miniatura|Un octàgon afinat L'octàgon afinat és una regió del pla proposta per Karl Reinhardt el 1934 com la forma convexa amb simetria central amb densitat d'empaquetament màxima més baixa del pla. També fou descoberta independentment per Kurt Mahler el 1947. Es construeix substituint les cantonades d'un octàgon regular per la secció d'una hipèrbola tangent als dos costats adjacents a la cantonada i asimptòtica als costats adjacents a aquests.
Construcció miniatura|400x400px|Construcció de l'octàgon afinat (negre), la hipèrbola tangent (vermell), les asímptotes d'aquesta hipèrbola (verd) i els costats tangents a la hipèrbola (blau) La hipèrbola que forma cada cantonada de l'octàgon afinat és tangent als dos costats d'un octàgon regular i asimptòtica als dos adjacents a aquests. Els detalls següents s'apliquen a un octàgon regular de circumradi amb el seu centre al punt i un vèrtex al punt . Per a dues constants i , la hipèrbola ve donada per l'equació o la parametrització equivalent (només per a la branca dreta)
per a la porció de la hipèrbola que forma la cantonada, donada pel rang de valors dels paràmetresː
Les rectes de l'octàgon tangents a la hipèrbola són , i les rectes asimptòtiques a la hipèrbola són simplement .
Empaquetament marc|La família d'empaquetaments màximament densos de l'octàgon afinat. miniatura|220x220px|A mesura que els octàgons afinats giren, els seus centres formen un triangle amb forma variable però àrea constant. Per a cada conjunt planar convex centralment simètric, inclòs l'octàgon afinat, la densitat d'empaquetament màxima s'aconsegueix mitjançant un empaquetament de xarxa, en què les còpies no girades de la forma es tradueixen pels vectors d'una xarxa. L'octàgon afinat aconsegueix la seva densitat d'empaquetament màxima, no només per a un sol empaquetament, sinó per a una família d'1 paràmetre. Tots aquests són empaquetaments de xarxa. L'octàgon afinat té una densitat d'empaquetament màxima donada per
Això és inferior a la densitat màxima d'empaquetament dels cercles, que és
La densitat d'empaquetament màxima coneguda de l'octàgon regular ordinari és també lleugerament inferior a la densitat màxima d'empaquetament dels cercles, però superior a la de l'octàgon afinat.
Optimització conjecturada La conjectura de Reinhardt afirma que l'octàgon afinat té la densitat d'empaquetament màxima més baixa de totes les formes convexes amb simetria central del pla continua i roman (2025) sense resoldre's. Tanmateix, Thomas Hales i Koundinya Vajjha van afirmar haver demostrat una conjectura més feble, que afirma que el disc convex amb simetria central més desempaquetable ha de ser un polígon afinat. A més, Fedor Nazarov va proporcionar un resultat parcial demostrant que l'octàgon afinat és un mínim local per a la densitat d'empaquetament entre totes les formes convexes amb simetria central.
Si no es requereix simetria central, es conjectura que l'heptàgon regular té una densitat d'empaquetament encara més baixa, però no s'ha demostrat ni la seva densitat d'empaquetament ni la seva optimització. En tres dimensions, la conjectura d'empaquetament d'Ulam estableix que cap forma convexa té una densitat d'empaquetament màxima més baixa que la bola.
Referències
Enllaços externs Empaquetament d'octàgons afinats . John Baez, Visual Insight, AMS Blogs, 2014. L'empaquetament bidimensional més prim i dens? Peter Scholl, 2001.
Categoria:Figures geomètriques