En matemàtiques, un q-anàleg d'un teorema, identitat o expressió és una generalització que implica un nou paràmetre q que retorna el teorema, identitat o expressió original en el límit com a . Normalment, els matemàtics estan interessats en els anàlegs q que sorgeixen de manera natural, en lloc d'inventar arbitràriament anàlegs q de resultats coneguts. El primer q -analògic estudiat amb detall és la sèrie hipergeomètrica bàsica, que es va introduir al segle XIX.

Els analògics q s'estudien amb més freqüència en els camps matemàtics de la combinatòria i les funcions especials. En aquests paràmetres, el límit és sovint formal, ja que sovint té valors discrets (per exemple, pot representar una potència primer). Els q -analògics troben aplicacions en diverses àrees, incloent l'estudi de fractals i mesures multifractals, i expressions per a l'entropia de sistemes dinàmics caòtics. La relació amb els fractals i els sistemes dinàmics resulta del fet que molts patrons fractals tenen les simetries dels grups fucsians en general (vegeu, per exemple, les perles d'Indra i la junta apol·línica) i el grup modular en particular. La connexió passa per la geometria hiperbòlica i la teoria ergòdica, on les integrals el·líptiques i les formes modulars tenen un paper destacat; les sèries q estan estretament relacionades amb les integrals el·líptiques.

Els anàlegs q també apareixen en l'estudi dels grups quàntics i en les superàlgebres q-deformades. La connexió aquí és similar, ja que gran part de la teoria de cordes s'estableix en el llenguatge de les superfícies de Riemann, donant lloc a connexions a corbes el·líptiques, que al seu torn es relacionen amb la sèrie q.

Teoria q "clàssica". La teoria q clàssica comença amb els anàlegs q dels nombres enters no negatius. La igualtat

suggereix que definim l'analògic q de n, també conegut com a parèntesi q o nombre q de n, com a

Per si mateixa, l'elecció d'aquest q -analògic particular entre les moltes opcions possibles no és motivada. Tanmateix, apareix de manera natural en diversos contextos. Per exemple, havent decidit utilitzar [ n ] q com a q -analògic de n, es pot definir el q-analògic del factorial, conegut com a q-factorial, per

Aquest q -analògic apareix naturalment en diversos contextos. Notablement, mentre que n ! compta el nombre de permutacions de longitud n, [n]q ! compta les permutacions mentre fa un seguiment del nombre d'inversions. És a dir, si inv( w) denota el nombre d'inversions de la permutació w i Sn indica el conjunt de permutacions de longitud n, tenim

En particular, es recupera el factorial habitual prenent el límit com .

El factor q també té una definició concisa en termes del símbol q-Pochhammer, un element bàsic de totes les teories q :

A partir dels q -factorials, es pot passar a definir els q-coeficients binomials, també coneguts com a coeficients gaussians, polinomis gaussians o coeficients binomials gaussians :

L'exponencial q es defineix com a:

En aquest context s'han definit les funcions q-trigonomètriques, juntament amb una transformada q-Fourier.

Aplicacions a les ciències físiques Els anàlegs q es troben sovint en solucions exactes de problemes de molts cossos. En aquests casos, el límit normalment correspon a dinàmiques relativament simples, per exemple, sense interaccions no lineals, mentre que dona una visió del complex règim no lineal amb retroalimentació.

Un exemple de la física atòmica és el model de creació de condensat molecular a partir d'un gas atòmic fermiònic ultra fred durant un escombrat d'un camp magnètic extern a través de la ressonància de Feshbach. Aquest procés es descriu mitjançant un model amb una versió q -deformada de l'àlgebra SU(2) d'operadors, i la seva solució es descriu mitjançant distribucions binomials i exponencials q -deformades.

Referències

Categoria:Matemàtiques