miniatura|403x403px|Comparació dels mètodes d'interpolació de veí més proper, lineal, cúbic, bilineal i bicúbic per CMG Lee. Els punts negres corresponen al punt que s'està interpolant, i els punts vermells, grocs, verds i blaus corresponen a les mostres veïnes. Les seves altures sobre el terra corresponen als seus valors. En matemàtiques, la interpolació bicúbica és una extensió de la interpolació de splines cúbiques (un mètode d'aplicació de la interpolació cúbica a un conjunt de dades) per interpolar punts de dades en una quadrícula regular bidimensional. La superfície interpolada (és a dir, la forma del nucli, no la imatge) és més suau que les superfícies corresponents obtingudes per interpolació bilineal o interpolació del veí més proper. La interpolació bicúbica es pot aconseguir mitjançant polinomis de Lagrange, splines cúbiques o l'algorisme de convolució cúbica.

En el processament d'imatges, sovint s'escull la interpolació bicúbica per sobre de la interpolació bilineal o del veí més proper en el remostreig d'imatges, quan la velocitat no és un problema. A diferència de la interpolació bilineal, que només té en compte 4 píxels (2×2), la interpolació bicúbica considera 16 píxels (4×4). Les imatges remostrejades amb interpolació bicúbica poden tenir diferents artefactes d'interpolació, depenent dels valors b i c escollits.

Computació miniatura|Interpolació bicúbica sobre el quadrat Consisteix en 25 quadrats unitaris units. Interpolació bicúbica segons la implementació de Matplotlib. El color indica el valor de la funció. Els punts negres són les ubicacions de les dades prescrites que s'interpolen. Observeu com les mostres de color no són radialment simètriques. miniatura|Interpolació bilineal sobre el mateix conjunt de dades que l'anterior. Les derivades de la superfície no són contínues sobre els límits quadrats. Suposem els valors de la funció i els derivats , i són coneguts pels quatre cantons , , , i del quadrat unitari. La superfície interpolada es pot escriure comEl problema d'interpolació consisteix a determinar els 16 coeficients

Coincidència amb els valors de la funció s'obtenen quatre equacions: miniatura|Interpolació del veí més proper sobre el mateix conjunt de dades que l'anterior.

De la mateixa manera, vuit equacions per a les derivades de la i el indicacions:

I quatre equacions per a la derivada parcial mixta:

Les expressions anteriors han utilitzat les identitats següents:

Aquest procediment dóna lloc a una superfície al quadrat unitari que és contínua i té derivades contínues. La interpolació bicúbica en una quadrícula regular de mida arbitrària es pot aconseguir unint aquestes superfícies bicúbiques, garantint que les derivades coincideixin als límits.

Agrupació dels paràmetres desconeguts en un vector i deixant El sistema d'equacions anterior es pot reformular en una matriu per a l'equació lineal .

Invertir la matriu dóna l'equació lineal més útil , on

que permet per calcular-se de manera ràpida i senzilla.

Hi pot haver una altra forma matricial concisa per a 16 coeficients:

o

on

Ús en gràfics per ordinador L'algorisme bicúbic s'utilitza freqüentment per escalar imatges i vídeo per a la visualització (vegeu remostreig de mapes de bits). Conserva els detalls fins millor que l'algorisme bilineal comú.

L'algorisme bicúbic també s'utilitza per a la reducció d'escala d'imatges, però com que el remostreig durant la reducció d'escala difereix de l'efecte de l'allunyament en òptica real, altres mètodes poden ser més adequats.

Efecte del paràmetre "a" miniatura|250x250px|La meitat inferior d'aquesta figura és una ampliació de la meitat superior, que mostra com es crea la nitidesa aparent de la línia esquerra. La interpolació bicúbica provoca un sobreeiximent, cosa que augmenta l'acutància . Tanmateix, a causa dels lòbuls negatius del nucli, provoca un sobreeiximent (halo). Això pot causar retall i és un artefacte (vegeu també artefactes de soroll), però augmenta l'acutància (nitidesa aparent) i pot ser desitjable. Aquest efecte és més gran quan el paràmetre és o que quan és .

600x600px|Comparison of interpolation kernels

Quan , el resultat de la interpolació coincideix amb l'aproximació de Taylor fins a la segona derivada (excloent el terme residual) de la imatge original (la funció contínua abans del mostreig). Un exemple clar d'aquest efecte és quan la imatge original és una funció lineal (una imatge de gradient simple) i el resultat interpolat és una funció lineal només quan Per exemple, si l'entrada és el resultat interpolat és i és una funció lineal (els termes quadràtics i cúbics són 0) només quan 204x204px|Interpolation graph (a=-0.5)204x204px|Interpolation graph (a=-0.75) A continuació es mostra una imatge de gradient simple ampliada 16x i una part de la imatge de prova estàndard "cameraman"MIT Works Acquired Digitally - cameraman ampliada 8x. Les ratlles verticals de la primera i el patró artificial de taques al voltant de les barnilles de la segona són artefactes causats per l'efecte esmentat anteriorment. 128x128px|Enlarged example (a=-0.5)128x128px|Enlarged example (a=-0.75)200x200px|Enlarged example (a=-0.5)200x200px|Enlarged image example (a=-0.75) Cal tenir en compte que quan , la segona derivada del nucli de convolució és contínua en , però el resultat de la interpolació no té una segona derivada contínua. A més, quan , la derivada del nucli de convolució coincideix amb la derivada de la funció sinc a , però això no té cap significat més enllà de la comparació amb la interpolació sinc.

Referències

Categoria:Matemàtiques Categoria:Anàlisi numèrica