La regla del pivot és un mètode alternatiu al mètode de Gauss per diagonalitzar matrius i resoldre sistemes lineals a partir de la manipulació de submatrius. Encara que no forma part dels mètodes clàssics recollits en la literatura matemàtica acadèmica, pot ser una eina pedagògica molt útil, sobretot en l'àmbit de batxillerat, per la seva simplicitat conceptual i per la seva aplicabilitat en matrius esparses.
Idea general de la regla del pivot L'algorisme es basa en una successió de passos que eliminen files i columnes mitjançant l'elecció d'un pivot i el càlcul de determinats menors. El resultat final és una matriu diagonalitzada o triangular, similar al que s'obtindria aplicant el mètode de Gauss.
Algorisme pas a pas Escollir un pivot: Seleccionar un element diferent de zero de la matriu com a pivot (per exemple, l'element ). Construir el menor: Eliminar la fila i la columna que contenen el pivot per formar un menor (submatriu) d'ordre . També anomenat menor complementari, en aquest cas el menor complementari del pivot triat. Aplicar la transformació: Crear una nova matriu on cada element es calcula com: on és el pivot, és l'element del menor corresponent, és l'element -èssim de la fila eliminada i és l'element -èssim de la fila eliminada. Repetir: Tornar al pas 1 amb la nova matriu, fins a arribar a una matriu d'ordre 1.
Exemple amb una matriu Sigui la matriu definida com :
Pivot inicial: Menor: Nova matriu: Segona iteració amb pivot : Posant-ho tot junt en un mateix procés, ens queda la seqüència de matrius següent:
Relació amb el mètode de Gauss Prenent l'exemple anterior, podem construir una matriu diagonalitzada com si haguèssim seguit el mètode de Gauss de forma algorísmica, la seqüència de matrius seria la següent:
Notem que a la segona matriu apareix la primera matriu que hem trobat usant la regla del pivot i a la tercera hi apareix la segona (i darrera) que hem trobat usant la regla del pivot.
També notem que el resultat usant la regla del pivot ens ha quedat exactament igual perquè hem triat el pivot 1 i està a una posició amb signe positiu de la matriu de signes associada. Sinó, per exemple triant com a pivot l'element que té una posició de signe negatiu en la matriu de signes associada, llavors el resultat seria una matriu , vegem-ho:
De fet, es pot veure de forma general a (i aplicable a ) que els dos mètodes ens porten a la mateixa solució. Vegem-ho:
Proposició: Sigui una matriu qualsevol, volem demostrar que aplicar la regla del pivot i aplicar el mètode de Gauss són processos equivalents; i.e., arribem a la mateixa conclusió. Demostració:
Com que és una matriu qualsevol, ens la podem pensar com on són coeficients qualsevols.
Apliquem primer la regla del pivot a la matriu :
Suposem i la triem com a pivot:
Suposem i el triem com a pivot:
Apliquem ara el mètode de Gauss a la matriu :
En el primer pas hem hagut de suposar i en el segon , perquè sinó el canvi de fila per combinació lineal seria erroni. Notem que aquí hem hagut de tractar el cas general on per a aplicar el mètode hem hagut de fer les següents transformacions:
1r: i
2n:
Si ens fixem en les matrius generades per la regla del pivot, vegem que podem construir les matrius del mètode de Gauss a partir d'elles i viceversa. La primera matriu generada per la regla del pivot és el menor complementari de l'element de la primera matriu generada pel mètode de Gauss, on la primera fila queda fixa i la resta d'elements esdevenen . La segona i última matriu generada per la regla del pivot és el darrer element de la segona i última matriu generada pel mètode de Gauss, on les dues primeres files queden fixes respecte el pas anterior i la resta d'elements esdevenen .
Concloent, tant si apliquem el mètode de Gauss com la regla del pivot, els dos processos són equivalents ja que podem construir un a partir de l'altre i viceversa.
Corol·lari La regla del pivot ens permet trobar molt fàcilment el determinant d'una matriu . De fet, es pot calcular com el valor de l'última matriu de la regla del pivot dividit pel pivot inicial considerant el seu signe segons la matriu de signes associada. Demostració:
Vegem-ho usant dos pivots diferents amb posicions contigües en la matriu de signes:
Com que és una matriu qualsevol, ens la podem pensar com on són coeficients qualsevols.
Calculem primer el determinant d'aquesta matriu genèrica, usarem l'expansió de Laplace per a fer-ho:
Apliquem ara la regla del pivot a la matriu :
pivot = a
Suposem i la triem com a pivot:
Suposem i el triem com a pivot:
pivot = b
Suposem i la triem com a pivot:
Suposem i el triem com a pivot:
Recordem que la matriu de signes de 3 dimensions és la següent:
Per tant, als coeficients se'ls otorga un signe i als coeficients se'ls otorga un signe .
La regla del pivot per a resoldre sistemes lineals La resolució de sistemes lineals (usualment de tres dimensions) és un problema en el qual la regla del pivot pot és una gran eina. El procediment a seguir és el mateix que per matrius quadrades, només que ara tenim matrius rectangulars.
Exemple amb una matriu per un sistema d'equacions sense marc|916x916px esquerra|sense marc|938x938px
Categoria:Matrius