miniatura|366x366px|Diagrama de recuperació de la derivada covariant del transport paral·lel per a una connexió en un fibrat vectorial En el camp matemàtic de la geometria diferencial, la derivada covariant exterior és una extensió de la noció de derivada exterior a la configuració d'un fibrat principal diferenciable o fibrat vectorial amb una connexió.

Definició Sigui G un grup de Lie i un grup G principal en una varietat llisa M. Suposem que hi ha una connexió a P; això produeix una descomposició natural de suma directa de cada espai tangent als subespais horitzontal i vertical. Sigui la projecció al subespai horitzontal.

Si ϕ és una forma k a P amb valors en un espai vectorial V, aleshores la seva derivada covariant exterior Dϕ és una forma definida per

on v i són vectors tangents a P en u.

Suposem que és una representació de G en un espai vectorial V. Si ϕ és equivariant en el sentit que

on , aleshores Dϕ és un tensorial -forma sobre P del tipus ρ : és equivariant i horitzontal (una forma ψ és horitzontal si .)

Per abús de notació, el diferencial de ρ a l'element d'identitat es pot denotar de nou per ρ :

Sigui la connexió d'una forma i la representació de la connexió en Això és, és un -forma valorada, desapareixent en el subespai horitzontal. Si ϕ és una k -forma tensorial de tipus ρ, aleshores

If , then, writing for the fundamental vector field (i.e., vertical vector field) generated by X in on P, we have:

on, seguint la notació en àlgebra de Lie, vam escriure

A diferència de la derivada exterior habitual, que quadra a 0, la derivada covariant exterior no ho fa. En general, es té, per a una forma tensorial zero ϕ ,

Proof: Since ρ acts on the constant part of ω, it commutes with d and thus

on és la representació a de la curvatura de dues formes Ω. La forma F de vegades es coneix com el tensor de la força de camp, en analogia amb el paper que juga en l'electromagnetisme. Tingueu en compte que D 2 s'esvaeix per a una connexió plana (és a dir, quan ).

Si , llavors es pot escriure

on és la matriu amb 1 a l'entrada i zero a les altres entrades. La matriu les entrades de les quals són 2-formes a P s'anomena matriu de curvatura.

Referències

Categoria:Geometria diferencial