 10−8 m/s, per cada metre de diferencial d'altura.
Camp gravitatori esfèricament simètric Quan el camp no és uniforme, el cas més senzill i útil a considerar és el d'un camp simètric esfèric. Pel teorema de Birkhoff, aquest camp es descriu en relativitat general per la mètrica de Schwarzschild,
,
on és l'hora del rellotge d'un observador a la distància R del centre, és el temps mesurat per un observador a l'infinit, és el radi de Schwarzschild, (representa termes que desapareixen si l'observador està en repòs), és la constant gravitatòria de Newton, la massa del cos gravitant, i 𝑐 la velocitat de la llum.
El resultat és que les freqüències i les longituds d'ona es desplacen segons la relació
on és la longitud d'ona de la llum mesurada per l'observador a l'infinit, és la longitud d'ona mesurada a la font d'emissió, i és el radi en què s'emet el fotó.
Això es pot relacionar amb el paràmetre de desplaçament cap al vermell definit convencionalment com .
En el cas en què ni l'emissor ni l'observador es troben a l'infinit, la transitivitat dels desplaçaments Doppler ens permet generalitzar el resultat a. La fórmula de desplaçament cap al vermell per a la freqüència és is . On és petit, aquests resultats són coherents amb l'equació donada anteriorment basada en el principi d'equivalència.
La relació de desplaçament cap al vermell també es pot expressar en termes d'una velocitat (newtoniana) d'escapament, a , resultant en el corresponent factor de Lorentz:
.
Per a un objecte prou compacte com per tenir un horitzó d'esdeveniments, el desplaçament cap al vermell no està definit per als fotons emesos dins del radi de Schwarzschild, tant perquè els senyals no poden escapar de l'horitzó perquè un objecte com l'emissor no pot estar estacionari dins de l'horitzó, com es suposava anteriorment.. Per tant, aquesta fórmula només s'aplica quan és més gran que . Quan el fotó s'emet a una distància igual al radi de Schwarzschild, el desplaçament cap al vermell serà infinitament gran i no s'escaparà a cap distància finita de l'esfera de Schwarzschild. Quan el fotó s'emet a una distància infinitament gran, no hi ha cap desplaçament cap al vermell.
Límit Newtonià En el límit newtonià, és a dir, quan és prou gran en comparació amb el radi de Schwarzschild , el desplaçament cap al vermell es pot aproximar com
on és l'acceleració gravitatòria a . Per a la superfície de la Terra respecte a l'infinit, z és aproximadament 7 × 10−10 (l'equivalent a un desplaçament Doppler radial de 0,2 m/s); per a la Lluna és aproximadament 3 × 10−11 (aproximadament 1 cm/s). El valor de la superfície del Sol és d'uns 2 × 10−6, que correspon a 0,64 km/s (per a velocitats no relativistes, la velocitat equivalent Doppler radial es pot aproximar multiplicant z amb la velocitat de la llum).
El valor z es pot expressar succintament en termes de la velocitat d'escapament a , com que el potencial gravitatori és igual a la meitat del quadrat de la velocitat d'escapament, així:
on és la velocitat d'escapament a .
També es pot relacionar amb la velocitat de l'òrbita circular a , que ès igual a , així:
.
Per exemple, el desplaçament cap al blau gravitatori de la llum estel·lar llunyana a causa de la gravetat del Sol, que la Terra orbita a uns 30 km/s, seria aproximadament 1 × 10−8 o l'equivalent a un desplaçament Doppler radial de 3 m/s. Tanmateix, la Terra està en caiguda lliure al voltant del Sol i, per tant, és un observador inercial, de manera que l'efecte no és visible.
Per a un objecte en una òrbita (circular), el desplaçament cap al vermell gravitacional és d'una magnitud comparable a l'efecte Doppler transversal on β=v/c, mentre que tots dos són molt més petits que l'efecte Doppler radial, per al qual .
Predicció del límit newtonià utilitzant les propietats dels fotons La fórmula per al desplaçament al vermell gravitatori en el límit newtonià també es pot derivar utilitzant les propietats d'un fotó:
En un camp gravitatori una partícula de massa i velocitat canvia la seva energia segons: .
Per a un fotó sense massa descrit per la seva energia i momentum , aquesta equació es converteix després de dividir-la per la constant de Planck :
Insertant el camp gravitatori d'un cos de massa esfèrica dins la distància
i el vector d'ona d'un fotó que surt del camp gravitatori en direcció radial
l'equació d'energia esdevé
Usant una equació diferencial ordinària que només depèn de la distància radial , s'obté:
Per a un fotó que comença a la superfície d'un cos esfèric amb un radi amb una freqüència la solució analítica és:
A gran distància del cos un observador mesura la freqüència:
Per tant, el desplaçament cap al vermell és:
En l'aproximació lineal
s'obté el límit newtonià per al desplaçament al vermell gravitatori de la relativitat general.
Verificació experimental
Observacions astronòmiques Alguns experimentadors van afirmar inicialment haver identificat l'efecte mitjançant mesures astronòmiques, i es va considerar que l'efecte havia estat finalment identificat a les línies espectrals de l'estrella Sirius B per W.S. Adams l'any 1925. No obstant això, les mesures d'Adams han estat criticades per ser massa baixes i ara es consideren que aquestes observacions són mesures d'espectres que no es poden utilitzar a causa de la llum dispersa de l'estrella primària, Sirius A. La primera mesura precisa del desplaçament al vermell gravitatori de Popper va fer una nana blanca el 1954, mesurant un desplaçament al vermell gravitatori de 21 km/s de 40 Eridani B. El desplaçament cap al vermell de Sirius B va ser finalment mesurat per Greenstein et al. el 1971, obtenint el valor del desplaçament cap al vermell gravitatori de 89±19 km/s, amb mesures més precises del telescopi espacial Hubble, mostrant 80,4±4,8 km/s.