miniatura|240x240px|Cercles de Villarceau com a intersecció d'un tor i un pla En geometria, els cercles de Villarceau parell de cercles produïts tallant un tor obliquament pel seu centre en un angle especial.

Donat un punt arbitrari d'un tor, es poden dibuixar quatre cercles a través d'ell. Un està en un pla paral·lel al pla equatorial del tor i un altre perpendicular a aquest pla (aquests són anàlegs a les línies de latitud i longitud a la Terra). Els altres dos són cercles de Villarceau. S'obtenen com la intersecció del tor amb un pla que passa pel centre del tor i el toca tangencialment en dos punts antipodals. Si es consideren tots aquests plans, s'obtenen dues famílies de cercles al tor. Cadascuna d'aquestes famílies consisteix en cercles disjunts que cobreixen cada punt del tor exactament una vegada i, per tant, formen una foliació unidimensional del tor. miniatura|300x300px|Tallar un tor amb un pla especial revela un parell de cercles, coneguts com a cercles de Villarceau. El pla de tall passa pel centre del tor i toca el tor en dos punts antipodals; els cercles s'intersequen en aquests punts. Els cercles de Villarceau reben el nom de l'astrònom i matemàtic francès Yvon Villarceau (1813–1883), que va escriure sobre ells el 1848.

Exemple Considereu un tor horitzontal a l'espai xyz, centrat a l'origen i amb radi major 5 i radi menor 3. Això significa que el tor és el lloc geomètric d'uns cercles verticals de radi tres, els centres dels quals es troben en un cercle de radi cinc en el pla horitzontal xy . Els punts d'aquest tor satisfan aquesta equació:

Tallant amb la z = El pla 0 produeix dos cercles concèntrics, x 2 + i 2 = 2 2 i x 2 + i 2 = 8 2, l'equador exterior i interior. Tallant amb la x = El pla 0 produeix dos cercles contigus, ( y − 5) 2 + z2 = 3 2 i ( y + 5) 2 + z2 = 3 2 .

Dos exemples de cercles de Villarceau es poden produir tallant amb el pla 3 y = 4 z . Un està centrat a (+3, 0, 0) i l'altre a (−3, 0, 0); tots dos tenen un radi de cinc. Es poden escriure en forma paramètrica com a

i

El pla de tall s'escull per ser tangent al tor en dos punts mentre passa pel seu centre. És tangent en (0, 16/5, 12/5) i a (0, -16/5, -12/5). L'angle de tall està determinat de manera única per les dimensions del tor escollit. La rotació de qualsevol d'aquests plans al voltant de l'eix z dóna tots els cercles de Villarceau per a aquest tor.

Existència i equacions miniatura|Cercles de Villarceau sobre un tor. A la imatge inferior, la projecció és ortogonal al pla de secció, per tant, apareix la forma real dels cercles. Una prova de l'existència dels cercles es pot construir a partir del fet que el pla de tall és tangent al tor en dos punts. Una caracterització d'un tor és que és una superfície de revolució. Sense pèrdua de generalitat, trieu un sistema de coordenades de manera que l'eix de revolució sigui l'eix z (vegeu la figura de la dreta). Comenceu amb un cercle de radi r en el pla yz, centrat en (0, R , 0): Escombrar aquest cercle al voltant de l'eix z substitueix y per ( x 2 + y 2 ) 1/2, i si esborrem l'arrel quadrada, obtindrem una equació quàrtica per al tor: La secció transversal de la superfície escombrada en el pla yz ara inclou un segon cercle, amb l'equació miniatura|Tor amb dos llapis de cercles de Villarceau Aquest parell de circumferències té dues rectes tangents internes comunes, amb pendent a l'origen que es troba des del triangle rectangle amb hipotenusa R i costat oposat r (que té el seu angle recte en el punt de tangència). Així, en aquestes rectes tangents, z / y és igual a ± r /( R² ) − r 2 ) 1/2, i escollint el signe més es produeix l'equació d'un pla bitangent al tor: Podem calcular la intersecció d'aquest pla amb el tor analíticament, i així demostrar que el resultat és un parell de cercles simètrics de radi R centrats a

Una descripció paramètrica d'aquests cercles és

Aquests cercles també es poden obtenir començant amb un cercle de radi R en el pla xy, centrat a ( r , 0, 0) o (− r , 0, 0) i després girar aquest cercle al voltant de l'eix x un angle d'arcsin ( r / R ).

Un tractament en aquest sentit es pot trobar a Coxeter (1969).

n més abstracte i més flexible L'enfocament va ser descrit per Hirsch (2002), utilitzant geometria algebraica en un entorn projectiu. En l'equació quàrtica homogènia per al tor, Si s'estableix w a zero, s'obté la intersecció amb el "pla a l'infinit" i es redueix l'equació a Aquesta intersecció és un punt doble, de fet, un punt doble comptat dues vegades. A més, està inclòs en cada pla bitangent. Els dos punts de tangència també són punts dobles. Així, la corba d'intersecció, que la teoria diu que ha de ser una quàrtica, conté quatre punts dobles. Però també sabem que una quàrtica amb més de tres punts dobles ha de factoritzar (no pot ser irreductible), i per simetria els factors han de ser dues còniques congruents, que són els dos cercles de Villarceau. miniatura|Cercles de Villarceau (magenta, verd) que passen per un punt donat (vermell). Per a qualsevol punt existeixen 4 cercles al tor que conté el punt. Hirsch estén aquest argument a qualsevol superfície de revolució generada per una cònica i demostra que la intersecció amb un pla bitangent ha de produir dues còniques del mateix tipus que la generadora quan la corba d'intersecció és real.

Espai d'ompliment i la fibració de Hopf El tor juga un paper central en la fibració de Hopf de la 3-esfera, S3 , sobre l'esfera ordinària, S2, que té cercles, S1, com a fibres. Quan la 3-esfera es mapeja a l'espai euclidià 3 mitjançant projecció estereogràfica, la imatge inversa d'un cercle de latitud sobre S2 sota el mapa de fibres és un tor, i les fibres mateixes són cercles de Villarceau. Banchoff ha explorat aquest tor amb imatges de gràfics per ordinador. Un dels fets inusuals sobre els cercles que formen la fibració de Hopf és que cadascun enllaça a través de tots els altres, no només a través dels cercles del seu propi tor, sinó a través dels cercles que formen tots els tors que omplen tot l'espai; Berger en fa una discussió i un dibuix.

Més propietats Mannheim (1903) va demostrar que els cercles de Villarceau tallen totes les seccions transversals circulars paral·leles del tor en el mateix angle, un resultat que, segons ell, un coronel Schoelcher havia presentat en un congrés el 1891.

Referències

Categoria:Geometria