En física i cosmologia, la hipòtesi de l'univers matemàtic (MUH), també coneguda com a teoria del conjunt última, és una "teoria del tot" especulativa (TOE) proposada pel cosmòleg Max Tegmark. Segons la hipòtesi, l'univers és un objecte matemàtic en si mateix. Tegmark estén aquesta idea per plantejar la hipòtesi que tots els objectes matemàtics existeixen, cosa que descriu com una forma de platonisme o realisme modal.

La hipòtesi ha demostrat ser controvertida. Jürgen Schmidhuber argumenta que no és possible assignar un pes o probabilitat igual a tots els objectes matemàtics a priori, ja que n'hi ha infinits. Els físics Piet Hut i Mark Alford han suggerit que la idea és incompatible amb el primer teorema d'incompletesa de Gödel.

Tegmark respon que l'univers no només és matemàtic, sinó que també és computable.

El 2014, Tegmark va publicar un llibre de divulgació científica sobre el tema, titulat Our Mathematical Universe (El nostre univers matemàtic).

Descripció La MUH de Tegmark és la hipòtesi que la nostra realitat física externa és una estructura matemàtica. És a dir, l'univers físic no es descriu només per les matemàtiques, sinó que és matemàtica , concretament, una estructura matemàtica. L'existència matemàtica és igual a l'existència física, i totes les estructures que existeixen matemàticament també existeixen físicament. Els observadors, inclosos els humans, són "subestructures autoconscients (SAS)". En qualsevol estructura matemàtica prou complexa per contenir aquestes subestructures, "es percebran subjectivament com a existents en un món físicament 'real'".

La teoria es pot considerar una forma de pitagorisme o platonisme, ja que proposa l'existència d'entitats matemàtiques; una forma de matematisme, ja que nega que existeixi res excepte objectes matemàtics; i una expressió formal del realisme estructural òntic.

Tegmark afirma que la hipòtesi no té paràmetres lliures i no es descarta observacionalment. Per tant, raona, és preferida a altres teories del tot per la Navalla d'Occam. Tegmark també considera augmentar la MUH amb una segona suposició, la hipòtesi de l'univers computable (CUH), que diu que l'estructura matemàtica que és la nostra realitat física externa es defineix per funcions computables.

El MUH està relacionat amb la categorització de Tegmark de quatre nivells del multivers. Aquesta categorització postula una jerarquia imbricada de diversitat creixent, amb mons corresponents a diferents conjunts de condicions inicials (nivell 1), constants físiques (nivell 2), branques quàntiques (nivell 3) i equacions o estructures matemàtiques completament diferents (nivell 4).

Crítiques i respostes Andreas Albrecht, quan era a l'Imperial College de Londres, ho va qualificar de solució "provocadora" a un dels problemes centrals als quals s'enfronta la física. Tot i que "no s'atreviria" a dir que ho creu, va assenyalar que "en realitat és força difícil construir una teoria on tot el que veiem sigui tot el que hi ha".

Definició del conjunt Jürgen Schmidhuber argumenta que "Tot i que Tegmark suggereix que '... totes les estructures matemàtiques reben a priori el mateix pes estadístic', no hi ha manera d'assignar la mateixa probabilitat no nul·la a totes les (infinites) estructures matemàtiques". Schmidhuber proposa un conjunt més restringit que només admet representacions de l'univers descritibles per matemàtiques constructives, és a dir, programes informàtics; per exemple, la Biblioteca Matemàtica Digital Global i la Biblioteca Digital de Funcions Matemàtiques, representacions de dades obertes enllaçades de teoremes fonamentals formalitzats destinats a servir com a blocs de construcció per a resultats matemàtics addicionals. Inclou explícitament representacions de l'univers descritibles per programes sense aturada els bits de sortida dels quals convergeixen després d'un temps finit, tot i que el temps de convergència en si pot no ser predictible per un programa amb aturada, a causa de la indecidibilitat del problema de l'aturada.

En resposta, Tegmark assenyala: seg.VE  que encara no s'ha construït una mesura formalitzada matemàtica constructiva de les variacions de paràmetres lliures de dimensions físiques, constants i lleis sobre tots els universos per al panorama de la teoria de cordes, per la qual cosa això no s'hauria de considerar com un "impediment".

Coherència amb el teorema de Gödel També s'ha suggerit que el MUH és inconsistent amb el teorema d'incompletesa de Gödel. En un debat a tres bandes entre Tegmark i els seus col·legues físics Piet Hut i Mark Alford, el "secularista" (Alford) afirma que "els mètodes permesos pels formalistes no poden demostrar tots els teoremes en un sistema prou potent... La idea que les matemàtiques són 'allà fora' és incompatible amb la idea que consisteixen en sistemes formals".

Resposta de Tegmark: secció VI  és oferir una nova hipòtesi "que només les estructures matemàtiques completes de Gödel (totalment decidibles) tenen existència física. Això redueix dràsticament el multivers de nivell IV, essencialment posant un límit superior a la complexitat, i pot tenir l'atractiu efecte secundari d'explicar la relativa simplicitat del nostre univers". Tegmark continua assenyalant que, tot i que les teories convencionals de la física són indecidibles de Gödel, l'estructura matemàtica real que descriu el nostre món encara podria ser completa de Gödel, i "podria en principi contenir observadors capaços de pensar en matemàtiques incompletes de Gödel, igual que els ordinadors digitals d'estat finit poden demostrar certs teoremes sobre sistemes formals incomplets de Gödel com l'aritmètica de Peano".: secció VII  Dóna una resposta més detallada, proposant com a alternativa a la MUH la "Hipòtesi de l'Univers Computable" (CUH), més restringida, que només inclou estructures matemàtiques prou simples perquè el teorema de Gödel no requereixi que continguin cap teorema indecidible o incomputable. Tegmark admet que aquest enfocament s'enfronta a "reptes seriosos", com ara (a) que exclou gran part del panorama matemàtic; (b) la mesura de l'espai de teories permeses pot ser en si mateixa incomputable; i (c) "pràcticament totes les teories de la física històricament reeixides violen la CUH".

