En mecànica estadística, el model d'Ising de xarxa quadrada bidimensional és un model de xarxa simple d'espíns magnètics en interacció, un exemple de la classe dels models d'Ising. El model és notable per tenir interaccions no trivials, però tenir una solució analítica. El model va ser resolt per Lars Onsager per al cas especial que el camp magnètic extern H = 0. Una solució analítica per al cas general de encara no s'ha trobat.

Definició de la funció de partició Considereu un model d'Ising 2D en una xarxa quadrada amb N llocs i condicions de contorn periòdiques tant en la direcció horitzontal com en la vertical, cosa que redueix eficaçment la topologia del model a un tor. Generalment, l'acoblament horitzontal i l'acoblament vertical no són iguals. Amb i temperatura absoluta i la constant de Boltzmann , la funció de partició

Temperatura crítica La temperatura crítica es pot obtenir de la relació de dualitat de Kramers-Wannier. Denota l'energia lliure per lloc com a , un té:

Suposant que només hi ha una recta crítica en el pla , la relació de dualitat implica que això ve donat per:

Per al cas isotròpic , es troba la famosa relació per a la temperatura crítica

Enreixat dual Considereu una configuració d'espíns sobre la xarxa quadrada Siguin r i s el nombre de veïns diferents en les direccions vertical i horitzontal, respectivament. Aleshores, el sumand de corresponent a ve donat per

Construir una xarxa dual tal com es mostra al diagrama. Per a cada configuració , un polígon s'associa a la xarxa dibuixant una línia a la vora de la xarxa dual si els spins separats per la vora són diferents. Com que en recórrer un vèrtex de els espins han de canviar un nombre parell de vegades per tal que s'arribi al punt de partida amb la mateixa càrrega, cada vèrtex de la xarxa dual està connectat a un nombre parell de línies de la configuració, definint un polígon. miniatura|200x200px|Configuració d'espín en una xarxa dual Això redueix la funció de partició a

sumant tots els polígons de la xarxa dual, on r i s són el nombre de línies horitzontals i verticals del polígon, amb el factor de 2 derivat de la inversió de la configuració d'espín.

Expansió a baixa temperatura A baixes temperatures, K i L tendeixen a l'infinit, de manera que com que , de manera que

defineix una expansió a baixa temperatura de .

Expansió a alta temperatura Des de un té

on i Com que hi ha N arestes horitzontals i verticals, hi ha un total de termes en l'expansió. Cada terme correspon a una configuració de línies de la xarxa, associant una línia que connecta i i j si el terme (o es tria en el producte. Sumant les configuracions, utilitzant

mostra que només les configuracions amb un nombre parell de línies a cada vèrtex (polígons) contribuiran a la funció de partició, donant

on la suma és sobre tots els polígons de la xarxa. Com que tanh K, tanh L com , això dóna l'expansió a alta temperatura de .

Les dues expansions es poden relacionar mitjançant la dualitat de Kramers-Wannier.

Solució exacta L'energia lliure per lloc dins del límit es dóna de la següent manera. Defineix el paràmetre com

L'energia lliure de Helmholtz per lloc es pot expressar com

Per al cas isotròpic , a partir de l'expressió anterior es troba per a l'energia interna per lloc:

i la magnetització espontània és, per a ,

i per .

Matriu de transferència Comenceu amb una analogia amb la mecànica quàntica. El model d'Ising en una xarxa periòdica llarga té una funció de partició

Pensa en la direcció i com a espai i la direcció j com a temps . Això és una suma independent sobre tots els valors que els spins poden prendre a cada interval de temps. Aquest és un tipus d'integral de camí, és la suma sobre tots els historials d'espins.

Referències

Categoria:Mecànica estadística