Els polinomis per a sumes de potències de progressions aritmètiques són expressions polinòmiques que permeten obtenir, en funció del nombre de termes, la suma de les potències d’una progressió aritmètica. Dit d’una altra manera, descriuen amb una fórmula general com sumar quadrats, cubs o potències superiors dels termes d’una successió del tipus h,h+d,h+2d,..., sense haver de fer la suma terme a terme.

Descripció Són polinomi a funció d'una variable que, quan la variable coincideix amb el nombre de sumands, calculen la suma de potències amb bases en progressió aritmètica i exponent constant. El problema és per tant trobar polinomis tals que:

amb variable i paràmetres del plinomi ; i enters no negatius, primer terme d'una progressió aritmètica i diferència de la mateixa progressió, sent i qualsevol número real o complex són els polinomis identificats per la fórmula de Faulhaber

son los polinomios diferenciándose de los anteriores sólo en el signo de un monomio de grado p;Esto depende del hecho de que, que, por , transforma en .

son los polinomios por sumas de potencias de números impares sucesivos.

Mètode amb matrius Per a qualsevol sencer positiu, el cas general es resol mitjançant la fórmula següent: on

on i </B> on (fila), (columna) i (ordre de la matriu) són sencers.

Exemples La fórmula en el caso particular   se convierte en :  

I en el cas especial , calcula la suma dels primers nombres imparells consecutius

Calculant la matriu T(h,d), els elements de la qual segueixen el teorema del binomi amb els valors assignats, és a dir, T(1,2), i trobant la matriu inversa de la matriu triangular inferior obtinguda a partir del Triangle de Tartaglia (matriu formada a partir del nombres de Bernoulli, mostrada en vermell), tenim :

multiplicant les files per les columnes de les dues matrius s'obté

y per tant:

. Finalment, si interessen les sumes dels tres primers sumands

Mètode amb polinomis de Bernoulli La següent fórmula resol el problema de forma implícita utilitzant polinomis de Bernoulli:

En particular:

Referències

Categoria:Polinomis Categoria:Teoria de nombres