Observabilitat Stoeger, Ellis i Kircher: secció 7 Cal tenir en compte que en una veritable teoria del multivers, "els universos són completament disjunts i res del que passa en cap d'ells està causalment vinculat al que passa en cap altre. Aquesta manca de connexió causal en aquests multiversos realment els situa més enllà de qualsevol suport científic". Ellis  critica específicament el MUH, afirmant que un conjunt infinit d'universos completament desconnectats és "completament indemostrable, malgrat els comentaris esperançadors que de vegades es fan, vegeu, per exemple, Tegmark (1998)". Tegmark sosté que el MUH és comprobable, afirmant que prediu (a) que "la recerca física descobrirà regularitats matemàtiques a la natura", i (b) assumint que ocupem un membre típic del multivers d'estructures matemàtiques, es podria "començar a provar les prediccions del multivers avaluant com de típic és el nostre univers".: secció VIII.

Plausibilitat del platonisme radical La MUH es basa en la visió platònica radical que les matemàtiques són una realitat externa.: segon VC. Tanmateix, JannesGil Jannes, "Some comments on 'The Mathematical Universe'", Found. Phys. 39, 397-406, 2009 arXiv:0904.0867 argumenta que "les matemàtiques són, almenys en part, una construcció humana", basant-se en el fet que si són una realitat externa, també s'haurien de trobar en altres animals: "Tegmark argumenta que, si volem donar una descripció completa de la realitat, necessitarem un llenguatge independent de nosaltres, els humans, comprensible per a entitats sensibles no humanes, com ara extraterrestres i futurs superordinadors". Brian Greene argumenta de manera similar:  "La descripció més profunda de l'univers no hauria de requerir conceptes el significat dels quals depengui de l'experiència o la interpretació humana. La realitat transcendeix la nostra existència i, per tant, no hauria de dependre, de cap manera fonamental, d'idees que nosaltres creem."

Tanmateix, hi ha moltes entitats no humanes, moltes de les quals són intel·ligents, i moltes de les quals poden aprendre, memoritzar, comparar i fins i tot sumar aproximadament quantitats numèriques. Diversos animals també han superat la prova del mirall de l'autoconsciència. Però malgrat alguns exemples sorprenents d'abstracció matemàtica (per exemple, els ximpanzés poden ser entrenats per dur a terme sumes simbòliques amb dígits, o l'informe d'un lloro que entén un "concepte semblant al zero"), tots els exemples d'intel·ligència animal respecte a les matemàtiques es limiten a habilitats bàsiques de recompte. Afegeix: "haurien d'existir éssers intel·ligents no humans que entenguin el llenguatge de les matemàtiques avançades. Tanmateix, cap dels éssers intel·ligents no humans que coneixem confirma l'estatus de les matemàtiques (avançades) com a llenguatge objectiu". A l'article "Sobre matemàtiques, matèria i ment", el punt de vista secularista examinat argumenta: sec. VI a  que les matemàtiques estan evolucionant amb el temps, no hi ha "cap raó per pensar que estiguin convergint cap a una estructura definida, amb preguntes fixes i maneres establertes d'abordar-les", i també que "la posició platònica radical és només una altra teoria metafísica com el solipsisme... Al final, la metafísica només exigeix que utilitzem un llenguatge diferent per dir el que ja sabíem". Tegmark respon: secció VI a  que «la noció d'una estructura matemàtica està rigorosament definida en qualsevol llibre sobre teoria de models», i que les matemàtiques no humanes només diferirien de les nostres «perquè estem descobrint una part diferent del que de fet és una imatge coherent i unificada, de manera que les matemàtiques convergeixen en aquest sentit». En el seu llibre del 2014 sobre la MUH, Tegmark argumenta que la resolució no és que inventem el llenguatge de les matemàtiques, sinó que descobrim l'estructura de les matemàtiques.

Coexistència de totes les estructures matemàtiques Don Page ha argumentat : secció 4 que «Al nivell últim, només hi pot haver un món i, si les estructures matemàtiques són prou àmplies per incloure tots els mons possibles o almenys el nostre, hi ha d'haver una estructura matemàtica única que descrigui la realitat última. Per tant, crec que és una ximpleria lògica parlar del Nivell 4 en el sentit de la coexistència de totes les estructures matemàtiques». Això significa que només hi pot haver un corpus matemàtic. Tegmark respon que "Això és menys inconsistent amb el Nivell IV del que podria semblar, ja que moltes estructures matemàtiques es descomponen en subestructures no relacionades, i les separades es poden unificar."

Coherència amb el nostre "univers simple" Comentaris d'Alexander Vilenkin:A. Vilenkin (2006) Many Worlds in One: The Search for Other Universes. Hill and Wang, New York. Cap. 19, p. 203  que «El nombre d'estructures matemàtiques augmenta amb la complexitat creixent, cosa que suggereix que les estructures 'típiques' haurien de ser terriblement grans i feixugues. Això sembla estar en conflicte amb la bellesa i la simplicitat de les teories que descriuen el nostre món». Continua assenyalant  nota a peu de pàgina 8, pàg. 222  que la solució de Tegmark a aquest problema, l'assignació de "pesos" més baixos a les estructures més complexes: seg.VB  sembla arbitrari ("Qui determina els pesos?") i pot no ser lògicament coherent ("Sembla que introdueix una estructura matemàtica addicional, però se suposa que totes ja estan incloses al conjunt").

Navalla d'Occam